2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(陜西理)

1、 2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）（理科） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中 只有一項是符合題目要求的.） 1 設(shè)集合 M = xX2 = x , N= x|lg x0則 M U N =（） B (0, 1 C. 0, 1) A 0, 1 D. (s, 1 2某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示,則 該校女教師的人數(shù)為（） （啊中部）（為中部1 D 167 此函數(shù)可知， C. 137 這段時間水深 B 6 D. 10 A 93B 123 4. 二項式（x + 1）n（n N +）的展開式中x2的系數(shù)為

2、15,則n=（） C . 5 D. 4 ,則該幾何體的表面積為（） -2- 主視圖 廠 止 側(cè)視圖 C . 2 n+ 4 D . 3 n+ 4 A 7B 6 5 一個幾何體的三視圖如圖所示 6 “ sia= cos a是 “ cos 2= 0的（） A 充分不必要條件B 必要不充分條件 C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 7對任意向量a, b,下列關(guān)系式中不恒成立.的是（） A . |a b| p B. p= r v q D. p= rq 10某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A, B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原 料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為 3

3、萬元、4萬 元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（） A. 12萬元 C. 17萬元 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 B . 16萬元 D . 18萬元 11.設(shè)復(fù)數(shù) z= (x- 1) + yi(x, y R),若|z| w,l 貝U yx 的概率為() A.|+ 右 1 1 B1+n 12對二次函數(shù)f（x）= ax2 + bx+ c（a為非零整數(shù)）,四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有 且只有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是（） A 1是f(x)的零點 B. 1是f(x)的極值點 C. 3是f(x)的極值 D .點(2, 8)在曲線y= f(x)上 二、填空題(本大

4、題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上) 13. 中位數(shù)為 1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2 015，則該數(shù)列的首項為 14. 若拋物線y2= 2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 x2 y2= 1的一個焦點，則p=. 1 15. 設(shè)曲線y= ex在點(0, 1)處的切線與曲線 y = -(x0)上點P處的切線垂直，則P的 x 坐標(biāo)為. 16. 如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖 中虛線所示),則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 . 三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17. (本小題滿分1

5、2分) ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c向量m= (a，衍b) 與 n= (cos A, sin b)平行. (1) 求 A; (2) 若a = .7, b= 2,求厶ABC的面積. 冗 18. (本小題滿分12分)如圖，在直角梯形 ABCD中，AD / BC, / BAD = - , AB = BC =1 , AD = 2, E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將 ABE沿BE折起到 AE的位 置，如圖 (1) 證明：CD丄平面A1OC; 19. (本小題滿分12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T, T只與道路暢通 狀況有關(guān)，對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下

6、: T(分鐘) 25 30 35 40 頻數(shù)(次) 20 30 40 10 (1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET; 劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個 50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校 區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率. 2 2 20. (本小題滿分12分)已知橢圓E:予+ 2= 1(ab0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過 1 兩點(c, 0), (0, b)的直線的距離為c. (1) 求橢圓E的離心率； (2) 如圖，AB是圓M: (x+ 2)2+ (y 1)2= 2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A, B兩點，求橢 圓E的方程. 21. (本小題滿分12分)設(shè)fn

7、(x)是等比數(shù)列1, x, X2,，xn的各項和，其中x0, n N , n2. (1) 證明：函數(shù)Fn(x) = fn(x) 2在1 , 1內(nèi)有且僅有一個零點(記為Xn),且Xn = +1 ； (2) 設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn(x), 比較fn(x)和gn(x)的大小，并加以證明. 22. (本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講 如圖，AB切O O于點B,直線AO交O O于D , E兩點，BC丄DE ,垂足為C. (1)證明：/ CBD =/ DBA; 若AD = 3DC, BC = 2,求O O的直徑. 23. (本小題滿分10分)選

