化工問題的建模與數(shù)學(xué)分析方法第四章習(xí)題及答案

1、第四章習(xí)題1. ( V)判別以下方程的類型，并指出變系數(shù)中自變量取值范圍(1) + 4z/ n. + 3nvv + 4m y 一 3u = Jty(2) =xsiny(3) Xx-y-uy=O(4) m=0解：(1) a=l, b=2, c=3, b2ac0,是雙曲型方程(2) b=05, b2-ac0,是雙曲型方程(3) b2ac=x2y2,當(dāng)x=0或y=0時，是拋物線型方程，否則是雙曲型方程(4) b2-ac=xy,當(dāng)x=0或y=0時，是拋物線型方程，當(dāng)x和y同號時是雙曲型方程, 否則是橢圓型方程2. ( J)證明：(1) 圓形區(qū)域上Laplace方程V2u=0任圓對稱情況下的通解為ury

2、 0) = Anr + B式中r為徑向極坐標(biāo)，A、B為任意常數(shù)(2) 球形區(qū)域上Laplace方程V2u=0在球?qū)ΨQ情況下的通解為(p) = A + B/r式中r為徑向球坐標(biāo)，A、B為任意常數(shù)證明：(1)在極坐標(biāo)下，圓型區(qū)域內(nèi)，laplace方程的表達(dá)式為(r) + -=0r dr dr r2 6少= 0(0(92), ded / du小(廣一)= 0, 5r dr在圓對稱情況下原方程可化為u(i0) = An r + B解得(2)同理可證3. (J)用分離變量法求解以下一維熱傳導(dǎo)方程的左解問題 ut =uxx(0xT,+ AT = O (3)X ,r+ AX =0X (0) = 0(4)X(

3、l) = 02” 一 1A =n = 1,2,3-.(5)(5)代入(2)XnM = CfJ COS(tcx n = 1,2,37；,(r) = BfIexp -嚀打 t /W(X，0 = 2LAr CXP 一n-12n -1712cos( ：_ )(8)其中幾由下式確泄:x 2/2 _ 1f = 0、h(x,0) = 22 cos(-兀x) = f(x)n-12fi2h 1= 4 = 21 f(x)cos(x)dx (9)叫=% 一 6(0 T9 XM 0 =Z(14)T X=廠+燈=0(15)X”+2X=0X(0) = 0Xr(l)=0(16)2? 12 =(兀)2; = 1,2,3(17

4、)2Xn=C;/sin斗亠J; n = l,2,3(18)7；=耳 exp(斗;r)*); ” = 1,2,3 (19)x 2/2 1w(x,/)=工兒 exp(-(/r)h)sinh-i2斗爲(wèi)打；n = l,2,3(20)4=2Jo(T)sin-7txdx (21)因此，問題的解為如打兀 ” = 1，2,3(22)I 2丿g2n _ 1=n-lz/(xj) = x? -x + l +工 A” exp(-(/r)2r)sin24. 解下列矩形域的拉普拉斯方程左解問題uxx + uyy =0(0xa9 0yb) 1 n 兀 1/flcos-x = _(-x)將以上兩式的右端展開為cos-x的傅立

5、葉級數(shù)，然后逐項比較系數(shù)，得到Ar exp(/?) + Bn exp(-/?) = 0 aa20Ar + Bn= -一(l-COS/F)(曲)由此解得20(1 -cos/77F)exp(- Z?)& =(httY exp(- /?) -exp(/?) aallTT . rJI兀八iexp(b)20(1 -cosn)exp(b)Br = A/t =exp(/)(n7r) exP(exP(_)aaa代入方程(10),于是問題的解最終為X 吩,刃=工 w-120(1-cosn/r)叫嚴(yán)-肓x)(閒cos x5=123,)sh(b)5. 對于第一章習(xí)題2所述的池塘結(jié)冰問題，如果空氣溫度八丫每天呈現(xiàn)周期

