【W(wǎng)ord版導學案】學案51

1、東方工咋愛樓2備棵紐劇冷A % H魅亶學案51 橢圓導學目標：1. 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用2掌握橢圓的定義，幾何圖形、標準方程及其簡單幾何性質(zhì).東看工咋堂核心備課紐-作1 橢圓的概念在平面內(nèi)與 兩個 定點Fi、F2的距 離的和 等于 常數(shù)(大于|FiF2|)的點的軌跡叫做 這兩定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫 集合 p = M|MFi|+ |MF2|= 2a, |FiF2|= 2c,其中 a0, c0，且 a, c 為常數(shù)：(1)若，則集合P為橢圓；若，則集合P為線段；(3)若，則集合P為空集.2 橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方 程箒 + 1

2、(ab0)當+ * 1(ab0)圖形范a x ab w x b圍bn0”是方程“ mx2+ ny2= 1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A .充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3. 已知橢圓x2sin a y2cos a= 1 （0 ab0)的長、短軸端點分別為 A、B, M(在x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1, AB / OM.(1)求橢圓的離心率e；A % H魅亶(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點,F1、F2分別是左、右焦點，求/F1QF2的取值范圍.方程思想的應(yīng)用東方工咋窒桟心備課紐制樺* x-cx(12分)(2011北京朝陽區(qū)模擬)已知中心在

3、13原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點M(1,刁，過點P(2,1)的直線I與橢圓 C相交于不同的兩點 A，B.(1) 求橢圓C的方程；(2) 是否存在直線I，滿足PA PB = PM2?若存在，求出直線I的方程；若不存在，請說明 理由.【答題模板】解(1)設(shè)橢圓C的方程為羊+ b2 = 1(ab0),丄 _9- “尹曠 求橢圓的標準方程，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定X2 y2參).當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，可設(shè)方程為后+yn = 1 (mo,n0且n)，可以避免討論和繁雜的計算， 也可以設(shè)為 Ax2 + By2= 1 (A0,B0且A

4、m B), 這種形式在解題中更簡便.，由題意得c= 1解得a2= 4, b2= 3.故橢圓C的方程為匚+ = 1.4分a-2，4 3 a2= b2 + c2.若存在直線I滿足條件，由題意可設(shè)直線I的方程為y = k(x 2) + 1 ,x24=1,y= k x 2 + 1,得(3 + 4k2)x2 8k(2k 1)x+ 16k2 16k 8 = 0.6 分因為直線I與橢圓C相交于不同的兩點 A, B,設(shè)A, B兩點的坐標分別為(X1, y1),(X2, y2), 所以- 8k(2k 1)2 4 (3 + 4k2) (16k2 16k 8)0.1整理得32(6k+ 3)0，解得k 7分X1+ X

5、2 =8k 2k 13+ 4k2X1X2 =16k2 16k 83+ 4k2且FA PB = PM2,東方工昨畫核2備課紐劇摩1 x-cx5 即(X1 2)(X2-2) + (yi 1)(y2- 1)= 4,5所以(Xi 2)(X2 2)(1 + k1 橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標軸無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等；另一類是與坐標系有關(guān)的性質(zhì)，女口：頂點坐標，焦點坐標等.第一類性質(zhì)是常數(shù)，不因坐標系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標系變化而相應(yīng)改變. 直線與橢圓的位置關(guān)系問題.它是高考的熱點，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法) = 4,25即xix2 2(xi +

6、 X2)+ 4(1 + k2) = 4J9 分16k2 16k 88k 2k 14 + 4k2所以3 + 4k2 2 X+ 4(1 + k2)=翫1解得k= 2.11分1所以k=夕于是存在直線I滿足條件，1其方程為y = x.12分【突破思維障礙】直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點問題、 相交弦問題及其他綜合問題. 反映在代數(shù) 上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無實數(shù)解及實數(shù)解的個數(shù)的問題，它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，當直線與橢圓相交時，要注意判別式大于零這一隱含條件，它可以用來檢驗所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過該不等式來求參數(shù)的范圍.對直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進行求解，與向

