【配套Word版文檔】第十二章12.3(2)

1、東方工昨莖核Z12.3幾何概型2014 高 考 會 這 樣1.以小題形式考查與長度或面積有關的幾何概型；2和平面幾何、函數(shù)、向量相結(jié)合考查幾何概型，題組以中低檔為主.復 習 備 考要1準確理解幾何概型的意義,會構(gòu)造度量區(qū)域；2把握與古典概型的聯(lián)系和區(qū)別，加強與數(shù)學其他知識的綜合訓練.東方工咋裳核2備課紐劇作1 幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域 Q的某一子區(qū)域 A, A的概率只與子區(qū)域 A的幾何度量(長度、面積、 體積)成正比，而與 A的位置和形狀無關，滿足上述條件的試驗稱為幾何概型.2 幾何概型的概率公式P(A)=t，其中 徑表示區(qū)域Q的幾何度量，4A表示子區(qū)域A的幾何度量.難點正本疑點清源1

2、.求試驗中幾何概型的概率，關鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域Q的幾何度量，然后代入公式即可求解.2 .幾何概型的兩種類型1 東看工昨衰垓備裸紐制作A X-CX(1)線型幾何概型：當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時.(2)面型幾何概型：當基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為- 個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決.1 .在區(qū)間1,2上隨機取一個數(shù) X,則x 0 , 1的概率為 答案13解析如圖，這是一個長度型的幾何概型題，所求概率P= 鋁=;.|AB |3B,則劣弧AB的長2 .點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一

3、點* fs X-CX1的概率為度小于東方工咋堂檯心備課紐制作答案解析如圖可設iTB = 1,則由幾何概型可知其整體事件是其周長3,2其概率是已知直線y= x+ b, b 2,3，則直線在y軸上的截距大于1的概率是答案2解析 區(qū)域D為區(qū)間2,3, d為區(qū)間（1,3,而兩個區(qū)間的長度分別為5,2.故所求概率P25.4. 一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為 5秒，綠燈的時間為 40秒，則某人到達路口時看見的是紅燈的概率是34( )2C.Dn答案 A解析方法一設分別以 的中點為D，如圖，連接 不妨令OA = OB = 2,答案 B302解析以時間的長短進行度量，故p= 30=2.755

4、（2012湖北）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA , OB為直徑作兩個半圓在扇形 OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是2A.1n 1nOA, OB為直徑的兩個半圓交于點OC, DC.則 OD = DA = DC = 1.lLr東看工作愛核z備裸紐制作* X-CXn 1在以OA為直徑的半圓中，空白部分面積Si = -+寸X 1X 1 所以整體圖形中空白部分面積S2= 2.2又因為 S扇形OAB= 4 X nX 2 = nn一 22所以陰影部分面積為 S3= n 2.所以P = 1 nnn方法二 連接AB,由S弓形ac= S弓形bc= S弓形oc可求出空白部分面積.設分別以

5、OA, OB為直徑的兩個半圓交于點 C,令OA= 2.由題意知C AB且S 弓形AC= S弓形BC= S弓形OC ,所以 S 空白=SOAB= 1 x 2 X 2= 2.1又因為S扇形OAB=4XnX 22= n所以S陰影=n 2.S陰影n 22所以 P = 1 一 一.S扇形OABnn題型一 與長度有關的幾何概型東方工作裳核2備課U制件1 在集合 A= m|關于x的方程x2+ mx3+ 4m + 1 = 0無實根中隨機地取一元素 m，恰使式子lg m有意義的概率為 .思維啟迪：通過轉(zhuǎn)化集合 A和lg m有意義將問題轉(zhuǎn)化成幾何概型.4答案45A X-CX東方工咋窒核2備課爼制作探究提高解答幾何

6、概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍當考 察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考察對象為線時，一般 用角度比計算事實上，當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數(shù)之 比，所以角度之比實際上是所對的弧長 （曲線長）之比.在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是 東方工咋堂核2 備裸紐制 作解析 記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長 ”，如圖，不妨 在過等邊三角形 BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑 的弦，當弦為 CD時，就是等邊三角形的邊長 （此時F為0E中點），弦長大于

7、CD的充要條件是圓心 0到弦的距離小于 OF，由幾何概型公式得:1X 2P(A) = 題型二 與面積有關的幾何概型=0.*賓工*CH東賃工咋堂核心備課爼制件(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率;(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根 的概率.思維啟迪：(1)為古典概型，利用列舉法求概率.(2)建立a - b平面直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關的幾何概型.解 設事件A為“方程x2 + 2ax+ b2= 0有實根”.當a 0, b 0時，方程x2+ 2ax+ b2= 0有實根的

