第4章單相正弦交流電路

1、第4章 單相正弦交流電路【教學(xué)提示】本章是全書的重點內(nèi)容之一，首先介紹了正弦交流電的三個要素，然后主要介紹相量法，并以相量法為工具分析單一參數(shù)的正弦交流電路、阻抗、rlc串聯(lián)交流電路和串聯(lián)諧振現(xiàn)象，最后討論正弦交流電路的功率及功率因數(shù)?！窘虒W(xué)要求】 理解正弦交流電的三要素； 掌握正弦交流電的相量表示法；理解電路基本定律的相量形式； 掌握單一參數(shù)的正弦交流電路的計算； 理解阻抗的概念，掌握阻抗的計算； 掌握用相量法和相量圖分析和計算正弦交流電路的方法； 掌握有功功率、無功功率、視在功率和功率因數(shù)的含義及計算 了解串聯(lián)諧振的條件及特點。4.1 正弦交流電的基本概念在日常生活和生產(chǎn)實踐中廣泛使用交流

2、電，其中又以正弦交流電應(yīng)用最普遍。正弦交流電是指大小和方向均隨時間按正弦規(guī)律作周期性變化的電量，包括正弦交流電壓u、正弦交流電流i等。下面以正弦電流為例來說明正弦量的三要素，正弦電流的波形如圖4.1.1所示， 圖4.1.1正弦電流的表達式為式中，表示正弦電流在任一瞬間的值，稱為瞬時值；為正弦電流的最大值，也稱為幅值；為正弦電流的相位角，簡稱相位或相角。幅值、角頻率和相位是確定正弦量的三個量，稱為正弦量的三要素。4.1.1 周期、頻率和角頻率正弦量的每個值在經(jīng)過一定的時間后重復(fù)出現(xiàn)，重復(fù)出現(xiàn)一次所需要的時間稱為周期，用t表示，單位為秒（s）。周期的倒數(shù)即每秒內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻率，用f表示，單

3、位為赫茲（hz），簡稱赫。在高頻電路中常用千赫（103hz）、兆赫（106hz）為單位。我國和大多數(shù)國家的電力標準頻率為50hz，這種頻率應(yīng)用廣泛，稱為工頻。通常的交流電動機和照明線路都采用這種頻率。有些國家的工頻采用60hz，如美國、日本等。為什么將工頻定為50hz?人眼對光的感覺是有慣性的（視覺暫留現(xiàn)象）。如果用5hz的交流電來照明，那么白熾燈泡將是一滅一暗地閃爍，給人一種錯亂的感覺。也就是說， 5hz的交流電其變化時間已經(jīng)大于人眼的慣性時間。如果把頻率提高到2030hz時，人眼就不會感覺到燈泡的閃爍了。從這一點上來說，30hz是一個合適的下限頻率。頻率的上限也并非越高越好，太高了也會引起

4、麻煩。比如用2000hz，一切電機中的鐵損將增加401600倍，輸電線將對電話線產(chǎn)生感應(yīng)噪聲，使通話受到干擾。1900年，英國當?shù)匾?guī)定的電力系統(tǒng)中發(fā)電機的最高轉(zhuǎn)速是3000r/min，對應(yīng)的頻率就是50hz。50hz是一個整齊的數(shù)字，便于記憶、運算。后來，隨著科技的發(fā)展，采用的頻率有升高的傾向。如美國根據(jù)歐洲的經(jīng)驗采用了60hz。倘若現(xiàn)在允許重新選擇頻率的話，也許人們要選擇70hz或80hz了。工業(yè)領(lǐng)域還是用其他的頻率，如有線通信的頻率為3005000hz；低頻信號發(fā)生器發(fā)出的音頻信號頻率為2020000hz,飛機用電的頻率為400hz。正弦量的變化快慢還可以用角頻率表示，正弦交流電每變化一個

