數(shù)學(xué)物理教學(xué)PPT波動(dòng)方程

1、數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 1 方程的導(dǎo)出及其定解條件方程的導(dǎo)出及其定解條件 2 一維波動(dòng)方程的初值問題一維波動(dòng)方程的初值問題 3 半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問題半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問題 4 高維波動(dòng)方程的初值問題高維波動(dòng)方程的初值問題 5 混合問題的分離變量法混合問題的分離變量法 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 一、弦的一、弦的自由自由振動(dòng)方程的建立振動(dòng)方程的建立 問題：均勻柔軟且拉緊的細(xì)弦， 在平衡位置附近作微小橫振動(dòng)， 求不同時(shí)刻弦線的形狀。 1、方程的導(dǎo)出及其定解條件、方程的導(dǎo)出及其定解條件 分析與假設(shè)： 1)柔

2、軟的細(xì)弦：弦上的任意一點(diǎn)僅有的張力且沿弦的切線方向。 2)拉緊：指弦線在彈性范圍內(nèi)，服從虎克定律。 3)橫振動(dòng)：指振動(dòng)只有沿u軸方向的位移，可用u(x,t)表示。 4)微小：指弦上各點(diǎn)位移與弦長(zhǎng)相比很小，夾角很小，即 1 u x 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 cos1cos1 gds m m ds x t y xdx x t 用微元法及牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)： 0 sinsinttgdsf dsma 橫向： coscostt 縱向： ( , ) sintan (d , ) sintan u x t x u xx t x 其中： 2 2 ( , ) mds u x t a t

3、 得： ttx，與 位置無(wú)關(guān) 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 0 (d , )( , )u xx tu x t tgdsf dsma xx 2 0 2 (d , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x t tg xf dxx xxt 2 2 (d , )( , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x tu x t xx xxxxx 22 0 22 ( , )( , ) dd ux tu x t tgfxx xt 其中： ddsx 由： t 常數(shù) 得：弦線無(wú)伸長(zhǎng)，t不隨時(shí)間變化，即 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)

4、方程 22 0 22 ( , )( , ) dd ux tu x t tgfxx xt 22 0 22 ( , )( , )ftux tu x t g xt 22 2 22 uu agf tx 一維弦振動(dòng)方程或 一維波動(dòng)方程 2 0 , ft af 令： -非齊次方程非齊次方程 自由項(xiàng) 22 2 22 uu a tx -齊次方程齊次方程 忽略重力和外力作用： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 若在平面上放一個(gè)框架，其上一塊均勻的緊張的薄膜， 離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動(dòng)，則用類似 的方法可導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足 222 2 222 ( , , ) uuu af

5、x y t txy 2222 2 2222 ( , , , ) uuuu af x y z t txyz 稱為二維波動(dòng)方程或膜振動(dòng)方程 其中： u(x,y,t)表示在 t 時(shí)刻、膜在 (x,y) 點(diǎn)處的位移 f (x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力 a2=t/ ： t表示張力、 為線密度 對(duì)三維波動(dòng)方程或聲波方程可寫出為 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 1、初始條件及柯西問題、初始條件及柯西問題 22 2 22 ,0 ( ,0)( ), ( ,0)( ), t uu axt tx u xx x u xx 邊界條件是弦在兩個(gè)端點(diǎn)的狀態(tài)或受到的約束情況，一般有 三種 2、邊

6、界條件及邊值問題、邊界條件及邊值問題 其中函數(shù) 分別表示弦振動(dòng)的初始位置和初始速度 ),( )xx（ 二、定解條件二、定解條件 主要有初始條件和邊界條件 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 12 (0, )( ),( , )( )utg tu l tg t 第一類邊界條件：已知端點(diǎn)處弦的位移（運(yùn)動(dòng)規(guī)律） sin( )(0) x ax a u ttg t aal x 即或 第二類邊界條件：已知端點(diǎn)處弦所受的垂直于弦線的外力， 11 22 (0, )(0, )( ) ( , )( , )( ) x x tututg t tu l tu l tg t 即： 第三類邊界條件：已知具

7、有彈性支承的端點(diǎn)處弦的位移和 所受的垂直于弦線的外力 ( )0 i t 當(dāng)g時(shí)，表示該端點(diǎn)處弦是固定的 ( )0t 當(dāng)g時(shí)，表示弦在該端點(diǎn)處可自由滑動(dòng) 0( )(0) x ax a uu g t aal xx 具體為：或或 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 式中 分別代表兩端支撐的彈性系數(shù)， 表示兩端受到的外 力,當(dāng)外力為零時(shí)，表明弦固結(jié)在彈性支承上，有： )0(0,) i x a u uaal xt （或 i g i 3、混合、混合問題問題 22 2 22 ,0,0 (0, )( , )0,0 ( ,0), 0 ( ,0)( ), t uu axl t tx utu l