8、充要條件為a b.(1)基本事件共有 12 個: (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0),(3,1) , (3,2).其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.事件 A中包含9個93基本事件，事件 A發(fā)生的概率為P(A)=石=4.試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為(a, b)|0wa 3,0b 2，構(gòu)成事件A的區(qū)域為(a,b)|0 aw 3,0w bb，所以所求的概率為3X 2 X 22P(A)=3X223.探究提高 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用圖解題的關鍵:用圖形準確表示出

9、試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域, 的不等式，在圖形中畫出事件 A發(fā)生的區(qū)域.由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足(2012湖南)函數(shù)f(x) = sin(3x+ 妨的導函數(shù) y= f (x)的部分圖象如圖所示，其中， P為圖象與y軸的交點，A, C為圖象與東方工昨窒核心備課U劇(乍x軸的兩個交點，B為圖象的最低點.若片n點p的坐標為0,323，則3=；若在曲線段 ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在ABC內(nèi)的概率為n答案(1)3(2)4解析 T f(x)= sin(3x+ 妨，/ f (x)= 3cos(3x+ 冊.nwCOS 3x+ 二.6又該函數(shù)過點 P 0,筈3，故與3 = 3cos疔

10、二3= 3.2 2 6nn 6設 a（x0,o）,則 3x+ 片2，二xo= 2；-32 n又y= 3cos（3x+ 6）的周期為3,依題意曲線段 ABC與x軸圍成的面積為n 6 n n 62 3332 33S=_一+_ 3cos（3x+ 6）dx= 2.|AC|=3, |yB|=滿足條件的概率為n題型三與角度、體積有關的幾何概型彳備東方工忡愛樓Z備裸紐制作* $：x-cxJxa M D c3 如圖所示，在 ABC中，/ B= 60 / C=45 高 AD =工3,在/ BAC內(nèi)作射線 AM交BC于點M，求BM1的概率.思維啟迪：根據(jù)“在/ BAC內(nèi)作射線AM”可知，本題的測度是角度.解 因為

11、/ B = 60 / C = 45 所以 / BAC= 75在 Rt ABD 中，AD = 3, / B = 60 ,AD所以 BD = 1, / BAD = 30 .tan 60記事件N為“在/ BAC內(nèi)作射線 AM交BC于點M，使BM1”，則可得/ BAM / BAD東方工咋金核業(yè)備課紐制件時事件N發(fā)生.30 2由幾何概型的概率公式，得P(N) = 35 = 5.探究提高幾何概型的關鍵是“測度”，如本題條件若改成“在線段BC上找一點M則相應的測度變成線段的長度.一只蜜蜂在一個棱長為 30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體玻璃容器的6個表面的距離均大于10,則飛行是

12、安全的，假設蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個位置的可能性概型的概率計算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為103_ 1303= 27.相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為( )1A.81 1詠C.273D.3答案C解析由題意，可知當蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時才是安全的，所以由幾何思想與方法系列23轉(zhuǎn)化與化歸思想在概率中的應用典例：(12分)已知向量a= (2,1), b= (x, y).(1)若 x 1,0,1,2, y 1,0,1，求向量 a / b 的概率；若x 1,2, y 1,1，求向量a, b的夾角是鈍角的概率.審題視角(1)向量a / b轉(zhuǎn)化為x= 2y,而x、y的值均為有限個，

13、可以直接列出，轉(zhuǎn)化 % X1EX為古典概型問題； 和中條件類似，但 x、y的值有無窮多個，應轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.規(guī)范解答解設“a / b”為事件A，由a/ b，得x= 2y.基本事件空間為Q= ( 1, 1), (- 1,0), (1,1), (0, - 1), (0,0), (0,1), (1 , - 1),(1,0) , (1,1), (2 , 1), (2,0), (2,1)，共包含 12 個基本事件；3 分其中A = (0,0) , (2,1)，包含2個基本事件.2 1 1則P(A)= = 6，即向量a / b的概率為石.5分設“a, b的夾角是鈍角”為事件B,由a, b的夾角是鈍角，

14、可得a b0,即2x+ y0,且 xm 2y.7 分基本事件空間為1 x 2Q= x, y1 yw 1東芳工作窒核2備裸紐制作1 x 2B = x, y1 yw 12x+ y0 xm 2y10 分則P(B)十3X 212 分1即向量a, b的夾角是鈍角的概率是 3.溫馨提醒(1)對含兩個變量控制的概率問題，若兩個變量取值有限個，可轉(zhuǎn)化為古典概型；若取值無窮多個，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.(2)本題錯誤的主要原因是不能將問題化歸為幾何概型問題，找不到問題的切入點所以 要注意體會和應用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決幾何概型中的作用方法與技巧1 區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限多