5、周期，對應(yīng)的角度就會變化弧度，因此角頻率的單位為弧度/秒（rad/s）。工程中常用的一些頻率范圍：中頻電爐的工作頻率為5008000hz；高頻電爐的工作頻率為200300khz；無線電工程的頻率為104301010hz。低頻電子工程的頻率為2020103hz。有線通訊頻率：300 - 5000 hz無線通訊頻率： 30 khz - 3104 mhz4.1.2 幅值和有效值正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母表示，如、。瞬時值中的最大值，稱為幅值，用大寫字母加小寫下標m表示，如、。瞬時值是隨時間變化的，不便于反映它的實際效果，在電工技術(shù)中，常用有效值來衡量正弦電壓和電流的大小，有效值用大寫

6、字母表示，如、。交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)原理來規(guī)定的。在數(shù)值相同的電阻r上分別接通一個正弦電流和一個直流電流i，如果在一個周期t內(nèi)所消耗的電能相等，則這個直流電流i值就是正弦電流的有效值。由此，正弦電流的有效值為設(shè)，則其有效值為 即同理，可見，正弦量的最大值是有效值的倍。工程上一般所講的正弦電壓或電流的大小，都是指它的有效值。如電壓表、電流表測量出來的電壓、電流值；電氣設(shè)備的額定電壓、額定電流均是指有效值。4.1.3 相位和初相位在上述正弦量中，為正弦電流的相位角，簡稱相位或相角，相位的單位為弧度，工程上常用度作單位。正弦量在不同的瞬間，有著不同的相位，當t=0時，。其中，反映了正弦電

7、流初始值的大小，稱為初相位，簡稱初相。不同的相位對應(yīng)不同的瞬時值，因此，相位反映了正弦量的變化進程。在正弦交流電路中，經(jīng)常遇到同頻率的正弦量，如圖4.1.2所示。設(shè) 和圖4.1.2它們的相位角之差簡稱相位差，用表示。即相位差是兩個正弦量的初相角之差，下面來討論兩個同頻率正弦量之間的相位關(guān)系：當，與同相。當，超前或滯后。當，與反相。當，與正交。（a）i1與i2同相 （b） i1超前i2（c） i1與i2反相 （d）i1與i2正交圖4.1.3【例4.1】已知正弦電壓的頻率hz，初相角，電壓的有效值v，試求：（1）電壓的最大值；（2）寫出電壓瞬時值的表達式；（3）求出s和s時的瞬時值。解：（1）v（

8、2）（rad/s）v（3）當s時，v當s時，v4.2 正弦量的相量表示法 在分析正弦交流電路時，需要進行正弦量之間的運算，如加、減、乘、除。上一節(jié)我們已學(xué)習(xí)了兩種正弦量的表示法：一是三角函數(shù)式，如；另一個方法是波形圖，如圖4.1.1所示。但若用兩種方法直接進行計算是很困難的，下面來介紹一種簡便的方法相量法。相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，即用一個復(fù)數(shù)來表示一個正弦量，表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。4.2.1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)可以在復(fù)平面上表示，在圖4.2.1所示的直角坐標系中，橫軸為實軸，單位為+1，縱軸為虛軸，單位為+j，實軸與虛軸構(gòu)成的平面即為復(fù)平面。復(fù)平面上的任一個點都對應(yīng)一個復(fù)數(shù)。圖4.2.1復(fù)數(shù)a還可以

9、在復(fù)平面上用向量表示，r為復(fù)數(shù)a的模，與實軸參考方向的夾角就是輻角，在實軸上的投影為復(fù)數(shù)的實部a，記作；在虛軸上的投影為復(fù)數(shù)的虛部b，。由圖知：1.復(fù)數(shù)的表示形式（1）代數(shù)式其中j為虛數(shù)單位，。（數(shù)學(xué)中用i表示，在電工學(xué)中，為了避免與電流混淆， 改用j表示。）（2）三角函數(shù)式由上式和得：（3）指數(shù)式根據(jù)歐拉恒等式可得指數(shù)式（4）極坐標式在工程上，把指數(shù)式記作稱為復(fù)數(shù)的極坐標式。【例4.2】把復(fù)數(shù)化為三角函數(shù)式、指數(shù)式和極坐標式。解：三角函數(shù)式：指數(shù)式：極坐標式：2.復(fù)數(shù)的運算（1）復(fù)數(shù)的相等當兩個復(fù)數(shù)用代數(shù)式表示時，若它們的實部和虛部分別相等，則這兩個復(fù)數(shù)相等。當兩個復(fù)數(shù)用極坐標式表示時，若它

