一元二次方程韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)答案

1、韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題0一、填空題1、關(guān)于x的方程2x2-3x +m=o，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正數(shù)根;時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根;時(shí)，方程有一個(gè)根為0。2、已知一元二次方程2x2 -3x -1 = 0的兩根為X1、X2，則X1 +X2 =3、如果X1，X2是方程x? 5x+6= 0的兩個(gè)根，那么X1X2=X14、已知X1，X2是方程x2+6x+3=0的兩實(shí)數(shù)根，則 一+的值為X1X25、設(shè) X1、X2 是方程 2x2+4x-3 = 0 的兩個(gè)根，貝 U(X1 +1)(X2+1)=6、若方程2x2 -4x -3 = 0的兩根為g P，則a2 -2a廿H =17、已知為、x2是關(guān)于X的方程(

2、a -1)x2 + x + a2 -1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1 + x2 = 一，則x1 x2 =38、已知關(guān)于X的一元二次方程mx2-4x-6=0的兩根為x1和x2，且為+%2=-2，9、若方程2x2-5x+k=0的兩根之比是2： 3,則k =10、如果關(guān)于X的方程X2 + 6x+k =0的兩根差為2,那么k =11、已知方程2x2 +mx-4=0兩根的絕對(duì)值相等，則 m =12、已知方程x2-mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，則 m =13、已知關(guān)于X的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1 =0兩根互為倒數(shù)，則a =14、已知關(guān)于X的一元二次方程x2-2(m-1)x + m2=

3、0。若方程的兩根互為倒數(shù)，貝U m =若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則 m二15、元二次方程px2+qx+ r =0 (p HO)的兩根為0和 一1,則p ：q =16、已知方程彳宀-“0，要使方程兩根的平方和為13，那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改為17、已知方程x2+4x-2m=0的一個(gè)根a比另一個(gè)根P小4，則=; P =18、已知關(guān)于X的方程X2-3x+k =0的兩根立方和為0，則k =19、已知關(guān)于2113X的方程X -3mx +2(m -1) =0的兩根為為、x2，且一 += -一，貝U m =4X1X220、若方程X24x+m=0與x2-x2m=0有一個(gè)根相同，則 m =21、元二次方程2x23

4、x+1 =O的兩根與x2-3x+2=0的兩根之間的關(guān)系是22、請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1,兩實(shí)根之和為3的一元二次方程:23、已知一元二次方程的兩根之和為 5，兩根之積為6，則這個(gè)方程為24、若處P為實(shí)數(shù)且口 +P 3|+（2-邯）2 =0，則以a、P為根的一元二次方程為（其中二次項(xiàng)系數(shù)為1）25、求作一個(gè)方程，使它的兩根分別是方程 x2+3x-2=0兩根的二倍，則所求的方程為二、解答題1、已知m n是一元二次方程x2-2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求2m2+3n2+2m的值。2、設(shè)X1、X2是方程2x2-4x+1=0的兩個(gè)根，求|X1-X2|的值。3、已知x1、x2是方程x2-2x+a=0的兩個(gè)實(shí)

5、數(shù)根，且 捲+ 2x2=3-j2 .（1）求X1、X2及a的值;(2)求 x.,3 -3Xi2 +2x1 +x2 的值.4、已知x1、x2是一元二次方程X2 +7mx + n = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x；+（為+x2）2 =3，弓+弓=5，2 2X1X2求m和n的值。5、已知 a2 =1-a , b2 =1 -b ,且 a Hb，求（a -1）（b -1）的值。6、設(shè)：3a2-6a-11=0， 3b2-6bT1=0 且 ab，求 a-b 的值。7、已知：a、P是關(guān)于x的二次方程：(m-2)x2 +2(m-4)x + m-4=0的兩個(gè)不等實(shí)根。(1) 若m為正整數(shù)時(shí)，求此方程兩個(gè)實(shí)根的平方和的值；