8、 tt u x xl u xx （x) 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 xx t xu xxu tx x u a t u ),( )0 ,( ),()0 ,( 0, 2 2 2 2 2 22 ()0 dx a dt 0 2 uu ( ) u f )()( 21 ffu atx atx 2、一維波動(dòng)方程的初值問題一維波動(dòng)方程的初值問題 其特征方程為： 222 ()()0dxa dtdxadt dxadt即： 得特征曲線： 12 ,xatc xatc 作變換： 代入原方程可化為： 從而： 一、達(dá)朗貝爾公式 無(wú)界弦的自 由振動(dòng)問題： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)

9、方程波動(dòng)方程 )()( 21 atxfatxfu )()()()0 ,( 21 xxfxfxu )()()( )0 ,( 21 xxf axf a t xu c a xfxf x 0 21 d)( 1 )()( 2 d)( 2 1 )( 2 1 )( 0 1 c a xxf x 2 d)( 2 1 )( 2 1 )( 0 2 c a xxf x 2 d)( 2 1 )( 2 1 2 d)( 2 1 )( 2 1 00 c a atx c a atxu atxatx 11 ()()( )d 22 x at x at uxatxat a 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式 代回原變量： 利用初始條件： 積

10、分得： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 22 2|,| , 0 00 2 x tt x t xxtt axeueu xuau atx atx s a atxatx dsaseeexu 222 2)( 2 1 )()( 2 1 解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式 atx atx satxatx dseee 2 2 1 )()( 2 1 222 atx atx satxatx eee 222 2 1 )()( 2 1 2 )(atx e 例1：解定解問題 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 例2、 求解cauchy問題 222 22 2 230 ( ,0)3

11、,( ,0)0 y uuu xx yy u xx ux 解：原方程的特征方程為 22 (d )2d d3(d )0yx yx (d3d )(dd )0yxyx 1 2 3xyc xyc 令： 3xy xy 2 0 u 12 ( , )( )( )uff 12 ( , )(3)()u x yfxyfxy 故兩特征 線是： 原方程化為： 其通解為： 帶回原變量得： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 利用初值條件得： 2 12 (3 )( )3fxfxx 12 (3 )( )0fxfx 12 1 (3 )( ) 3 fxfxc 22 1121 93 (3 ),( ) 44 fx

12、xcfxxc 22 1122 13 ( ),( ) 44 f xxcfxxc 2222 13 ( , )(3)()3 44 u x yxyxyxy 積分得： 聯(lián)立求解得： 即： 帶回u得： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示 沿沿x 軸正、反向傳播的軸正、反向傳播的 兩列波速為兩列波速為 a 波的疊波的疊加加， 故稱為行波法。故稱為行波法。 代表以速度a 沿x 軸 正向傳播的波，稱為正行波 代表以速度a 沿x 軸 負(fù)向傳播的波，稱為反行波 2(

13、)fxat 1( )f xat 二、 解的物理意義 )()( 21 atxfatxfu 1 t 2 t 1 f 2 f 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 1 x x 2 x t 2+ xxat 影響區(qū)域 1- xx at x 1 xxat t 1 x 決定區(qū)域 2 x 2 xxat x xatxat 依賴區(qū)間 t ( , )p x t xatc特征線 特征變換 行波法又叫特征線法 atx atx 幾個(gè)相關(guān)概念 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 一點(diǎn)的影響區(qū)域 數(shù)學(xué)

14、物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 22 2 22 ( , ),0 ( ,0) ( ,0)( ),( ), uu af x txt tx u x u xxxx t 三、非齊次問題的處理 22 2 11 22 1 1 ,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ), uu axt tx u x u xxxx t 22 2 22 22 2 2 ( , ),0 ( ,0) ( ,0)0,0, uu af x txt tx ux uxx t 利用疊加原理將問題進(jìn)行分解： 12 uuu 1 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)

15、學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 22 2 22 , ( , ) ( , )0,( , ), axt tx x xf xx t 齊次化原理：若 是滿足下述定解問題的解： 則： 對(duì)u2可利用齊次化原理求解 2 0 ( , )( , , )d t ux tx t 是下述定解問題的解 22 2 22 22 2 2 ( , ),0 ( ,0) ( ,0)0,0, uu af x txt tx ux uxx t 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 1 1 () 1 () 11 ( , )( , , )( , )d( , )d 22 x atx a t x atx a t x