6、性變化，其規(guī)律用 以下方程描述Tw =TA + AT cosr求冰層中的溫度分布及厚度/的時間變化趨勢，若給泄冰的導(dǎo)溫系數(shù) a = k1 pep =0.124,/s,帀=_10匸,Z5C, r = 86400s,再問冰凍三尺需幾日之寒？提示：在求冰層中溫度分布時，其厚度可作為常數(shù)考慮。在一般情況下，還可以將氣溫 幾，進(jìn)一步考慮為時間t的Fourier級數(shù)以反映天氣的逐日變化和中長期變化的影響。解：a)可用一維熱傳導(dǎo)方程來描述該過程，假立厚度1不變oT d2T=a-dt dx2 T(x,0) = 07W) = 7；,7W) = 0oFd2G假定怎解為下列形式，T=F(t)G(x)o由于溫度變化是

7、周期的，則F中解的指數(shù)為虛數(shù), 原一維熱傳導(dǎo)方程可化為=iA2F Go=一aF G即fT。Gl-(iAr)G = 0解得T = Cexp(/227 Q土 ix)由此將產(chǎn)生4個特解7 = Cj exp-x +%）1T2=C2 exp-J-2x-z（22ar - J/l2 x）T、= C、expA/A2 x + Z（A2crr + A2 x）T4=C4 exp J- /I2 x - at + J- A2 x）T = exp（-J匚才 x）cxpi（才a/ 才 x） + C2 exp-i（Arat - 勸當(dāng)“Too時，T有界，故將口和Ts舍去，將Ti和T?相加得到另一個特解用三角函數(shù)進(jìn)行表示,T =

8、 exp（-# 才 x）Acos（才Q/ -才 x） + Bsin（才a/ - 才 x）依照邊界條件確宦常數(shù)A, B和入T（O.r） = A cos（才刃）+ B sin（久a/） = Tw =TA + AT cos = TA + V （an cos“ +Z?“ sin 加 r “ 粽TT比較得 An = an Bn =btl A =在x=0處，其平均溫度是零瞬間時初始瞬變的結(jié)果。這一變化的階梯解是:x將此式子附加至解，得：x） + bti sin（ - Ax） r V arT = TA（-erf一） + exp（- x）w cos2Qat 鋁 att = ta +上式并不滿足初始條件，所以不

9、能用于很小的時間范圍。但是對于很大的I值，吋（紜） 趨于零，結(jié)果形成的表示式可以很好地表示在初始瞬變已消失的情況下的周期溫度分布： 2網(wǎng) nn u、cos（C “ = Ja；+9；b）厚度1的時間變化趨勢 由一維熱傳導(dǎo)公式可得：Lf pAdl = k Adt英中厶/為潛熱|IfC1C nf兩端分別積分可得一/ = f (-7；-ATcos)J/= (10/-5 sin)2 J pLft pL(2/r t將具體數(shù)值厶=3.35xlO5J/ = 2.22W/?.K p = 93kg/m 代入上式,用 matlab 解得 t=6882779.6s=79.6 天隨著時間的增加，負(fù)積溫逐漸累積，冰層不斷

10、加厚，但是速度越來越緩慢。6. ( J)求圖示的半環(huán)形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)溫度分布(lvrvcQvX/r) 邊界條件為：當(dāng)r=c時，u=u()，其余邊界保持0度。解：極坐標(biāo)系下的熱傳導(dǎo)方程為_d_7=0(提示：本題作法與第四章第2節(jié)情況3介紹的圓上Laplace方程的第一邊值問題解法類似，參見p204,區(qū)別有兩點：一是此處為半圓，00,故由Sturm-Liouville問題的基本定理,D特征值及特征函數(shù)都存在，且特征函數(shù)帶權(quán)函數(shù)Ny)/D正交，正交性定義如下0, m H nJQ)2字炊亠JA” (刃打(y)羅心=特征根由問題(7)中的齊次邊界條件確左。最后，假泄特征值問題（7）的解匕（刃已獲得，則由（

11、6）Xn = cn exp（人 x）X(兒 y)=工 4 exp(-2/fx)(y)(9)fl-1系數(shù)An由下式確左30”(o，y) = ZZZ(y) = -z(y)(10)n-lf(F)YQ)羋U =&=rr (11)于是所求的解答為C(x, y) = z(y) + X A. cxp(DX, (y);r-l8.證明對于周期邊界條件y() = y(b) , yr(a) = yb)由方程(4.3.7a)所確怎的特征函數(shù)在e列內(nèi)是帶權(quán)p(x)正交的。解：k(x) - q(x)y + Ap(x)y = 0 (a x 0, p(x) 0) dx dxy(a) = y(b) ya) = y(b)假設(shè)兒工