6、(2)若a2 + P2=6時(shí)，求m的值。8已知關(guān)于x的二次方程X2 + mx-1=0的一個(gè)根是42-1，求另一個(gè)根及m的值.9、已知方程5x2+mx-10=0的一根是一5,求方程的另一根及 m的值。10、已知2+73是x2-4x+k=0的一根，求另一根和k的值。11、(1)方程x2-3x +m=0的一個(gè)根是42，則另一個(gè)根是 若關(guān)于y的方程y2 -my+ n=0的兩個(gè)根中只有一個(gè)根為0,那么m、n應(yīng)滿足，另一個(gè)根為12、如果X =1是方程2x2-3mx+1=0的一個(gè)根，貝U m =13、已知關(guān)于x的方程2x2+5x=m的一個(gè)根是一2，求它的另一個(gè)根及m的值。14、已知關(guān)于x的方程3x2 -1

7、=tx的一個(gè)根是一2,求它的另一個(gè)根及t的值。15、在解方程X2 + px+q=0時(shí)，小張看錯(cuò)了 P，解得方程的根為1與3;小王看錯(cuò)了 q，解得方程的根為4與-2。這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么？16、已知一元二次方程 8y2 _(m+1)y+m-5=0。(1) m為何值時(shí)，方程的一個(gè)根為零？(2) m為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)？(3) 證明：不存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)相互為倒數(shù)。17、方程x2+3x+m=0中的m是什么數(shù)值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足:(1) 一個(gè)根比另一個(gè)根大2；(2) 一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍;(3) 兩根差的平方是17。18、已知一元二次方程8x2-(2m+1)x+m-7 =0

8、，根據(jù)下列條件，分別求出 m的值:(1) 兩根互為倒數(shù)；(2) 兩根互為相反數(shù);(3) 有一根為零;(4) 有一根為1 ；20、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+12=0的兩根之差為11,求m的值。21、已知關(guān)于x的二次方程x2-2(a-2)x + a2-5=0有實(shí)數(shù)根,且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值。22、已知方程X2 +bx+c=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根,兩根之差等于3,兩根的平方和等于29,求b、c的值。23、已知關(guān)于x的方程2x2 一(m一1)x + m + 1=0的兩根滿足關(guān)系式xxl，求m的值及兩個(gè)根。24、已知關(guān)于x的方程X2-(k+1)x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和

9、等于 6,求k的值.25、a、P是關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-X+1 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且滿足3 +1)(P+1) =m+1，求實(shí)數(shù)m的值.26、a、P是關(guān)于X的方程4x2-4mx+m2 +4m=0的兩個(gè)實(shí)根,并且滿足心1)1唸，求 m的值。27、已知：a、P是關(guān)于X的方程X2+(m-2)x+1 =0的兩根，求(1 + ma +a2)(1+mP+P2)的值。28已知關(guān)于x的方程X2-2(m-2)x + m2 =0，問(wèn)：是否存在正實(shí)數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56,若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.29、關(guān)于X的一元二次方程3x2 -(4m2 -1)x + m(m + 2

10、) =0的兩實(shí)根之和等于兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和，求 m的值。30、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 +bx+ c=0(aH0)的兩根之比為2:1，求證：2b2 =9ac。31、已知方程x2+mx+4=0和X2-(m-2)x-16 = 0有一個(gè)相同的根，求m的值及這個(gè)相同的根。32、已知關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為a、P，且兩個(gè)關(guān)于x的方程X2+(a+1)x + P2=0與X2+(P+1)x+a2 =0有唯一的公共根，求a、b、c的關(guān)系式。33、已知為、x2是關(guān)于x的方程X2 + px +q =0的兩根為+1、xh1是關(guān)于x的方程x2 + qx + p = 0的兩根，求常數(shù)P、q的值

11、。34、已知方程x2+mx+12=0的兩實(shí)根是為和X2，方程x2-mx + n=0的兩實(shí)根是為+7和X2 + 7,求m和n的值。35、已知 2s2 +4s-7 =0 ,7t2-4t-2=0，s、t為實(shí)數(shù)，且stH1.求下列各式的值:(1)節(jié)3st-2s+3036、已知xi、X2是關(guān)于x的方程X2 +m2x + n = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；yi、y?是關(guān)于y的方程y2+5my + 7 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1 -yj =2, X2 - y2 =2，求m、n的值。37、關(guān)于X的方程m2x2+ (2m +3)x+1=0有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根,x2 + 2(a +m)x +2a-m2+6m-4=0有大于0