16、tx tff aa () 2 00() 1 ( , )( , , )d( , )d d 2 ttx a t x a t ux tx tf a 從而原問題的解為 () 0() 11 ( , )()()( )d 22 1 ( , )d d 2 x at x at tx a t x a t u x txatxat a f a 22 2 1 22 1 1 ,0 ( ,0) ( ,0)0,( , ), axt tx x xf xx t 令：1tt 為求解定解問題化為： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 3、半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問題半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問題 一、一端固定 定解問題為 22

17、 2 22 ,0 (0, )0,0 ( ,0), 0 ( ,0)( ), t uu ax tx utt u xx x u xx （ 11 (0, )()()( )d0 22 at at utatat a ()()0,( )0 at at atatd ( ),0( ),0 1(),01(),0 , x xx x x xx x 將邊界條件代入達(dá)朗貝爾公式，得 由初速度和初始位移的獨(dú)立性，得 故兩函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，可作奇延拓如下 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 22 2 22 11 ,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ), uu axt tx u x u xxxx t 11

18、1 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 于是原定解問題變?yōu)橐痪S波動(dòng)方程的初值問題 1 111 00 0000 0()() ( ) ()( ) x atx atx at x at x atx atx atat xx at at x x xattxatatx a ddd ddddd 即： 有 由達(dá)朗貝爾公式得 11 ()()( ), 22 11 ()()( ), 22 ( , ) x at x at x at at x x x atx att aa x x atat xt aa u x t d d 所以得解： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章

19、 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 二、一端自由 定解問題為 22 2 22 ,0 (0, )0,0 ( ,0), 0 ( ,0)( ), x t uu ax tx utt u xx x u xx （ 11 (0, )()()()()0 22 x utatatatat a ()()0,()()0atatatat ( ),0( ),0 2(),01(),0 , x xx x x xx x 類似的，將邊界條件代入達(dá)朗貝爾公式，得 由初速度和初始位移的獨(dú)立性，得 故兩函數(shù)應(yīng)為偶函數(shù)，可作偶延拓如下 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 22 2 22 22 ,0 ( ,0) ( ,0)( ),(

20、), uu axt tx u x u xxxx t 111 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 于是原定解問題變?yōu)橐痪S波動(dòng)方程的初值問題 1 111 00 0000 0()() ( ) () x atx atx at x at x atx atx atat x x xattxatatx a ddd dddd 即： 有： （ ）（ ） 由達(dá)朗貝爾公式得 00 11 ()()( ), 22 11 ()()( )( ), 22 ( , ) x at x at x atat x x x atx att aa x x atat xdt aa u x t

21、 （ d d 所以得解： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 4 高維波動(dòng)方程的初值問題 一、三維波動(dòng)方程的球平均法 ( , )( )( )d 22 x atx at x atx at tt u x td tatat 2222 2 32222 3 , , ,0 ( ,0)( ), , , ( ,0)( ), t uuuu a px y zr ttxyz u pp px y zr u pp 考慮柯西問題 改寫一維達(dá)朗貝爾公式 上兩式恰是兩函數(shù)在以x為中心，以at為半徑的區(qū)域 上的算術(shù)平均值。 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat

22、a 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 在以p為中心，以at為半徑的球面上作初始函數(shù) 和 的平均值，分別為： 2 22 2 11 , , , 44 atat pp ss dsds a ta t 和 2 22 2 ( , )( , , , ), , , 44 , , ,11 44 atat pp atat pp ss ss tt u p tu x y z tdsds ta ta t dsds a trar 于是問題的形式解就應(yīng)該是： 其中s代表以p為中心，以r=at為半徑的球面，上式稱為三維 波動(dòng)方程柯西問題的泊松公式，此法也稱為球面平均法 p r 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第

23、二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 為計(jì)算方便，可將公式化為球坐標(biāo)下的累次積分，球面的方程為 2 ()xyzat 222 ( - ) +( - ) +( - ) 設(shè)m為球面上的點(diǎn)，則有 2 2 sincos sinsin cos sin xat yat zat dsa td d p r 2 22 2 22 2 22 2 2 22 2 0000 0 ( , , , ), , , 44 , ,sin( , , )sin 44 sincos ,sincos ,cossin 4 atat pp ss tt u x y z tdsds ta ta t tt a td da td d ta ta t t xat