7、量相結(jié)合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關(guān)，若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算往往更容易實現(xiàn)解題功能， 所以在復(fù)習過程中要格外重視.東方工咋皇核業(yè)備課紐制件和直線的基礎(chǔ)知識、線段的中點、弦長、垂直問題等，分析此類問題時，要充分利用數(shù) 形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決.（滿分：75分）一、選擇題（每小題5分，共25分）1. （2011溫州模擬）若厶ABC的兩個頂點坐標分別為A（ 4,0）、B（4,0）, ABC的周長為18,則頂點C的軌跡方程為x2亡彳A + 匚=1259x2 y2C += 1169y22B 乂 + - = 1 (yz 0)259y2 x2D.Z += 1 (yz 0)

8、169姑0)x2+止=110 m m 2B. 5C.F2是橢圓的兩個焦點， 過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 若厶ABF2是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是（2.已知橢圓A. 43.已知Fi、長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（A、B兩點,8.A.fB. 2 1D.2M，設(shè)A為圓上任一點，N（2,0）,（）4. （2011天門期末）已知圓（x+ 2）2+ y2= 36的圓心為 線段AN的垂直平分線交 MA于點P,則動點P的軌跡是A 圓B 橢圓C.雙曲線D .拋物線x2 y25. 橢圓25+ 9 = 1上一點M到焦點F1的距離為2, N是MF1的中點，則|0N|等于（）3A . 2B.

9、4C. 8D.2二、填空題（每小題4分，共12分）6. 已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為2-，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12,則橢圓G的方程為 .7. （2011唐山調(diào)研）橢圓管+專=1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上.若|PF1|= 4,則|PF2|=； / F1PF2的大小為.東方工咋愛樓2備棵紐劇冷5cA f： X-CX如圖，已知點P是以Fi、F2為焦點的橢圓x2 y 孑+b2=1 (ab0)上一點,PFi 丄 PF2, tan/ PFiF2=舟，則此橢圓的離心率是 三、解答題(共 38分) x2 y9. (12分)已知方向向量為v = (1, . 3)的直線

10、I過點(0, - 2.3)和橢圓C：2 + 2= 1(ab0) a b的右焦點，且橢圓的離心率為普.3(1)求橢圓C的方程；若已知點D(3,0)，點M , N是橢圓C上不重合的兩點，且 DM = DN，求實數(shù) 入的取 值范圍.10. (12分)(2011煙臺模擬)橢圓ax2 + by2= 1與直線x+ y- 1 = 0相交于A, B兩點，C 是AB的中點，若|AB|= 2 . 2, OC的斜率為 寧，求橢圓的方程.11. (14分)(2010福建)已知中心在坐標原點0的橢圓C經(jīng)過點A(2,3),且點F(2,0)為其 右焦點.求橢圓C的方程.(2)是否存在平行于 OA的直線I，使得直線I與橢圓C

11、有公共點，且直線 OA與I的距 離等于4?若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明理由.學案51橢圓自主梳理1.橢圓 焦點 焦距 (1)ac(2)a= c (3)a|AB| = 4.點M的軌跡是以點 B( 2,0)、A(2,0)為焦點、線段 AB中點(0,0)為中心的橢圓. a= 3, c= 2, b = 丿5.所求軌跡方程為x + y = 1.95東方工咋衰拔Z備課紐制昨* 賓 X1EX解題導引確定一個橢圓的標準方程，必須要有一個定位條件(即確定焦點的位置)和兩個定形條件(即確定a, b的大小).當焦點的 e一x2 y2y2 x2位置不確定時，應(yīng)設(shè)橢圓的標準方程為孑+岸=1 (ab0)或號+

12、 2= 1 (ab0)，或者不必考慮焦點位置，直接設(shè)橢圓的方程為mx2+ ny2= 1 (m0 , n0,且m n).解(1)若橢圓的焦點在x軸上，x2亡設(shè)方程為 孑+ 存 1 (ab0).橢圓過點A(3,0) , 耳=1,a、 x2 a= 3,又 2a= 3 2b, b = 1, 方程為+ y2= 1. y2 x2+ b5 = 1(ab0) 若橢圓的焦點在y軸上，設(shè)方程為9橢圓過點 A(3,0) , 2= 1 , b- b= 3,又 2a= 3 2b, a= 9, 方程為 81 + 9= 1.x2-綜上可知橢圓的方程為 9 + y2= 1或81 + x9 = 1.A設(shè)經(jīng)過兩點 A(0,2)