12、且小于2的根，求a的整數(shù)值。38、已知關(guān)于X的方程mx2 - nx+2=0兩根相等，方程x2-4mx + 3 n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍。求證：方程X2-(k +n)x+( k-m)=0 定有實(shí)數(shù)根。46、已知方程x2+5x7=0，不解方程，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程的兩(1)求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;若方程兩根為x1、x2，且滿足，求m的值.x x2 2140、關(guān)于x的方程x2m- n2=0，其中m、n分別是一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)。4(1) 求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2) 若方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8,等腰三角形的面積是12

13、,求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。41、已知關(guān)于y的方程y22ay-2a-4 = 0。(1) 證明：不論a取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2) a為何值時(shí)，方程的兩根之差的平方等于16?42、已知方程2x2-5mx +3n =0的兩根之比為2 : 3，方程x2-2nx+ 8m = 0的兩根相等(mn H0)。求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，方程mx2+(n+k-1)x+k+1=0恒有實(shí)數(shù)根。43、如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程X2+2(m + 3)x + m2+3 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根口、P 那么e -1)2 +(P -1)2的最小值是多少？44、已知方程x2+ax+b=0的兩根為捲、x?，且4為+x2 =

14、0，又知根的判別式也=25，求a、b的值。45、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是 2 +島和2-晁。個(gè)根的負(fù)倒數(shù)。47、已知方程2x23x3=0的兩個(gè)根分別為a、b，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程使它的兩個(gè)根分別是:(1) a+1、b+1(2) 空、空a b48、已知兩數(shù)之和為一7,兩數(shù)之積為12,求這兩個(gè)數(shù)。49、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。4、50、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的和為 6cm面積為7 cm2，求這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)51、2已知關(guān)于x的方程X2 -(2a-1)x+4(a-1) =0的兩個(gè)根是斜邊長(zhǎng)為5的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng),求這個(gè)直角三角形

15、的面積。52、試確定使X2 + (a -b)x +a =0的根同時(shí)為整數(shù)的整數(shù)a的值。53、已知一元二次方程(2k-3)x2+4kx + 2k-5 = 0，且4k+1是腰長(zhǎng)為7的等腰三角形的底邊長(zhǎng),求：當(dāng)k取何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根。54、已知關(guān)于x的一元二次方程X2 +2x + p2 =0有兩個(gè)實(shí)根xi和x2 ( xi x2)，在數(shù)軸上，表示x2的點(diǎn)在表示Xi的點(diǎn)的右邊，且相距P +1 ,求P的值。答案一、填空題1、0 m 蘭9 ;0m 021(2)方程的兩根互為相反數(shù)，即b = 0，此時(shí)m = -12方程的一個(gè)根為0,即C = 0，此時(shí)m = 7 ;(4)方程的一個(gè)根為 1此時(shí)82m1+

16、m7=0 ;解得m = 0 ；19、% +X2 = -m20、I x1x2 =12I兇 一 X2 = 11為=12,解之X2 =1m = 1321、i 0X1 + X2 =2(a -2)由題意可得X1X2=a2-5即a2-5=4(a-2)，解得a=1或a =3 (舍)X1X2 =2(x1 +X2 )22、不相等的兩正根，則23、(X1 X2)2 =(X1 +X2)2-b0，由題意解得F7Iic=10c a0lm -1 2m+1 .-4皿2=() -4x=12 2即 m2 -10m -11 = (m -11)(m +1) = 0當(dāng) m=11 時(shí)，x2-5x +6=0，解得 x=2 或 3;當(dāng) m

17、 = -1 時(shí)，X2 + X =0，解得 X =0或-124、X12 +x； =(X1 +x2)2-2x1X2 =(k+1)2-2(k+2) =6，化簡(jiǎn)得 k2-9 =0 ,所以 k = 3或 k = 3 (舍)25、/ (a +1)( P +1) =aP +a + P +1 = m +1 ,= m，解得 m = -1 或 m = 2 (舍)m1 mT26、2/ (a 1)( P 1) _1 =aP (a + P)= m +4m_m=2 , 解得 m = 3 或 m = 3 (舍)41005527、X2 +mx+1 =2x，貝q有 a2 + ma +1 =2口、P2 +mP +1 =2P原式=