12、九，則有2伙(x)學(xué)卜q(x)兒+%(x)兒=0dx dxJ-A)x為使方程有非零解，可令iw2 = 2 -1通解可表示為y = ex(A cos a)x+ B sin cox)由邊界條件和使問題有非零解，只有sinty = 0因此特征值為CD =亦、2 = 1 + 1V7T-相應(yīng)的特征函數(shù)為yn(X)= ex sin httx10. ( J)設(shè)一半徑為R的均質(zhì)圓盤，周邊維持在溫度Tr,上下表而與環(huán)境有熱交換，初始溫度為To,則圓盤的溫度分布可用以下問題描述dt r drr-h(T-Te)T(RM = Tr,0) = 7；式中a為導(dǎo)熱系數(shù)，h為圓盤與環(huán)境的傳熱系數(shù)，滄為環(huán)境溫度，試用分 離變量

13、法求出盤內(nèi)的溫度分布八“)解：令 T-T=FdF 1 d原方程化為dF d ( dF “dtr dry drF(R、HFO) = TTC再將邊界條件化齊，設(shè)F(rJ) = vtv(rj)的齊次邊值問題w(幾 0)= 嗆)令叩j) = P(r)(3(r),分離變量后得到Q = A exp-(2 + h)ta- r + 2P = 0 r dr dr )P(R) = 0特征值問題的解為0階Bessel函數(shù)代二J。(加其中九由齊次邊值確定J。(呼)=0最后用富里葉一貝賽爾級數(shù)表示00nw(r,t)二工 A. exp-(/ln +/0dA(J n=iY a其中A尸 一J； W譏(匸門皿由ur,r) ,v

14、(r)得到F,再得到T的分布T = A. exp-(A+/?)rJ0( n=l11-( V)在原子能電站的反應(yīng)堆中，球形的核燃料顆粒(鈾或缽)在受控裂變時生成速 率為0的單位體積熱源，這一熱疑必須通過流動的冷卻劑移出反應(yīng)器。為了了解和預(yù)測顆粒溫 度的變化，需要考慮不泄常的熱量衡算方程。對于單顆粒燃料，該方程為dT 1 a z , q、- =(x(r) + -(0r d Q 八 a (廠一)+ 丄二=0 r dr dr pcfv(0) /Tr)(8)F = - Acos(/2r) + sin(/2r)(9)r當(dāng)尸TO, F有限，所以A=0F = -sin(77r),代入(6)中的邊界條件得：r一

15、k sin(/7r) + - /Tcos(VJ7) rr(10)r-nr-n(2)i(T)r-fln v(r)= QJ+辿+/+6pCp(xh丿(k -uh)tg(uJX) = kciyfX (10)由（10）即可解出特征值人，特征函數(shù)E（y）= #sinG/&） （11）由（5）En = Bn exp(-rar) (12)因此，所求得解為T = v(r) + exp(-2;iar) sin(r) (13)H-l r(14)人 _ 7； - v(r)rsin(r5p7)JrJ： sin：(勺石)12. （ V ）現(xiàn)代血液透析裝置（人工腎）的原理類似于一個逆流列管式換熱器，由大約一 百萬只微孔中

16、空纖維管朿組成，每只中空纖維的管壁為聚合物半滲透膜。當(dāng)血液從管的一頭 注入向期一頭流出時，有害溶質(zhì)如尿酸等就透過管壁膜滲出管外，由管間的透析液體（通常 不含尿酸）帶出。溶質(zhì)在中空纖維管中的流動與傳遞可由以下方程描述de1 6 &vo = - ）czr or or式中巾為血液流速（常數(shù)），D是溶質(zhì)在血液中的擴(kuò)散系數(shù)。設(shè)未透析的血液中含溶質(zhì)濃度 為co,則入口端邊界條件為 壁面的邊界條件為&p=R : 一 D= = Kl（c-Cd）cr式中co為管外透析液中的溶質(zhì)濃度（一般取為0）, K仇為半滲透膜的傳質(zhì)系數(shù)，代表管壁和管外表而的傳質(zhì)阻力，即丄二仝+丄這里加為管壁厚度，D“為溶質(zhì)通過管壁的擴(kuò)散系數(shù)