10、們的模和輻角分別相等，則這兩個復(fù)數(shù)相等?！纠?.3】已知復(fù)數(shù)，當滿足什么條件時，。解：若，需滿足實部和虛部分別相等。即：，（2）復(fù)數(shù)的加減運算當兩個復(fù)數(shù)進行加減運算時，通常用代數(shù)式進行運算，實部與實部相加減，虛部與虛部相加減，得到一個新的復(fù)數(shù)。由此可得：=+=a1+a2=+=b1+b2【例4.4】已知復(fù)數(shù)，求解：（3）復(fù)數(shù)的乘除運算當兩個復(fù)數(shù)進行乘法運算時，通常用極坐標式進行運算，模與模相乘，輻角與輻角相加，得到一個新的復(fù)數(shù)。當兩個復(fù)數(shù)進行除法運算時，通常也用極坐標式進行運算，模與模相除，輻角與輻角相減，得到一個新的復(fù)數(shù)。【例4.5】已知復(fù)數(shù)，求解：注意：求輻角時，先看復(fù)數(shù)在哪個象限，這樣求出

11、的輻角不易出錯。4.2.2 正弦量的相量表示法1.相量一個正弦量是由幅值、角頻率和相位三個要素確定的，在分析正弦交流電路時，正弦電壓和電流的激勵和響應(yīng)都是與電源同頻率的正弦量，頻率是不需要再分析了，只需確定幅值（或有效值）和相位（或初相位）即可，而復(fù)數(shù)由模和輻角兩個要素確定，所以正弦量就可以用復(fù)數(shù)來表示。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值（或有效值），輻角即為正弦量的初相位。為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，在電工學(xué)中把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。用大寫字母上打表示，相量包括最大值的相量（、）和有效值的相量（、），加下標m相區(qū)分。如正弦電流，則最大值的相量為有效值的相量為兩者之間的關(guān)系為需要注意的是：相量只表征出了

12、正弦量的兩個要素，而正弦量表征出了三個要素。相量僅僅是表示正弦量的方法，但它并不等于正弦量。即2.相量圖電壓相量和電流相量是一個復(fù)數(shù)，因此可以將相量在復(fù)平面上用有向線段來表示。相量在復(fù)平面上的表示圖為相量圖，其中有向線段的長度為其有效值或最大值，線段與橫軸之間的夾角為其初相位。相量圖中一般把與實軸方向相同的相量作為參考相量，其輻角為零。為使相量圖中各相量間的關(guān)系更清楚，坐標軸往往不必畫出，參考相量仍然畫在圖中。如在4.2.2所示圖中電壓相量和電流相量的相量圖。圖4.2.2只有同頻率的正弦量才能畫在同一個相量圖中進行運算與比較，不同頻率的正弦量無法進行運算和比較。【例4.6】在圖4.2.3所示的

13、相量圖中,已知u=20v，i2 =10a，它們的角頻率是w,試寫出各正弦量的瞬時表達式及相量。圖4.2.3解：電壓為參考相量，則v超前于，因此a滯后于，因此a各瞬時值表達式為： 【例4.7】已知正弦量、，求、有效值的相量，并畫出相量圖。解：（1）由得a則a由得v則v（2）畫相量圖圖4.2.44.3 kcl、kvl的相量形式kcl、kvl是分析各種電路的基本依據(jù)，在正弦交流電路中也是如此，本節(jié)將討論kcl、kvl的相量形式。4.4.1 kcl的相量形式在正弦交流電路中，在任一瞬間，通過任一節(jié)點電流的代數(shù)和恒等于零，即則所對應(yīng)的相量的和也為零證明：因即因所以是上式的虛部，記作=設(shè)，. 則：，. 因