24、yatzatd d t （） （） 2 0 2 00 sincos ,sincos ,cossin 4 t xatyatzatd d （） 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 2 00 22 22 0000 2 2 00 ( , , , )(sincossincoscossin 4 1 = ()sin(sincos )sin 4 sincos t u x y z txyzatd d t t xyzddatdd t atddxyz ） ,0 xyz解：將初始條件代入泊松公式得 2222 2 2222 0 0 , ,0 , 0, t tt uuuu a x y zttxyz u

25、xyz u 例：求解三維波動(dòng)方程 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 二、二維波動(dòng)方程的求解-降維法 二維波動(dòng)方程的初始問題 222 22 222 2 ,( , ),0 ( , ,0)( , ), ( , ) ( , ,0)( , ), t uuu ax yr t txy u x yx y x yr u x yx y 2222 23 1111 2222 1 3 1, ,( , , ),0 ( , , ,0)( , ), ( , , ) ( , , ,0)( , ), t uuuu ax y zr t txyz u x y zx y x y zr ux y zx y 其解u(

26、x,y,t)可看成是三維柯西問題解u(x,y,z,t)與z無(wú)關(guān)的量 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 1 22 111 ( , , , ), 44 atat pp ss u x y z tdsds at ta t 由三維公式得 222 ( )()() at dsd atxy 由于初始函數(shù)是與z無(wú)關(guān)的柱函數(shù)，故在球面上 的積分可化為球面在z=0平面上投影區(qū)域上的積分 222 :()()() p at xyat cosdds 222 ()()() cos atxy at 由球面上的面積元素和其投影元素的關(guān)系 及兩面積元素法線方向的夾角余玄 得： p r 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方

27、程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 將上下球面上的曲面積分都化為同一圓域上的二重積分， 得二維齊次波動(dòng)方程柯西問題的poisson公式 222 222 ,1 ( , , ) 2 ( )()() ,1 2 ( )()() p at p at u x y td d a t atxy d d a atxy 2 2200 2 2200 1(cos ,sin ) ( , , ) 2 ( ) 1(cos ,sin ) 2 ( ) at at x ry r u x y trdrd a t atr x ry r rdrd a atr 使用時(shí)，可將其化 為極坐標(biāo) 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)

28、方程 依賴區(qū)域與影響區(qū)域 依賴區(qū)域 影響區(qū)域 三、poisson公式的物理意義 1、三維 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 huygens原理無(wú)后效原理 對(duì)于空間任一點(diǎn)p 只有當(dāng) t=d/a 時(shí)，點(diǎn)p才受到影響 當(dāng) td/a 時(shí)，擾動(dòng)在p點(diǎn)的影響已消失 點(diǎn)擾動(dòng) 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 d0 p dmin dmax 當(dāng) t dmin/a 時(shí)，擾動(dòng)尚未到達(dá)p點(diǎn) 當(dāng) dmin/a t dmax/a 時(shí)，擾動(dòng)在p點(diǎn)的影響消失 當(dāng)初始擾動(dòng)限制在一個(gè)有 界區(qū)域d0時(shí)，三維波有清 晰的前陣面和后陣面，這 個(gè)現(xiàn)象稱為huygens原 理無(wú)后效原理 擾動(dòng)后恢

29、復(fù)原狀 未擾動(dòng)區(qū)域 d0 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐 依賴區(qū)域 影響區(qū)域 2、二維情況 2 22 000 () ,k xxa tttt： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波的彌散現(xiàn)象: 對(duì)于空間任一點(diǎn)p 當(dāng) t dmin/a 時(shí)，擾動(dòng)影響p點(diǎn)并永 不消失 d0 p dmin 未擾動(dòng)區(qū)域 d0 當(dāng)初始擾動(dòng)限制在一個(gè)有界 區(qū)域d0時(shí)，二維波有清晰的 前陣面，而無(wú)后陣面，此時(shí) huygens原理不成立，這種 現(xiàn)象稱為波的彌散現(xiàn)象 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 5 混合問題的分離變量法混