17、，心為管外側(cè)的傳質(zhì)系數(shù)。為了實時預(yù)測透析效果及透析速度巾的影響，需要求解上述問題。試用分離變量法求解并證明在出口端2 =/處，溶質(zhì)的截而平均濃度由以下關(guān)系式給出exp -盂竺討 乙注 W C心朋+芻）式中盼器，特征值兒由下式雌 解：不妨取5為零（或者先將邊值化齊也可以得到同樣的結(jié)果），令c(r9z) = E(z)F(r)乍滬忌戶E+A2E = O = E = Aexp（- 22z）（2）vovo_（r）+ 22rF = 0由得F = AZ。（加）+ 叭（加）（4）由于Y.（Ar）在=0處有奇異性，故有B=0,于是F =）（5）由邊界條件（3）DaJAR） = KiiLJAR） （6） 上式可確

18、泄出特征值人，特征函數(shù)為1%如于是問題的解為8F）c（Z）=工 Al exp（-盂Z）丿（如）（8）由Bessel函數(shù)的性質(zhì)（第93頁（5.47）式）再由p222頁腳注扣仏帖）F + *箕迓（入岡尤 施咖亦=o上式結(jié)合邊界條件（6）得jXnr）rdr =押片（入+存啓（入&oL平均濃度為于是式中Tn由 E4 exp(2/)rJ0(4) n-IV0rK_ crdre=Ju |0 皿E 4exp( - - 2n2Z)叭違 4exp(-材-n-1 0Aj _w-1R2/24c0exp(-i?=s關(guān)RJ (2”R)1 +疋尤乂沃0九R4c0exp( - Al)v=y乙 r)2心1 + K盂盂疋oL(1

19、1)4exp(- 2/)1+(錢人門材疋KoL(12)令幾=驅(qū)B嚴(yán)警,(.DI、nr)丄=4工- (13)Co -1 “3 + (薈)2V1（）= Vo（） （14）確左。至此，公式證畢。13.求一球殼內(nèi)的軸對稱穩(wěn)態(tài)溫度分布，設(shè)在球殼表面r=/?i上溫度分布為已知7=/1（0； 在球殼內(nèi)表ifilr = /?2上，溫度分布為T=f2（e）.試用Lengendre函數(shù)給岀殼體內(nèi)的溫度分布。 解：問題由球坐標(biāo)系中的Laplace方程描述，在軸對稱及穩(wěn)態(tài)溫度分布的條件下，方程簡化為22糾*丄2sin&色=0（尺*,0刃dO dr） sinOdOV 60）17（1）邊界條件為用分離變疑法處理，令I(lǐng) 心

20、：e）= H（e）R（r）分離變量后可得到(3)(4)暑卜竽卜幾5+1).蘭 sinHsinOdOydHTo=-2 = -5(5+1)(5)這里將常數(shù)X表示為s(s+l)是為了下而求解的方便。由于R(r)的邊界條件不是齊次的，方程(4)不構(gòu)成特征值問題，其展開后為歐拉方 程，通解為/?(r) = Ars +對方程(5)作變換，令x=cos6,化為Legendre方程9(1一，)咀+ s(s + l)H =0(7)dxdxq(x)y + Ap(x)y = 0,(ax0,p(x)0)(8)dx dx將上式與 Sturm-Liouville 方程(8)比較,知 k(x)=lx20, p(x)=l0,

21、 q(x)=0,滿足特征值問題的條件。由于k(x)在邊界x二1上均為零點，因此邊界條件應(yīng)代之以自然邊界條件根據(jù)Sturm-Liouville特征值問題的四個基本上理，特征值s和特征函數(shù)H(x)必左存在, 且s(s+l)全0,特征函數(shù)H(x)正交且完整。因此方程(7)若要得到滿足邊界條件(9)的 解，參數(shù)S只能取為正整數(shù)，即s = 7?(n=0, 1, 2,)相應(yīng)的特征函數(shù)為n階的Legendre多項式(10)H(x) = Pn(x)從而由方程(6)、(10)以及線性疊加原理可將原問題的一般解表示為一下級數(shù)形式0C(11)譏八。)=工A” + B/7Z(cos&)(1匸12 )/M)由邊界條件(

