一維非定常連續(xù)流動(dòng)

1、維 非 定 常 連 續(xù) 流 動(dòng)一維非定常流動(dòng)是指氣流的速度和熱力學(xué)參數(shù)僅與時(shí)間t和一個(gè) 坐標(biāo)變量x有關(guān)的流動(dòng)，也就是說，在某一時(shí)刻，在任何一個(gè)垂直 于x軸的平面上，氣流的速度和熱力學(xué)參數(shù)是不變的。它包括連續(xù) 流（等熵波）和間斷流（激波、接觸面）。下面主要介紹連續(xù)流。在進(jìn)行討論之前，首先假定氣體為常比熱完全氣體（或稱量熱完 全氣體），忽略氣流的粘性和熱傳導(dǎo)作用，流動(dòng)過程是等熵的。作為理解非定常連續(xù)流動(dòng)的基礎(chǔ)，首先介紹小擾動(dòng)波的產(chǎn)生， 傳播及其簡(jiǎn)化分析。小擾動(dòng)波1. 產(chǎn)生小擾動(dòng)是指氣流的速度和熱力學(xué)參量的相對(duì)變化量都很小，例 如聲波就是一種小擾動(dòng)波，它以聲速傳播，因此，通常人們把小擾 動(dòng)在介質(zhì)中的

2、傳播速度稱為聲速。對(duì)介質(zhì)的擾動(dòng)形式有很多，但總 歸起來不外乎速度不匹配和壓力不平衡。下面將要介紹的是由于活 塞運(yùn)動(dòng)引起速度不匹配所產(chǎn)生的波。在一個(gè)等截面無限長(zhǎng)的圓管中，初始時(shí)刻，活塞及其兩邊的氣 體處于靜止?fàn)顟B(tài)。設(shè)活塞在很短的時(shí)間內(nèi)，速度增加至du。此后， 它以勻速向右運(yùn)動(dòng)。這時(shí)，活塞左右兩邊的氣體同時(shí)受到一個(gè)微弱 的擾動(dòng)：右邊的氣體被壓縮，左邊的氣體變得稀疏，其效果以小擾 動(dòng)波的形式向兩邊傳播。這種波通過以后，波后氣體均以活塞的速 度向右運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，右邊氣體壓力增加一個(gè)微量dp，左邊氣體減小 一個(gè)微量dp，這兩種波分別稱為小擾動(dòng)壓縮波和小擾動(dòng)稀疏波。上述兩類小擾動(dòng)波得傳播過程在（x，t）圖上

3、的圖示法如下壓縮波通過以后，波后氣流速度方向與波面?zhèn)鞑シ较蛞恢?，質(zhì) 點(diǎn)跡線靠近波面跡線；稀疏波通過以后，波后氣流速度方向與波面 傳播方向相反，質(zhì)點(diǎn)跡線偏離波面跡線。對(duì)于運(yùn)動(dòng)的氣體，壓縮波 后氣體被加速，稀疏波后氣體被減速。圖1-1)2. 傳播定義向右為x軸的正方向，如果氣體本身以u(píng)（代數(shù)值）的速度 在運(yùn)動(dòng)，則波的傳播速度為?一=?+ ? （1-1） 定義以速度（u+a ）傳播的波為“右行波”，以速度（u-a）傳播的波為“左行波”。對(duì)于右行波而言，氣體質(zhì)點(diǎn)一定從右邊（x軸正向）進(jìn)入波陣面，對(duì)于左行波而言，氣體質(zhì)點(diǎn)一定從左邊(x軸負(fù)向)進(jìn)入 波陣面。2小擾動(dòng)波的簡(jiǎn)化物理分析以一道右行小擾動(dòng)波為例進(jìn)

4、行分析。把坐標(biāo)系取在波陣面上， 則變成駐波，波前的氣體以(-a)的速度流進(jìn)波面，而波后的氣體以 (-a+du )的速度流出波面。圖(1-2) 由連續(xù)性方程?_?) = (?+ ?)(_?+ ?)t 丿丿/略去二階小量，得(1-2)? ? = ?(1 -3)小擾動(dòng)波是一種等熵波，滿足下列關(guān)系式：？?= ? ?= ?和?= ?其微分形式為：? 1 ?1 ?2 ? ?-1 ?-1 ?代入上式，可得(1-4)對(duì)于左行波，則有2? ?_1 B(1-5)2? - ?_1 B(1-6)二、特征線方法在可壓縮流體中組非線性偏微分方程較大的誤差。特征線法根據(jù)數(shù)學(xué)上特征線所具有的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)值有限幅值連續(xù)波流動(dòng)所