18、2 -20 =4 =428、x： + x| =(x1 +x2)2 -2皿2 =2(m -2)2 -2m2 = 56,化簡(jiǎn)得 m2 -8m -20 = 0 , m = -2或 m = 10 (舍)X1+X2丄丄=X1 X2X1 +X2X1X21即(X1 + X2)(1 -)=0X1X2當(dāng) Xi +x2 =0時(shí),2 1 14m T=0,解得 m1 或m=1(舍)；當(dāng)為+x2工0時(shí),m(m +2)1-丄=0, X1X2=m(m 2)=1，解得 m = -3或m=1 (舍)； x1x23綜上所述，m2或m330、b cXj + X2 = 一 =3x2不妨設(shè)X1 =2X2，則有aCc 2xx =2x2暮

19、得 L = 2，即 2=9ac31、方法一:-得：(2m-2)x+20=0，即 mx=x-10代入中得：x2+x-6=0，解得x1 = 3- x2=2方程的解為-決詈，符合題意;32、33、34、35、當(dāng)時(shí)，m13，方程的解為-3、-33當(dāng)x=2時(shí)，m=/，方程的解為2、2;方程的解為2、8,符合題意;13綜上所述，當(dāng)m=時(shí)相同根為-3 ；當(dāng)m = -4時(shí)相同根為2 ;3方法二:10-得：(2m-2)x+20=0，即1-m2代入中得：10+ 10m +4 = 0，化簡(jiǎn)為3m2 -m -52 = 0，解得m = 或m = -4(1-m)21-m313當(dāng)m=時(shí)由，相同根為-3 ；當(dāng)m = -4時(shí)相

20、同根為2 ；3-得：(a_P)x-(a2-P2)=0，由題意得a主P，所以X =a + P代入中化簡(jiǎn)得：2(a + P)2 一小+(a + P ) = 0，即 2一衛(wèi)V a丿a L。， 2b2c + abI a丿m =7, n =54心樂(lè)亠。，兩邊同除-t2得計(jì)=0,所以S、-是同一方程2x2 +4x-7 = 0的兩根。a37-17s =st +1t 2,1 2(1)=s +- = -2 ;tt3st 2s+33 s7 .=3s +- 一2 - =3 (-2) -2 X (-一)= 1t t236、因?yàn)閄1 % =2- X2 y2 =2，兩式相加得：(X1 +x2)(y1 *2)=4即(一m2

21、)-(5m) =4，整理得 m2-5m+4= 0，解得 m=4或m=1 (舍) 方程有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根，皿2=7=1，解得m =1或m = T (舍)m當(dāng)m=1時(shí)，方程化為x2+2(a +1)x +2a+1=0即(X + 1)x +(2a+1) =0解得 x -(2a +1), X2 = 1(不符合題意，舍去)所以0 c(2a +1)c2，解得又 a是整數(shù)， a=-138、方程有兩根相等，也=n2 8m =0、且 mH。b ,xi +X2 = -=4x2方程中不妨設(shè)x1 =3x2，則有aIc c 2x1x = 3x2 La(1) 2 b216m2得=(2) ac3n，即 m2 = n3綜上,

22、m=2、n =4 ;此時(shí)原方程化為 x2-(k +4)x+ k-2 = 039、 (1)i =(k +4)2 -4 (k -2) =(k +2)2 +200 ,所以該方程一定有實(shí)數(shù)根。A =(4m+1)2 -4 (2m-1) =16m2 +50，所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;40、 (1)(2)41、(2)42、1【止，解得m + =x1 x2 x1x22m-1A =(-2m)2 -4丄n2 =(2m + n)(2m -n) 0，所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;4| xx2 | = JCxi +X2)2 -4x1X2 =怖2 -n2 = 8Jj 2，解得n=6, m=5，所以三角形周長(zhǎng) = 2mn =16 =(-2a)2 -4 (-2a-4) =4(a+1)2 +120，所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(X1 X2)2 =(X1+x2)2 4x1X2 =(2a)2 4，(2a4) =16，解得 a =0，或a = 22方程不妨設(shè)X1 =2X2，則有*3+ b 5Xt +X2 = =一 x2 a 3c 2 2X1X2 = = X2斗得Jb(2)ac 6n. a 3方程中有兩根相等，二也=4n2-48m=0，即n2 =8m綜上，m =2、n =4 ;此時(shí)原方程化為2x2+(3+ k)x+ k+1 = 0也=(3+k)2 -4X2x(k+1)