14、此+ = =因為，因此對于有效值的相量同樣滿足即4.4.2 kvl的相量形式在正弦交流電路中，若在任一瞬間，沿任一回路各支路電壓的代數(shù)和恒等于零即則所對應(yīng)的相量的和也為零【例4.8】已知，a，a，a，若，求總電流。解：由各電流的表達式的寫出其最大值的相量，則有 a a a因，則由kcl的相量形式得：代入數(shù)據(jù)得 則總電流a4.4.3 元件伏安關(guān)系的相量形式實際電路中有三種參數(shù)：電阻、電感和電容。當一個實際元件中只有一個主要參數(shù)起作用時，可以把它看作是單一參數(shù)的理想電路元件。只要掌握了單一參數(shù)交流電路中電壓與電流及功率的關(guān)系，就可以方便地分析計算復(fù)雜交流電路，因此掌握單一參數(shù)的正弦交流電路的分析與

15、計算是非常重要的。在以下的推導(dǎo)過程中，設(shè)元件兩端的電壓和流過元件的電流均采用關(guān)聯(lián)參考方向。并設(shè)電壓、電流的瞬時表達式分別為：則代表它們的相量分別為：1、電阻元件的正弦交流電路 （a）電路 （b）電壓電流波形 （c）相量圖圖4.4.1電阻元件的正弦交流電路在圖4.4.1（a）所示電阻元件，電壓電流方向如圖，下面分析電壓與電流及功率的關(guān)系。1.瞬時值關(guān)系由歐姆定律得則v因 v則2.有效值關(guān)系由上式可得其有效值的關(guān)系為4.相量關(guān)系由電壓電流的相量得其相量關(guān)系為因，所以該式為電阻元件的電壓與電流的關(guān)系。4.相位關(guān)系電壓與電流的相位差用表示由此可以看出，電阻元件的電壓和電流同相位，電壓電流波形如圖4.4

16、.1（b），相量圖如圖4.4.1（c）所示5.功率關(guān)系（1）瞬時功率電路中任一瞬間吸收或發(fā)出的功率稱為瞬時功率，用小寫字母p表示。它等于瞬時電壓和瞬時電流的乘積。對于電阻電路，因此還可進一步化簡為：由上式可知p總為正值，所以電阻元件消耗電能。電阻的瞬時功率是由兩部分組成的，一部分是常量，另一部分是幅值為，并以角頻率變化的周期量，其曲線如圖4.4.2所示。 圖4.4.2電阻瞬時功率曲線（2）平均功率（mean power）：瞬時功率隨時間變化，負載消耗的功率通常用其平均功率來說明，平均功率是指一個周期內(nèi)瞬時功率的平均值?？梢?，平均功率與直流電路中功率計算公式完全相同。它代表電阻實際消耗的功率，又

17、稱為有功功率。通常所說的燈泡、電熨斗及電烙鐵等的功率都是指有功功率?！纠?.9】已知一個電阻r=440，將其接在電壓u=220 v、50hz的交流電路上，試求（1）電流i和功率p；（2）如將電源的頻率改為100hz，試問此時電流變不變？解：（1）電流為功率為p=ui=2200.5=110w（2）因為電阻元件與頻率無關(guān)，故電流不變。2、電感元件的正弦交流電路 （a）電路 （b）電壓電流波形 （c）相量圖圖4.4.3電感元件的正弦交流電路在圖4.4.3（a）所示電感元件，電壓電流方向如圖，下面分析電壓與電流的瞬時值關(guān)系及功率的關(guān)系。1.瞬時值關(guān)系在關(guān)聯(lián)參考方向下，因則又因則2.有效值關(guān)系由上式可得

18、其有效值的關(guān)系為單位為歐姆。電壓u一定時越大電流i越小，可見它對電流起阻礙作用，稱為感抗（inductive rectance）。由該式可知感抗與電感l(wèi)、頻率f成正比。對于直流電路，=0，因此電感在直流電路中相當于短路。4.相量關(guān)系電感元件的電壓與電流的相量關(guān)系為因，所以該式為電感元件的電壓與電流的相量關(guān)系。4.相位關(guān)系由此可看出，正弦交流電路中電感元件兩端的電壓比電流相位上超前90，電壓電流波形如圖4.4.3（b），相量圖如圖4.4.3（c）所示5.功率關(guān)系（1）瞬時功率（instaneous power）電感瞬時功率為對于電感電路，因此還可進一步化簡為：由此可知，電感的瞬時功率是是以兩倍電