13、, B 2,3的橢圓標準方程為mx2+ ny2= 1,將A , B坐標代入方4n= 1程得i4m + 3n= 1m= 121，所求橢圓方程為x2+ : = 1.n=44變式遷移2(1)當橢圓的焦點在x軸上時，/ a= 3,- a c= 6，從而b2 =a2 c2= 9-6 = 3,橢圓的標準方程為X9+二=1.當橢圓的焦點在y軸上時，3，* 賓 X1EX方工咋靈核心備裸紐制作.b= 3, 9=理疤更, a2= 27.，a 3，a 3，2 2橢圓的標準方程為x9+y7=i.所求橢圓的標準方程為x_+葺=i或X9+2-= 1.設(shè)橢圓方程為 mx2+ ny2= 1 (m0 , n0且m n).橢圓經(jīng)

14、過Pi、F2點， Pi、P2點坐標適合橢圓方程,6m + n = 1,則3m + 2n= 1,1 m = 9,兩式聯(lián)立，解得1 n= 3.x2 y2所求橢圓方程為X；+牛=1.93東方工昨畫核2備課紐-作3解題導引(1)橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PFi |+ |PF2|= 2a,得到a、c的關(guān)系.定義式的平方(2)對 F1PF2的處理方法 余弦定理面積公式|PFi|+ |PF2| 2= 2a2,? 4c2= |PFi|2+ |PF2|2- 2|PFi|PF2|cos 0,1S = 2|PFi|PF2|sin 0

15、.x2 y2(i)解 設(shè)橢圓方程為 孑+ 2= i (ab0),|PFi|= m, |PF2|= n.在厶PF1F2中，由余弦定理可知，4c2 = m2+ n2- 2mncos 60 .t m+ n= 2a, / m2+ n2= (m + n)2 2mn = 4a2 2mn.4c2 = 4a2 3mn,即 3mn = 4a2 4c2.又mnw2 = a2(當且僅當m = n時取等號), .4a2 4c2w 3a2. C2 即卩 ea 42一 i.e的取值范圍是審1 .(2)證明4i由(1)知 mn = 3b2, . Spfif2=?mnsin 60即 PFi F2的面積只與短軸長有關(guān).b2 變

16、式遷移3 解(1) / Fi( c,0),作東方工昨窒核2備課紐-I x-cx匕2b koM = . t kAB = 一, OM / AB ,aca b2b.場-ac=a， b=c，故(2)設(shè)|F1Q|= r1, |F2Q|= r2,1+ r2= 2a, |F1F2|= 2c,r1 + r2 4c2 門 + r2 2 2門 r2 4c2cos 0=nr;=a2、a2-= 1 1 = 0,r1r2口 22e=滓/ FiQF2= 0,2rir2n2-當且僅當 ri = r2時，cos 0= 0, / 0 0, 課后練習區(qū)1. A 2.D3.C4.B 5.B6 + 忙=17.2120。8.，3693

17、9.解(1) 直線l的方向向量為v = (1, 直線l的斜率為k=.3.又直線l過點(0, 2 3),直線l的方程為y+ 2 3= . 3x. ab,.橢圓的焦點為直線l與x軸的交點.c= 2.又/e= C=-,.a= .6./-b2= a2 c2= 2.a 32 2橢圓方程為6+2 = 1.(6分)(2)若直線MN丄y軸，貝U M、N是橢圓的左、右頂點,363 : 6匸或匸，即入=5+ 2 6或 5 2 6.3 ,63+ .6 3),x2 y6 + 2 = 1， 若MN與y軸不垂直，設(shè)直線 MN的方程為x= my+ 3(m 0).由x= my + 3得(m2+ 3) y2 + 6my+ 3=

18、 0.設(shè) M、N 坐標分別為(X1, y1),(X2, y2),6m _貝U y1+ y2=，m2+ 3y1y2= I3，m + 3= 36m2- 12(m2+ 3) = 24m2 360, m2|.DM = (X1 3, y1), DN =(X2 3, y2), DM = ?DN，顯然,且 入工 1,(X1 3, y1) = ?(x2 3, y2). .y1 =入?yún)|方工作愛樓金備裸紐劇作糸一2X+ 10,10H 10,解得5 2& X5 + 2羽且綜上所述，入的取值范圍是 且入工1.（12分）10.解方法一設(shè)A（x 代入橢圓方程并作差得苗1.5 2 ,6T，得 2 h-b0），且可知其左焦點a b為 F，（-2,0）.c= 2,從而有2a = |AF|+ |AF = 3+ 5= 8,c