5、滿足的方程一般是一不能再采用小擾動(dòng)線化方法，否則，將造成解法或者圖解法，為解決這類問題提供了一種比較簡(jiǎn)便而實(shí)用的計(jì) 算方法。1.基本方程連續(xù)性方程，在等截面管中? ?_?+ - (?= 0? ?動(dòng)量方程，在忽略體積力和粘性力情況下?+ ?= - 1? ? ?(2-1)(2-2)能量方程，忽略粘性和熱傳導(dǎo)作用，流動(dòng)過程是等熵的，熱力 學(xué)第二定律可寫成? ? + ?= 0 ? ?狀態(tài)方程，對(duì)于多方氣體來說，等熵關(guān)系為?= ?(2-3)(2-4)有時(shí)為了便于應(yīng)用，可將方程改寫成統(tǒng)一用u, a, s參量表示的 形式。? +? + ?-12? ?=0(2-5)?2? ?+?- +=0? ?-1?(2-6

6、)?+?a =0?(2-7)2.特征線及其相容關(guān)系假定上述方程組和(X，t)平面內(nèi)沿著某一曲線?= ?(?上各點(diǎn)的 U0，ao, S0的值已知，如果不能單值地決定曲線？=?(?附近任意點(diǎn) 的u， a，s的值，則表示？?(?是弱間斷線，它就是所求的特征線。 特征線及其相容關(guān)系為 第一族特征線?(2-8)(?1 = ?+ ?第二族特征線第三族特征線2 ? ? ? ? ? 1 ? ?(2-9)?(刁?2 = ?(2-10)2? ? ?_1 ?(2-11)?(?= ? 0氣體的流速和熱力學(xué)參數(shù)的擾動(dòng)沿著第一族 和第二族特征線以音速傳播。熵的擾動(dòng)沿著第三族特征線傳播，而 第三族特征線就是流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌

7、跡，這就表明，對(duì)于某一個(gè)流 體質(zhì)點(diǎn)而言，在運(yùn)動(dòng)過程中熵值保持不變。? ?在均熵條件下，?= 0，厲?二0，因而，在全流場(chǎng)的任何時(shí)刻都有 ?0。因此第三族特征線已經(jīng)失去意義，第一族和第二族特征線簡(jiǎn) 化為： 第一族特征線從公式可以看出,?(?1 = ?+ ?右? 0(2-12)(2-13)(2-14)第二族特征線?(?2 = ? ?(2-16)(2-17)(2-18)(2-19)?-?999= 0?-1 此時(shí)特征線相容關(guān)系可以直接積分99+ 99= ?-11299.99= 9999-12式中9?和99稱為黎曼不變量。（99）；和（算2代表（X，t）平面上的兩族特征線，稱為物理平面上的特征 線，見圖

8、（1-3a） ； 99和99在（u，a）平面上構(gòu)成兩族特征線，稱為狀態(tài) 平面特征線，見圖（1-3b）。在（x，t）平面上，第一族特征線中的每一 根，對(duì)應(yīng)于一個(gè)確定的99值，第二族特征線中的每一根對(duì)應(yīng)于一個(gè) 確定的99值。物理平面特征線表達(dá)了小擾動(dòng)波的位置隨時(shí)間的變化 關(guān)系，也就是小擾動(dòng)波波陣面的運(yùn)動(dòng)跡線。其中，第一族特征線對(duì) 應(yīng)于右行波，第二族特征線對(duì)應(yīng)于左行波。不過，此時(shí)的u, a均不 是常數(shù)。圖（1-3）在不同的位置X和時(shí)間t，u和a是不同的，可以應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法求 解流場(chǎng)中氣流的速度和音速。圖（1-4）根據(jù)99和99是否為絕對(duì)常數(shù)，可以把一維非定常均熵流動(dòng)分為 三類：第一類：99和99均為絕對(duì)

9、常數(shù)（9?0和99o），此時(shí)u和a均為常數(shù)。 第二類：99和99中有一個(gè)為絕對(duì)常數(shù)，稱為簡(jiǎn)單波流動(dòng)，這是流場(chǎng) 中只有單向傳播的波。第三類：99和99均不是絕對(duì)常數(shù)，稱為雙波流。在流場(chǎng)中既有左行 波，也有右行波。三、簡(jiǎn)單波假定黎曼不變量之一 99在整個(gè)波區(qū)為絕對(duì)常數(shù)99o，可以得到99=99 +99202(3-1)99-199=-99o）（3-2） 由于沿著第一族特征線，99保持不變，可知沿著第一族特征線流動(dòng) 參數(shù)u和a等均為常數(shù)。9999t (3-3)贏=99+ 99=常數(shù)由此可以斷定，第一族特征線一定是直線，沿著這一族特征線的任 何一根，流動(dòng)參量保持不變，整個(gè)簡(jiǎn)單波流場(chǎng)只需用（u，a）平面上