19、流角頻率作正弦變化的，幅值為，其曲線如圖4.4.4所示。圖4.4.4電感瞬時功率曲線（2）平均功率（mean power）：電感元件電路中的平均功率即有功功率：由此可見，電感元件不消耗有功功率，而只有與電源之間進行能量交換。（3）無功功率（ power）電感與電源之間的能量交換規(guī)模用無功功率ql來衡量，并規(guī)定其數(shù)值等于瞬時功率的最大值。為了與有功功率相區(qū)別，單位為乏（var）或千乏（kvar）?！纠?.10】已知一電感l(wèi) = 80 mh，外加電壓ul = 100sin(314t + 65) v。試求：（1）感抗xl ；（2）電感中的電流il；（3）電流瞬時值il。解：（1）電路中的感抗為xl

20、= wl = 314 0.08 25（2）電感中的電流（3）電感電流il比電壓ul滯后90，則3、電容元件的正弦交流電路 （a）電路 （b）電壓電流波形 （c）相量圖圖4.4.5電感元件的正弦交流電路在圖4.4.5（a）所示電容元件，電壓電流方向如圖，下面分析電壓與電流的關(guān)系及功率的關(guān)系。1.瞬時值關(guān)系在關(guān)聯(lián)參考方向下，因則又因則 2.有效值關(guān)系由上式可得其有效值的關(guān)系為單位為歐姆。電壓u一定時越大電流i越小，可見它對電流起阻礙作用，稱為容抗（capacitive rectance）。由該式可知容抗與電容c、頻率f成反比。對于直流電路，=0，因此電容在直流電路中相當于開路。4.相量關(guān)系電容的電

21、壓與電流的相量關(guān)系為因，所以該式為電容元件的電壓與電流的關(guān)系。4.相位關(guān)系由此可看出，正弦交流電路中電容元件兩端的電壓比電流相位上滯后90，電壓電流波形如圖4.4.5（b），相量圖如圖4.4.5（c）所示5.功率關(guān)系（1）瞬時功率對于電容電路，因此還可進一步化簡為：由此可知，電容的瞬時功率是是以兩倍電流角頻率作正弦變化的，幅值為，其曲線如圖4.4.6所示。圖4.4.6電容瞬時功率曲線（2）平均功率（mean power）：電容元件電路中的平均功率即有功功率：由此可見，與電感一樣電容元件不消耗有功功率，而只有與電源之間進行能量交換。（3）無功功率（ power）電容與電源之間的能量交換規(guī)模用無功

22、功率qc來衡量，由上述可知，電感元件和電容元件都是儲能元件，它們只與電源之間進行能量交換，而元件本身并不消耗能量。【例4.11】已知一電容器的電容為，加在電容器兩端的電壓為v，初相為，角頻率為。試求流過電容器的電流，寫出其瞬時值表達式，并畫出相量圖。解：電容器兩端的電壓的相量v流過電容器的電流= 其瞬時值表達式4.4 串聯(lián)交流電路4.4.1 電阻、電感、電容的串聯(lián)電路由電阻、電感、電容相串聯(lián)構(gòu)成的電路叫做rlc串聯(lián)電路，本節(jié)主要分析rlc串聯(lián)交流電路電壓和電流的關(guān)系、串聯(lián)電路的阻抗以及電路的性質(zhì)。電路如圖4.5.1（a）所示，由于通過三種元件的電流均相等，所以設(shè)電流為參考相量（a） rlc串聯(lián)

