第二章代數(shù)式

1、第二章代數(shù)式基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn):一、代數(shù)式1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫代數(shù)式。單 獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計(jì)算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式 的值。3、代數(shù)式的分類代數(shù)式有理式整式多項(xiàng)式分式無理式二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算1、概念（1）單項(xiàng)式：像X、7、2x2y，這種數(shù)與字母的積的式子叫做單項(xiàng)式。單獨(dú) 一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。 如5a3b2c是6次單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。注意：單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分 數(shù)表

2、示，如 41a2b，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成 3 a2b。33（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾 項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。 不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。升（降）幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。?的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升（降）幕排列。注意：（ 1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值 代入。（2）求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，“整 體”代入。（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并

3、且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同 類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。2、整式運(yùn)算（1）整式的加減合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指 數(shù)不變。去括號(hào)法則： （1） 括號(hào)前面是“ +”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“ +”號(hào)去掉，括 號(hào)里各項(xiàng)都不變；（2）括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉， 括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“ +”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是 “-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。整式的加減法：（ 1）去括號(hào)；（ 2）合并同類項(xiàng)。（2）整式的乘除有關(guān)冪的運(yùn)算法則，其中 m、n 都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘： am an am n ；同底數(shù)

4、冪相除： am an am n ；冪的乘方： （am）n amn積的乘方： （ab） n anbn。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同的字母，用 它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù)；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則 連同它的指數(shù)直接作為積的一個(gè)因式。單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是利用乘法分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)， 再把所得的積相加。多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)， 再把所得的積相加。單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被 除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)不變直接作為商的一個(gè)因式。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一

5、項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的 商相加。(3) 乘法公式平方差公式：(a b)(a b) a2 b2 ；完全平方公式：(ab)2a22abb2，2 2 2(ab)a2abb注意：(1單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。(2) 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的 項(xiàng)數(shù)相同。(3) 計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí) 還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)。(4) 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開式中，有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。(5) 公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。(6) a0 1(a 0);a p 丄(a 0, p為正整數(shù))ap 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)

6、多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把 所得的商相加，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。三、因式分解1、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法(1) 提取公因式法：ma mb me m(a b c)(2) 運(yùn)用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3) 十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)(4) 分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。即 ae ad be bd a(e d) b(e d) (a b)(e d)*( 5)運(yùn)用求根公式法：若ax2 bx

7、e 0(a 0)的兩個(gè)根是 x1 x2，則 ax2 bx e a(x xj(x x2)3、因式分解的一般步驟：(1) 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；(2) 在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng) 數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用平方差公式法分解因式； 3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用完全平方 公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分 解因式(3) 分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。四、分式1、分式定義：形如-的式子叫分式，其中 A、B是整式，且B中含有字母 B(1) 分式無意義：B=0時(shí)，分式無意義；B豐0時(shí)，分式有意義。(2) 分式的值為0：

8、 A=0, BM0時(shí)，分式的值等于0。(3) 分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。 方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。(4) 最簡分式：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式。分 式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。(5) 通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的 過程，叫做分式的通分。(6) 最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次幕的積。(7) 有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。2、分式的性質(zhì)：(1)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于 零的整式，分式的值不變。用符號(hào)表示為：0的整式)；m是B M0

9、的整式)(2)分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任 何兩個(gè)，分式的值不變。3 、分式的運(yùn)算:(1)加、減同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減，即b -一bc c c異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減,即 a c ad bc b d bd 。(2)乘：先對(duì)各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母 乘以分母。(3)除：除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。即口 a cac ； a cab dbd b dbd ad ;Jc bc(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方，即n(旦)n冷(n為整數(shù));bbn五、二次根式1、二次根式的概念：式子

10、、a(a 有二次根號(hào)“0)叫做二次根式，二次根式必須滿足：含 ”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不 含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式?；胃綖樽詈喍胃降姆椒ê筒襟E:(1)如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))或分式，先利用商的算數(shù)平方根的 性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。(2)如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開 得盡方的因數(shù)或因式開出來。(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式, 叫做同類二次根式。(3)分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化。(4)有

11、理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含 有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：a 與 a ; a - b cd 與 a、b c - d )2 、二次根式的性質(zhì)(1) Ca)2a(a 0)；(2) a2a (a 0)a (a 0)；(4) a 、a(a 0,b 0)(注意：這里b0,不能含等號(hào)) b 7b3、二次根式的運(yùn)算(1) 二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根 式。(2) 二次根式的乘法：.a , b . ab (a0, b0)。(3) 二次根式的除法：* a(a 0,b 0)(注意：這里b0,不能含等號(hào))Jb H

12、注意：二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。(4) 二次根式混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加 減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的(或先去括號(hào))。例題(要求寫出解答過程)：一、因式分解：1 、提公因式法：例 1、24a2 (x y) 6b2(y x)分析：先提公因式，后用平方差公式規(guī)律總結(jié)因式分解本著先提取，后公式等，但應(yīng)把第一個(gè)因式都分解到 不能再分解為止，往往需要對(duì)分解后的每一個(gè)因式進(jìn)行最后的審查，如果還能 分解，應(yīng)繼續(xù)分解。2、十字相乘法例 2、( 1) x4 5x236 ；(2) (x y)24(x y) 12分析：可看成是x2和(x+y)的

13、二次三項(xiàng)式，先用十字相乘法，初步分解。規(guī)律總結(jié)應(yīng)用十字相乘法時(shí)，注意某一項(xiàng)可是單項(xiàng)的一字母，也可是某 個(gè)多項(xiàng)式或整式，有時(shí)還需要連續(xù)用十字相乘法。3、分組分解法例 3、xab a .b (a0, b0); 2x2 x 2分析：先分組，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)一組，第三、第四項(xiàng)一組，后提取，再公 式。規(guī)律總結(jié)對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分組的目的是為 了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。*4、求根公式法例 4、x2 5x 5二、分式的運(yùn)算巧用公式例 5、計(jì)算：(1 -)2(1 )2a ba b分析：運(yùn)用平方差公式因式分解，使分式運(yùn)算簡單化。規(guī)律總結(jié)抓住三個(gè)乘法公式的特征，靈活運(yùn)用，特別要掌握公式的幾種 變形，公式的逆用，掌握運(yùn)用公式的技巧，使運(yùn)算簡便準(zhǔn)確。2、化簡求值：例 6、先化簡，再求值：5x2 (3x2 5x2) (4y2 7xy)，其中 x= - 1 y =1 2規(guī)律總結(jié)一定要先化到最簡再代入求值，注意去