10、 的一根特征線表示。1.簡(jiǎn)單波的產(chǎn)生和分類簡(jiǎn)單波是由無窮多道小擾動(dòng)波迭加而成的。在圖(1-5)所示的一 根兩端敞開的無限長(zhǎng)管中，活塞在靜止氣體中向右持續(xù)加速?；钊?右邊不斷產(chǎn)生小擾動(dòng)壓縮波，當(dāng)無窮多道壓縮波通過后，波后氣體 壓力、音速和質(zhì)點(diǎn)速度便增加一個(gè)有限量。對(duì)于右行簡(jiǎn)單壓縮波而 言，由于小擾動(dòng)壓縮波連續(xù)通過時(shí)，后面壓縮波的傳播速度一定比 前面的塊，因而波面跡線(第一族特征線)為一族收斂的直線。圖(1-5)同時(shí)，在活塞左邊，連續(xù)產(chǎn)生小擾動(dòng)稀疏波，波面跡線(第二族 特征線)為一族發(fā)散的直線。圖(1-5)中各畫出了四道小擾動(dòng)壓縮波和稀疏波的產(chǎn)生過程，其 中1-4是一段曲線，表示活塞的加速過程，4

11、點(diǎn)以后為直線，表示活 塞作勻速運(yùn)動(dòng)，沒有非定常波產(chǎn)生。簡(jiǎn)單波大致可分為四類：右行稀疏波，右行壓縮波，左行稀疏 波和左行壓縮波。2.簡(jiǎn)單波的基本關(guān)系跨過簡(jiǎn)單波波面跡線時(shí)氣體參數(shù)之間的關(guān)系如下：對(duì)于右行波?= (?+ ?+ ?(?)2(3-4)?2 ?= ?0(3-5)對(duì)于左行波?= (?2 ?2 ?(?)2(3-6)?S+?= ?%?-110(3-7)?(?是速度的任意函數(shù)。2?= ?越?若已知簡(jiǎn)單波波前氣流參數(shù)U1和a1，求波后參數(shù)時(shí)，由？?或?o 為常數(shù)可得?-1?-?1=1 ( )(3-9)如果波前氣體是靜止的，?=0，則有?-1 ?=1 2 -?(3-10)“+”號(hào)表示右行波，a號(hào)表示左

12、行波。對(duì)于波后氣流的溫度、壓力和密度變化，利用等熵關(guān)系得?(-2?-(怎)(3-11)2-oo ?=(-?)-1(3-12)?2 -石-1=(-)(3-13)整理后得到(3-8)四、中心稀疏波在一維非定常簡(jiǎn)單波中，有一種比較特殊的情況，就是所謂“中心稀疏波”。它的一個(gè)重要特點(diǎn)是流場(chǎng)中的速度u和音速a等參 數(shù)不是單獨(dú)地依賴于x和t，而是依賴于它們的組合參數(shù)x/t，這種運(yùn) 動(dòng)通常稱為“一維自模擬運(yùn)動(dòng)”。1.中心稀疏波的產(chǎn)生假定活塞由靜止突然向右加速至某一均勻速度，那么，在圖 中，活塞跡線1-4的長(zhǎng)度便縮短為零，即圖(1-6)。由圖可見，由于 活塞突然加速，在(x，t)圖的坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的所有壓縮波匯

13、聚成一道 運(yùn)動(dòng)激波，向右傳播。在活塞左邊，同樣由坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出一束左行 稀疏波，把它稱為中心稀疏波。波頭與波尾之間的區(qū)域稱為中心稀 疏波區(qū)，波尾與活塞之間的區(qū)域?qū)儆诰鶆騾^(qū)，在該區(qū)中氣流通過中 心稀疏波區(qū)以后，被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亞音速 的，等音速的，也可以是超音速的，究竟屬于哪一種情況，完全由 活塞的速度決定。圖(1-6)若要求通過稀疏波以后，氣流的速度等于音速(u=a)，所需活塞 的速度大小由方程(2-15)在波頭和波尾之間積分來確定，即?-1(4-1)?-2?-1? (4-2)所以?= ?=2?+1?(4-3)當(dāng)活塞速度？? J?時(shí)，?+1*7波后氣流將被加速到超音速，但是由于極限速度的存在，波后氣流速度最大只能被加速到?max =丄？?(逃逸速?-1度)。使波后氣流速度達(dá)到逃逸速度的稀疏波稱為“完全膨脹的稀疏 波”。2.中心稀疏波的基本關(guān)系式中心稀疏波是簡(jiǎn)單波的一種特殊形式，因此，只要令簡(jiǎn)單波關(guān)系式中的任意函數(shù)？?？= 對(duì)于右行波=0，即可得到中心稀疏波的相應(yīng)關(guān)系式。?= (?s+ ?2(4-4)?2 ?= ?0?-1 20(4-5)對(duì)于左行波?= (?2 ?2 ?(?)2(4-6)?S+?= ?0?-110(4-7)以左行中心稀疏波為例，可以直接解出u和a的表達(dá)式。2 ?=(_+ ?)(4-8)2 ?-1 ?=？一_? ?+1 - 1 ?+1