23、電路 （b） 相量模型圖4.5.11.rlc串聯(lián)電路的電壓、電流的關(guān)系（1）瞬時值的關(guān)系 在圖4.5.1（a）中，由kvl得：則根據(jù)r、l、c的基本特性可得各元件的兩端電壓 則瞬時值關(guān)系為（2）相量的關(guān)系因為瞬時值的關(guān)系，根據(jù)kvl的相量形式得其中 因此（3）有效值的關(guān)系有效值的關(guān)系可以用相量圖來求解，利用相量圖可求出總電壓與各元件電壓、總電壓與總電流的關(guān)系。這里不給出具體數(shù)值，只在復(fù)平面上定性地畫出，設(shè)uluc ，相量圖如圖4.5.2所示。圖4.5.2 rlc串聯(lián)交流電路的相量圖由相量圖可得：從相量圖中可以看出，電壓相量、組成直角三角形，稱為電壓三角形。圖4.5.3電壓三角形2.rlc串聯(lián)電

24、路的阻抗根據(jù)阻抗的定義可得rlc串聯(lián)電路的阻抗為：其中，因為即可見，、三者之間也滿足直角三角形關(guān)系，稱為阻抗三角形。圖4.5.4阻抗三角形4.rlc串聯(lián)電路的性質(zhì)根據(jù)總電壓與電流的相位差（即阻抗角 j）為正、為負、為零三種情況，將電路分為三種性質(zhì)。當時，即，電壓超前電流，電路呈感性；當時，即，電壓滯后電流，電路呈容性；當時，即，電壓電流同相，電路呈電阻性。電路處于這種狀態(tài)時，叫做諧振狀態(tài)（見4.5.3）?！纠?.13】在rlc串聯(lián)電路中，交流電源電壓u = 220 v，頻率f = 50 hz，r = 30 w，l = 382 mh，c = 40 mf。試求：（1）電路中的電流大小i；（2）總電

25、壓與電流的相位差 j；（3）各元件上的電壓ur、ul、uc。解：（1）電感的感抗電容的容抗則電阻的阻抗模為：因此（2）總電壓與總電流的相位差為即總電壓比電流超前54.1，電路呈感性。（3）各元件上的電壓 本例題中電感電壓、電容電壓都比電源電壓大，在交流電路中各元件上的電壓可以比總電壓大，這是交流電路與直流電路特性不同之處。對于rl串聯(lián)電路，只要將rlc串聯(lián)電路中的電容c短路去掉，即令xc = 0，uc = 0，則有關(guān)rlc串聯(lián)電路的公式完全適用于rl串聯(lián)電路。對于rc串聯(lián)電路，只要將rlc串聯(lián)電路中的電感l(wèi)短路去掉，即令xl = 0，ul = 0，則有關(guān)rlc串聯(lián)電路的公式完全適用于rc串聯(lián)電

26、路?！纠?.14】在rc串聯(lián)電路中，已知：電阻r = 30 w，電容c = 250 mf，外加電壓為，試求：（1）電路中的電流i；（2）各元件電壓ur、uc；（3）總電壓與電流的相位差 j。解：（1）電容的容抗為：串聯(lián)電路的阻抗模則總電流為（2）各元件上的電壓 顯然。（3），即總電壓比電流滯后54.1，電路呈容性。4.4.2 阻抗的連接（1）串聯(lián)在4.4.2（a）所示的相量模型圖中，有n個阻抗串聯(lián)，通過每個阻抗的電壓為，.總電壓為在串聯(lián)電路中，總的電壓等于每個阻抗的電壓的和。即通過每個阻抗的電流與總電流相等，即則由此可得多個阻抗串聯(lián)時，總的阻抗的值等于每個阻抗的和。 （a）兩個阻抗串聯(lián) （b）

27、兩個阻抗并聯(lián)圖4.4.2（2）并聯(lián)在4.4.2（b）所示的相量模型圖中，有n個阻抗并聯(lián)，通過每個阻抗的電流為，.總電流為在并聯(lián)電路中，總的電流等于每個阻抗的電流的和。即通過每個阻抗的電壓與總電壓相等，即則由此可得多個阻抗并聯(lián)時，總的阻抗的倒數(shù)等于每個阻抗的倒數(shù)和，可見阻抗的連接與電阻的連接類似?！?.12】圖4.4.3所示電路，已知：，。求：和 （a） （b）圖4.4.3解：先求圖中虛線框內(nèi)的戴維南等效電路：戴維南等效復(fù)阻抗為：組成等效電路如圖4.4.3（b），則為：再由圖（a）可得：4.5 并聯(lián)交流電路前面講述了單一參數(shù)的正弦交流電路，但在實際電路中，往往是由兩個或兩個以上參數(shù)的元件所組成的