15、個.2 轉(zhuǎn)化思想的應用對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結(jié)果和點對應，然后利用幾何 概型概率公式.失誤與防范1 東方工咋堂核2備課U制作1 準確把握幾何概型的 “測度”是解題關鍵;2 幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.A組專項基礎訓練（時間：35分鐘，滿分：57分）一、選擇題（每小題5分，共20分）1 （2012遼寧）在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段 AC,CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為1124A.:B.才C_D.6335答案C解析設AC = x, CB = 12 x,所以 x(12 x)3

16、2，解得 x8.4+ 42所以 P=7F=3.0x 2,2 （2012北京）設不等式組表示的平面區(qū)域為 D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,0 yw 2nA.；B.n 2nC.4 n D.4264答案D解析如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()D ,UoA東方工昨堂核心備課U制作且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4 n因此滿足條件的概3 如圖所示，在邊長為 1的正方形OABC中任取一點好取自陰影部分的概率為1A.11B.51C.61D.7P,則點(答案解析t S陰影=%( x x)dx=

17、2 31? 13x2戲 01 1 o ,=-,又S正方形OABC = 1 ,2 6由幾何概型知，p恰好取自陰影部分的概率為16.在區(qū)間1,1上隨機取一個數(shù)x,則sin于的值介于一2與寧之間的概率為2C.35即22，故所求概率為+ g 的長度_0 , 5 n , 1 U 2 ,p =0, 5的長度7. 在區(qū)間n, n內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a, b，則使得函數(shù)f(x) = x2+ 2ax b2+ n有零點的概率為.答案3一 p B解析 根據(jù)函數(shù)f(x) = x2 + 2ax b2+ n有零點得4a2 4( n b2) 0,即a2 + b2 n建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域

18、為正方形ABCD及其內(nèi)部，使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)域S陰影為圖中陰影部分，且 s陰影=4 nn= 3 n.故所求概率為p =-S正方形3n2= 34n= 4.三、解答題洪22分)8. (10分)已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為1,在正方體內(nèi)隨機取點M，求使四棱錐A f： X-CX東賃工咋窒核2備課爼制件1M - ABCD的體積小于6的概率A賓工匹亶東方工咋窒核2備裸紐制作解 如圖，正方體 ABCD AiBiCiDi.設M ABCD的高為h,11則了X Sabcd X h,361又 Sabcd = 1 ,二 h0內(nèi)的隨機點，求函數(shù)y= f(x)在區(qū)間1 ,)上是增函數(shù)y0的概率.Q

19、L.解因為函數(shù)f(x)= ax2 4bx+ 1的圖象的對稱軸為 x = 2-，要使f(x)= ax2 4bx+ 1在區(qū)a間1 ,+8)上為增函數(shù)，當且僅當a0 且2b 1,a即 2b0b0構(gòu)成所求事件的區(qū)域為a, ba0b0a + b 8= 0, ab = 2，得交點坐標為晉，8 ,所以所求事件的概率為8X 8213.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)色牟看工作愛樓業(yè)備課紐制作 賓 X1EX、選擇題（每小題5分，共15分）在區(qū)間0,1上任取兩個數(shù)a, b,則函數(shù)f（x）= x1 2 + ax+ b2無零點的概率為2B.33C.41D4答案解析要使該函數(shù)無零點，只需a2- 4b20

20、 ,即（a+ 2b）（a- 2b）0, / a-2b0.如圖所示，設-一占八、N，連接M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取MN，則弦MN的長超過 2R的概率為1B.41C.31D.2作出的可行域,a-2b ,：2RnR1P(A戸 2nR= 2.3. （2012陜西）如圖所示是用模擬方法估計圓周率n值的程序框圖，P表示估計結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應填入東方工昨窒核心備課紐制件NA - P= 1 000MC p=-1 000答案 D_ 4NB - P= 1 0004M1 000解析 T Xi, yi為01之間的隨機數(shù)，構(gòu)成以 1為邊長的正方形面,當好+ y X 1 _4 5. （2011

21、江西）小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若1時對應點落在陰影部分中（如圖所示）.4Mn(M + N)= 4M , n= 000.二、填空題（每小題5分，共15分）4. 在區(qū)間0,1上隨意選擇兩個實數(shù)x, y,則使.x2+ y2w 1成立的概率為 .答案n4解析 D為直線x= 0, x= 1 , y= 0, y= 1圍成的正方形區(qū)域，而由-x2 + y2 0, y 0）知d為單位圓在第一象限內(nèi)部分（四分之一個圓），故所求概率為fnX 1247t車方工作金核備棵紐劇柞A f： X-CX此點到圓心的距離大于 1則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于1,則去打籃球;否則，在家看書.則小波周末不 在家看書的概率為 答案1316解析去看電影的概率P1 =nX 12 nX 1 2nX 124去打籃球的概率P2 =nXnX 12116，不在家看書的概率為p= 4+ -16=16*.6. 如圖所