22、2)得/“) = 兒印+盼嚴(yán)噌(cos &)(12), (13)f=XW1 + 耳可 Z 比(COS&)/|-0方程(11)的系數(shù)An、Bn由上述兩式確定。若fi、f2具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，則由Sturm丄iouville特征值 問題的第四立理，可得匸/“比心)厶片(皿2n +12(cossin Odd(14)英中 fJ2n +1同理 人用 +=卻學(xué)人(&比(cos&)sin&d&(15)由(14)、(15)可解得系數(shù)Am Bn的值，然后代入方程(11)即得問題的解匚14-如果將5.4節(jié)所述的反應(yīng)一擴(kuò)散模型的邊界條件(4569)改換成無滲透邊界條件，即dudx zdu試給出相應(yīng)的

23、線性穩(wěn)左性問題的失穩(wěn)判據(jù)。 解：改為無滲透邊界條件dudx x=0.1dvdx A=OJ=0之后.對于開放系統(tǒng)中的化學(xué)反應(yīng)，仍存在唯一的均勻穩(wěn)泄解，即X=AYs=B/A.小擾動變量的左義仍然適用，u. v所滿足的線性方程組(4.5.68河轉(zhuǎn)化為纟dt vM=L (4.5.68B),v其中B 1 + Dd2a?A2-B與例題類似，當(dāng)方程中不含化學(xué)反應(yīng)項時，(4.5.68B)中的兩個方程可分別獨立求解，其級數(shù)解具有如下形式=C，心cosh加，將此解形式代入原方程組再利用矩陣解法可得: v aDj兀+ 3 _ _血BA2一兀cioA -血_0要令方程組存在非零解，則C1C2不能完全為零，其必要條件為

24、)| rr 礦 + B 1BA2Dji-礦 丸=0表示成更直觀的形式為A;-rr4+A = o其中tr=B-(A2 +l)-n2fr2(Dl + D2) A = A2 +n22A2D, +(l-B)D24-w44D,D2 解得2=l(rr7r;-4A)ns時，血有負(fù)實部，因此穩(wěn)態(tài)解(x5,rj對波數(shù)很大的擾動總是穩(wěn)圧的II當(dāng)/；一4 0,即B(A2+l)-n22(D1+D2),則血的 實部為正，此時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，臨界條件為Bn =(A2 +)-n27rDi+D2)n取0, 1, 2,時各本征解對應(yīng)的BO, Bl, B2,是產(chǎn)生分岔解的所在之處，意即，對于n的某個值，每當(dāng)至少有一個相應(yīng)的血的實

25、部為正時，穩(wěn)態(tài)解對波數(shù)n的不均勻擾動是不 穩(wěn)左的，這樣的擾動便會長大而可能導(dǎo)致某種以波數(shù)n為特征的有序結(jié)構(gòu)，由/；-4厶0還可以得到(A-jJ)2BM + 5j)2=1 + (力r)2(p Q),同時滿足上兩式的分岔解，屬于時間周期解?！镜?D. Dj卅此為穩(wěn)立區(qū)和擾動能夠非振蕩地長大的不穩(wěn)左區(qū)之間的分界線。勺5理想流體繞球體的流動可用速度勢函數(shù)的Laplace方程描述V2 = 0邊界條件為r = a , u = = 0ar/ T 8, ur = = COS 0dr試用分離變量法求出速度勢函數(shù)0(人&)在球外的分布，并進(jìn)而求出徑向和&方向的速度分量o(b1 d(br dr 6 r dO解：問題由球坐標(biāo)系中的Laplace方程描述，在軸對稱條件下，方程簡化為2日 + 1dr)d0=0(r a,0 0 8, ur = = U)COS0dr(2)用分離變量法處,令0(詢 = R(r)H(8)(3)分離變量后可得到=2 = 5(5 + 1)(4)(5)這里將常數(shù)X表示為s(s+l)是為了下而求解的方便。由于R(r)的邊界條件不是齊次的，方程(4)不構(gòu)成特征值問題，