28、電路，本節(jié)主要討論由r、l、c三種元件組成的串聯(lián)和并聯(lián)交流電路的電壓與電流的關(guān)系。由電阻、電感、電容相并聯(lián)構(gòu)成的電路叫做rlc并聯(lián)電路，并聯(lián)結(jié)構(gòu)的形式很多，下面就以rlc并聯(lián)交流電路為例來分析并聯(lián)電路的電壓和電流的關(guān)系、并聯(lián)電路的阻抗以及電路的性質(zhì)。 （a）rlc并聯(lián)電路圖 （b）相量模型圖4.5.4電路如圖4.5.4（a）所示，由于通過三種元件的電壓均相等，所以設(shè)電壓為參考相量1.rlc串聯(lián)電路的電壓、電流的關(guān)系（1）瞬時值的關(guān)系在圖4.5.4（a）中，由kcl得：則根據(jù)r、l、c的基本特性可得各元件的電流 則瞬時值關(guān)系為（2）相量的關(guān)系因為瞬時值的關(guān)系，根據(jù)kcl的相量形式得其中 因此（3

29、）有效值的關(guān)系有效值的關(guān)系可以用相量圖來求解，利用相量圖可求出總電流與各元件電流、總電流與總電壓的關(guān)系。這里不給出具體數(shù)值，只在復(fù)平面上定性地畫出，設(shè)ilic ，相量圖如圖4.5.5所示。圖4.5.5 rlc并聯(lián)交流電路的相量圖由相量圖可得：從相量圖中可以看出，電壓相量、組成直角三角形，稱為電流三角形。圖4.5.6電流三角形上式稱為電流三角形關(guān)系式。2.rlc并聯(lián)電路的導(dǎo)納在r、l、c并聯(lián)電路中，有其中叫做感納、叫做容納，單位均為西門子(s)。于是令，則上式稱為導(dǎo)納三角形關(guān)系式，式中|y|叫做r、l、c并聯(lián)電路的導(dǎo)納，其中b = bc - bl叫做電納，單位均是西門子(s)。導(dǎo)納三角形的關(guān)系如

30、圖4.5.7所示。圖4.5.7 導(dǎo)納三角形電路的等效阻抗為由相量圖可以看出總電流i與電壓u的相位差為式中j 叫做導(dǎo)納角。由于阻抗角 j 是電壓與電流的相位差，因此有4.rlc并聯(lián)電路的性質(zhì)同樣是根據(jù)電壓與電流的相位差（即阻抗角 j）為正、為負、為零三種情況，將電路分為三種性質(zhì)：當b 0時，即bc xl，j 0，電壓u比電流i超前 j，稱電路呈感性；當b 0時，即b c b l，或x c xl，j r，q0叫做諧振回路的空載q值，實際電路一般都滿足該條件。（2）并聯(lián)諧振電路的特點電路的總阻抗最大，總電流最小。諧振阻抗和電流分別為諧振時兩支路可能產(chǎn)生過電流諧振時xl xc，則電感支路電流與電容支路

31、電流為即諧振時各支路電流為總電流的倍，所以lc并聯(lián)諧振又叫做電流諧振。（3）并聯(lián)諧振電路的應(yīng)用并聯(lián)諧振電路主要用來構(gòu)造選頻器或振蕩器等，廣泛用于電子設(shè)備中。電路對電源e某一頻率諧振時，諧振回路呈現(xiàn)很大阻抗，因而電路中電流很小。這樣在內(nèi)阻r的壓降也很小。于是在a、b兩端就得到一個高電壓輸出，而對于其他頻率，電路不發(fā)生諧振，阻抗較小，電流就較大，在內(nèi)阻r的壓降也較大，使這些不需要的頻率信號在a、b之間所形成電壓很低。這樣便起到了選擇信號的作用。收音機、電視機中的中周變壓器就是由并聯(lián)諧振電路構(gòu)成的。諧振是電路的一種特殊情況，這時電路會出現(xiàn)一些特殊現(xiàn)象，只有充分認識這些現(xiàn)象，才能在實際應(yīng)用中做到趨利避