8、修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 xOy中，直線I的參數(shù)方程為 x= 3 +*, (t為參數(shù)).以原點為極點 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，O C的極坐標(biāo)方程為尸2 3sin 0. (1) 寫出O C的直角坐標(biāo)方程； (2) P為直線I上一動點，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標(biāo). 24. (本小題滿分10分)選修4-5 :不等式選講 已知關(guān)于x的不等式|x+ a|v b的解集為x|2v xv 4. (1) 求實數(shù)a, b的值； (2) 求.at+ 12+ . bt的最大值. 參考答案 1, N = x|lg xO = x|0v x0,得 n = 6. 5. 解析：選D 由幾何體的

9、三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示. 表面積為 2X2+ 2弓乂冗 |a|-|b|,B不恒成立.根據(jù)|a+bf = a2 +2ab+ b2=(a+ b)2,C 恒成立根據(jù)向量的運算性質(zhì)得(a+ b) (a b) = a2 b2, D恒成立. yi zi = 0, jn (7)= 0* i, i), h得 I = 0，取 n2= (0, Ly2 Z2= 0, 從而 cos 0= |cos ni, n2 即平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值為 19. 解：(1)由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為 T(分鐘) 25 30 35 40 頻率 0.2 0.3 0.4 0.1 以頻率估計概率得 T

10、的分布列為 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 從而 ET = 25X0.2 + 30X0.3+ 35X0.4+ 40X0.1 =32(分鐘). 設(shè)Ti, T2分別表示往、返所需時間，Ti, T2的取值相互獨立，且與T的分布列相同. 設(shè)事件A表示 劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件 A對應(yīng)于 劉教授在路途中的時間不超過70分鐘”. 法一：P(A) = P(T1 + T2詣0) = P(T1= 25, T245) + P(T1= 30, 丁2詔0) + P(T1= 35, T235) + P(T1 = 40, T2 70) = P(T1

11、 = 35, T2= 40)+ P(= 40,35) + P(= 40, T2 =40) =0.4 X0.1 + 0.1 0.4+ 0.1 0.1 = 0.09. 故 P(A) = 1 - P(A) = 0.91. 20. 解：(1)過點(c, 0), (0, b)的直線方程為 bx+ cy- bc= 0, 則原點O到該直線的距離 be = bc .b2+ c2 a , 由d =空得a = 2b= 2 a2-c2,解得離心率：=/. 法一：由(1)知，橢圓E的方程為x2+ 4y2= 4b2.依題意，圓心M(-2, 1)是線段AB 的中點,且AB= . 10. 易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為

12、y= k(x+ 2)+ 1,代入得 (1 + 4k2)x2 + 8k(2k+ 1)x+ 4(2k+ 1)2- 4b2= 0. 設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2), X + X?= 8k (2k+ 1) 1 + 4 k2 X1X2 = 2 2 4 (2k+ 1) 2 4b 1 + 4k2 由 xl + x2=- 4,得一8k12k+ 因此直線AB的方程為y = 2(x+ 2) + 1 ,代入得 x2+ 4x+ 8_ 2b2= 0. 所以 X1 + X2=_ 4, XrX2= 8 _ 2b2. 于是|AB| = = ( X1+ X2) 2_ 4x1X2=、門0 (b2_ 2). 由 |A

13、B|= 10,得.10 (b2_ 2)=10, 解得b2= 3. )=_ 4,解得 k = 1 + 4k2 從而 Xix2= 8 _ 2b . 于是 |AB|=1 + 2 |xi _ x2| =扌.(xi + X2) 2 故橢圓E的方程為行+ y = 1. 123 21. 解：(1)證明：Fn(x)= fn(x)_ 2= 1 + x+ X2+ xn_ 2 , 則 Fn(1) = n_ 10, _ 4xix2=10 (b2_ 2). 由 |AB|=10,得 10 ( b2_2)=10,解得 b2= 3. 2 2 故橢圓E的方程為注+ y = 1. 123 法二：由(1)知，橢圓E的方程為x2 +