30、合問題的分離變量法 22 2 22 ,0,0 (0, )0,( , )0,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ),0 uu axl t tx utu l tt u x u xxxxl t 對(duì)兩端固定的弦自由振動(dòng)問題 對(duì)上述有界區(qū)域上求解偏微分方程定解問題的基 本方法是分離變量法, 理論基礎(chǔ)是富里葉級(jí)數(shù)展開和 疊加原理. 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 一 預(yù)備知識(shí) 1、富里葉展開 在適當(dāng)條件下,一個(gè)函數(shù)可以按泰勒展開成為冪級(jí) 數(shù),也可以按富里葉展開成為三角級(jí)數(shù). 設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，在-l，l上滿足狄利 克萊條件，則可在-l，l上展開成富里葉三角級(jí)數(shù). 0

31、 1 ( )(cossin) 2 nn n ann f xaxbx ll 1 ( )cos,0,1,2, d l n l n afn ll 其中 1 ( )sin,1,2, bd l n l n fn ll 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 0 2 ( )cos,0,1,2, d l n n afn ll 其中 0 2 ( )sin,1,2, bd l n n fn ll 其中： 1 ( )sin n n n f xbx l 特別，當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)， 當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)， 0 1 ( )cos 2 n n an f xax l 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章

32、波動(dòng)方程波動(dòng)方程 2、二階常系數(shù)常微分方程的通解 2 2 12 0 0 1 (4) 2 aybycy abc bbac a 對(duì)方程： 特征方程為： 特征根： ， 由根的取值可得相應(yīng)的解為 ： 12 12 12 12 () (cossin) xx x x c ec e cc x e iecxcx 12 12 12 1)當(dāng)，且為實(shí)數(shù)時(shí)：y 2)當(dāng)，且為實(shí)數(shù)時(shí)：y 3)當(dāng) ，=時(shí):y 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 令( , )( ) ( )u x tx x t t 帶入方程： 2 ( ) ( )( ) ( )x x tta xx t t 2 ( )( ) ( )( ) xx

33、tt x xa t t 令 2 ( )( )0( )( )0xxx xtta t t 帶入邊界條件(0) ( )0,( ) ( )0xt tx l t t (0)0,( )0xx l 22 2 22 ,0,0 (0, )0,( , )0,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ),0 uu axl t tx utu l tt u x u xxxxl t 考慮兩端固定的弦自由振動(dòng)問題 二、定解問題的求解 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 ( )( )0(0)0,( )0xxx xxx l 特征（固有）值問題： 分情況討論： 01） ( ) xx x xaebe 0 0 ll

34、ab aebe 00abx 02）( )x xaxb00abx ( )cossinx xaxbx 0 sin0 a bl 03） 令 ， 為非零實(shí)數(shù) 2 (1,2,3,) n n l 22 2 (1,2,3,) n n n l 22 2 n l ( )sin(1,2,3,) nn n xxbxn l 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 222 2 ( )( )0 nn a n ttt t l ( ) cos sin(1,2,3,) nnn n atn at t tcdn ll ( , )(cossin)sin(1,2,3,) nnn n an an ux tctdtxn l

35、ll 1 1 ( , )( , ) (cossin)sin(1,2,3,) n n nn n u x tux t n an an ctdtxn lll 2 ( )( )0 ( )( )0 xxx x tta t t 22 2 (1,2,3,) n n n l ( )sin(1,2,3,) nn n xxbxn l 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 0 1 ( , )( ,0)sin( ) n t n n u x tu xcxx l 1 0 ( , ) sin( ) n n t u x tn an dxx tll l n xx l n x an d 0 dsin)( 2 l

36、 n xx l n x l c 0 dsin)( 2 由初始條件 ： 相當(dāng)于函數(shù)按奇函數(shù)展開，可得系數(shù)為： 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 )()(),(ttxxtxu 2/ln n x l n bxx nn sin)( t l an dt l an ct nnn sincos 1 sin)sincos( n nn x l n t l an dt l an c 11n nn n n txuu l n xx l n x an d 0 dsin)( 2 l n xx l n x l c 0 dsin)( 2 0 xx0 2 tat 分離變量 求特征值和特征函數(shù) 求另一個(gè)函數(shù)

37、 求通解 確定常數(shù) lxx t xu xxu ttlutu tlx x u a t u 0),( )0 ,( ),()0 ,( 0, 0),(, 0), 0( 0,0, 2 2 2 2 2 解法小結(jié) 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第二章第二章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 三、 解的物理意義 x=x0時(shí)： ( , )(cossin)sin nnn n an an ux tctdtx lll 其中： 22 arctan n nnnnn n cn a acd ld 00 (, )sinsin()sin() nnnnnnn n ux taxtat l sin()sin nnn n atx l 駐波法 l t=t0時(shí)： ,(0,1,2,) m ml xmn n 00 ( , )sin()sinsin nnnnn