32、害?！纠?.16】某一收音機的調(diào)諧電路中，天線電感l(wèi) =500f，可變電容器為20270pf。求對560khz 和990khz 電臺信號諧振時的電容值。解：由可得（1）當f0=560khz時，pf（2）當f0=990khz時，pf4.9 非正弦周期信號前面討論的是正弦交流電路，其中電壓和電流都是正弦量。但在實際的應(yīng)用中我們還常常會遇到非正弦周期的電壓或電流。如電子電路中廣泛應(yīng)用的方波信號、鋸齒波信號、全波整流信號等都是非正弦周期信號。圖5.1.1非正弦周期信號4.9.1 非正弦周期信號非正弦周期信號產(chǎn)生的原因主要有：1.電路中所加的電源或信號源的電壓或電流是非正弦周期信號時，電路各處產(chǎn)生的電壓

33、或電流一般是非正弦的。2.電路中有幾個不同頻率的電源同時作用時，則電路中各處產(chǎn)生的電壓或電流一般是非正弦的。3.電路中存在非線性元件，即使在正弦電源的作用下，電路中各處產(chǎn)生的電壓或電流也是非正弦的（如二極管整流電路）。在電工電子技術(shù)中有時會遇到非正弦周期信號，非正弦周期信號可以用一個周期函數(shù)來表示，即：其中，t為非正弦周期信號的周期。根據(jù)數(shù)學(xué)中傅立葉級數(shù)理論，任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以展開成三角級數(shù)，即傅里葉級數(shù)。其中，稱為恒定分量或直流分量，也是一個周期內(nèi)的平均值；的頻率與非正弦周期函數(shù)的頻率相同，稱為基波分量或一次諧波分量；的頻率是非正弦周期函數(shù)的頻率的二倍，稱為二次諧波分量；其

34、余各項的頻率為周期函數(shù)的頻率的整數(shù)倍，分別為三次、四次、k次諧波等等。除恒定分量和基波外，其余分量統(tǒng)稱為高次諧波。常見非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)如下：正弦波：梯形波：三角波：矩形波：鋸齒波：半波整流：全波整流：為直觀地表示非正弦周期信號分解后各次諧波分量相對大小隨頻率改變的關(guān)系，可以用長度與直流分量和各次諧波分量幅值大小相對應(yīng)的線段，按頻率的高低依次排列起來，構(gòu)成頻譜圖，如圖5.1.2所示。 圖5.1.2頻譜圖圖中的每一條豎線代表一個諧波分量的幅值，稱為譜線，各譜線在橫坐標上的位置是相應(yīng)諧波的角頻率。將非正弦周期信號分解，各次諧波的幅值及初相表示后，各次諧波分量幅值的大小一目了然。4.9.2

35、非正弦周期信號的有效值、平均值、平均功率1、 非正弦周期信號的有效值非正弦周期信號的有效值等于其瞬時值的方均根值，即：該式不僅適用于正弦量，也適用于非正弦的周期量。若某非正弦的周期電流已分解成傅立葉級數(shù)則其有效值為由正弦函數(shù)的正交性，可求得其中，i1，i2等分別為基波、二次諧波等的有效值，它們本身都是正弦波?？梢姼饔行е档扔谄湎鄳?yīng)幅值的。同理，非正弦周期電壓的有效值為由此可得，非正弦周期信號的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。2、非正弦周期信號的平均值非正弦周期電流和電壓在一個周期的平均值，等于其恒定分量：3、非正弦周期信號的平均功率非正弦周期電流電路的功率是由瞬時功率的平均值