14、 4y2= 4b2. 依題意，點A，B關(guān)于圓心 M(_2，1)對稱，且|AB|=10. 設(shè) A(x1, y1), b(x2, y2), 則 x1+ 4y1 = 4b2, x2 + 4y；= 4b2, 兩式相減并結(jié)合 X1 + X2 = _ 4, y1 + y2= 2,得 _ 4(x1 _ x2)+ 8(y1 _ y2)= 0. 易知AB與x軸不垂直，則X1為(2, 所以AB的斜率kAB =也二上= X1_ X22 1+1+ 2 i 尹 0, 故Fn(x)在2, 1內(nèi)單調(diào)遞增，所以Fn(x)在2, 1內(nèi)有且僅有一個零點Xn. 因為xn是Fn(x)的零點，所以Fn(Xn) = 0 , 1 n+11

15、1 即 4 乂“ = 0，故 xn= 1 + +1. 1 xn2 2 由題設(shè)，gn(x)= (n+ 1)( 1 + xn) 設(shè) h(x) = fn(x) gn(x)= 1 + x+ x?+ + xn (n + 1)( 1 + xn) 2 ,x 0. 當(dāng) x = 1 時，fn(X)= gn(X). n 1 、， z n 1 n (n +1) x 當(dāng) xMl時，h x)= 1 + 2x+ nxn n -1n -1n - 1 n ( n+ 1 ) n - 1 n ( n + 1 ) n - 1 若 0 v x v 1 , h x) xn 1 + 2xn 1 + + nxn 1 x =x n+xn-1

16、= 0. 若 x 1, hx)vxn 1 + 2xn 1+ nxn1 n ( n+ 1) xn1= n(羅 xn 1 n(n+ 1)xn 1= 0. 所以h(x)在(0, 1)上遞增，在(1, +上遞減， 所以 h(x)v h(1) = 0,即 fn(x)v gn(x). 綜上所述,當(dāng)x= 1時，fn(x)= gn(x)； 當(dāng) xMl時,fn(x)v gn(x). 法二：由題設(shè)，fn(X)= 1 + x + X2+ + xn, ,x 0. (n + 1)( xn + 1) gn(x)= 當(dāng) x = 1 時，fn(x) = gn(x). 當(dāng)x工1時，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明fn(X)V gn(x).

17、 1 2 當(dāng) n= 2 時，f2(x) g2(x)= 2(1 - x) v 0, 所以f2(x) v g2(x)成立. 假設(shè)n = k(k2)時，不等式成立，即fk(x) v gk(x). 那么，當(dāng)n = k+ 1時, k + 1k+1 fk+ 1(x)= fk(x) + x v gk(x) + x (k+ 1)( 1 + xk) 2 卜 xk+1 2xk+1+( k+ 1) xk+ k+ 1 2 又 gk+ 1(x) 2xk+1+( k+ 1) xk+ k+1 2 kxk+1( k+ 1) xk + 1 2 令 hk(x)= kxk+1 (k+ 1)xk+ 1(x 0), 則 hk(x)=

18、k(k+ 1)xk k(k+ 1)xk 1 =k(k+ 1)xk 1 (x 1). 所以當(dāng) 0v xv 1 時，hk(x)v 0, hk(x)在(0, 1)上遞減; 當(dāng) x 1 時，h k(x)0, hk(x)在(1, +s上遞增. 所以 hk(x)hk(1) = 0, 2xk+1+( k+ 1) xk+ k+ 1 從而 gk+ 1(x)2. 故fk+1(x)v gk+1(x),即n= k+ 1時不等式也成立. 由和知，對一切n多的整數(shù)，都有fn(x)v gn(x). 法三：由已知，記等差數(shù)列為 ak,等比數(shù)列為 bk, k= 1, 2,，n + 1.則a1= S= 1, an+1= bn+ 1= Xn, n 4 x 1 所以 ak= 1 + (k 1)齊(2 惑q), k 1 bk = x(2詠勺), 令 mx) = ak bk = 1 + (k 1)( xn 1) n k 1 x , x 0(2*n), 當(dāng) x = 1 時，ak= bk ,所以 fn(x) = gn(x)