彈塑性力學(xué)課件 應(yīng)變教學(xué)課件講義

1、 位移 應(yīng)變張量 應(yīng)變與位移的關(guān)系 體積應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 主應(yīng)變 不變量 應(yīng)變張量的分解 第2章 應(yīng)變 u(x、y、z) = rx rx v(x、y、z) = ry ry w(x、y、z) = rz rz r r u a a x y z 位 移 應(yīng)變 考察物體內(nèi)任意一微小線段 長(zhǎng)度的相對(duì)改變 正（線）應(yīng)變 方向的相對(duì)改變 剪（角）應(yīng)變 l ll 0 90 a b a b l l x y z a b a b l l c c 90 0 x y z 應(yīng)變張量 三個(gè)方向線元的應(yīng)變決定該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài) 取與坐標(biāo)軸相平行的三個(gè)方向 o a b c o a b c x y z oa oa-a

2、o x ob ob-bo y oc oc-co z aob yxxy 2 boc zyyz 2 coa zxxz 2 對(duì)稱(chēng)張量 張量的剪切應(yīng)變分量 實(shí)際的剪切應(yīng)變 zzyzx yzyyx xzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 應(yīng)變與位移的關(guān)系（幾何方程） u v xy yx x y o a b a b o dx x u u dx x v v dy y u u dy y v v oa和ob兩線元的長(zhǎng)度分別為oa=dx，ob=dy。 設(shè)o點(diǎn)的位移是u(x，y)和v(x，y)， a點(diǎn)的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)， b點(diǎn)的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+d

3、y)。 dx x u u ， dx x v v dy y u u ， dy y v v 根據(jù)定義，導(dǎo)出xy平面內(nèi)的應(yīng)變分量 考慮小變形假定 其他應(yīng)變分量 x u dx udx x u u x y v dy vdy y v v y x v dx vdx x v v yx )( y u dy udy y u u xy )( x v y u xyyxyxxy z w z x w z u zxxz y w z v zyyz 幾何方程張量表示 位移梯度 應(yīng)變張量是位移梯度的對(duì)稱(chēng)化 )( 2 1 ,ijjiij uu j i ji x u u , 體積應(yīng)變 a b c a b c x y z m m dx

4、 x w dx x v dx x u am，1 dy y w dy y v dy y u bm， 1 dz z w dz z v dz z u cm1， 變形前的體積是 v0=dxdydz 變形后的體積是 體積應(yīng)變 dz z w dz z v dz z u dy y w dy y v dy y u dx x w dx x v dx x u cmbmamv 1 1 1 dxdydz z w y v x u v1(1+x+y+z)dxdydz 0 0 v vv x+y+z 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) a點(diǎn)位移是： u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)， b點(diǎn)位移是： u=u(x+dx、y+dy、z+

5、dz) v=v(x+dx、y+dy、z+dz) w=w(x+dx、y+dy、z+dz) a b a b x y z taylor級(jí)數(shù)將b點(diǎn)位移相對(duì)a點(diǎn)展開(kāi) dz z u dy y u dx x u uu dz z v dy y v dx x v vv dz z w dy y w dx x w ww dzdydzrdyrdxu dz x w z u dy y u x v dz x w z u dy x v y u dx x u uu yzxzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 dzdxdzdydxvv xzyzyyx 2 1 2 1 dydxdzdyrdxrww xyzzyz

6、x 2 1 2 1 矩陣表示 z v y w x 2 1 x w z u y 2 1 y u x v z 2 1 dz dy dx dz dy dx w v u w v u zzyzx yzyyx xzxyx xy xz yz 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 dz dy dx dz dy dx q w v u w v u 轉(zhuǎn)動(dòng)矢量 xexyeyzez 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)：以 方向的直線為轉(zhuǎn)軸，且轉(zhuǎn)角為 z y x dx dx dx dz dy dx q 變形分解 （1）隨a點(diǎn)平動(dòng)； ab ab （2）相對(duì)a點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)； ab ab （3）純變形。 ab ab。 a b a b

7、 b b 應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換、主應(yīng)變、不變量 將應(yīng)力計(jì)算公式中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量替換， 例如求主應(yīng)變的特征方程 2 1 (x)l+ xym+ xzn0 yxl+(y)m+ yzn0 zxl+ zym+(z)n0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 應(yīng)變張量的分解 球形張量對(duì)應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)只有體積等向膨脹或收縮，而沒(méi)有形狀畸變； 偏應(yīng)變張量對(duì)應(yīng)的變形狀態(tài)，只有形狀畸變而沒(méi)有體積改變 zzyzx yzyyx xzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 00 00 00 0 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx -

8、 - 變形協(xié)調(diào)方程 問(wèn)題 根據(jù)幾何方程去求位移分量，多組位移解 表明物體發(fā)生裂縫或者相互嵌入，產(chǎn)生不連續(xù)。 因此，6個(gè)應(yīng)變分量不能任意給定，必須滿足一定的協(xié)調(diào)關(guān)系， 位移單值連續(xù)的必要條件，對(duì)單連通體，其充分條件是 yxxy xy 2 2 y 2 2 x 2 yxxzyx x 2 yzxy zx 2 zyyz yz 2 2 z 2 2 y 2 zxyxzy y 2 xz yzxy 2 zxzx xz 2 2 x 2 2 z 2 yxzyxz z 2 xy zx yz 2 必要性證明 充分性證明 x u x ， y v y ， x v y u xy yxx v y u yxyx v yx u x

9、y xy 2 2 2 2 2 2 2 y 2 2 x 2 yzxzxyx r x w x v x u 2 2 1 2 2 1 xyzyzxy y w y v r y u 2 2 1 2 2 1 zxyzyzx z w z v z u 2 2 1 2 2 1 u單值的條件是積分與路徑無(wú)關(guān)，即du為全微分 cdzbdyadxdz z u dy y u dx x u duu x c z a y c z b x b y a zyx xy zxx 2 1 zxx xzx y 2 1 yxx x xy z 2 1 zyy yyz x 2 1 xzy yzxyy 2 1 xyy yxy z 2 1 yxz zx yz z 2 1 xzz zzx y 2 1 yzz z yz x 2 1 位移的導(dǎo)數(shù)a、b、c單值就要求x、y、z必須單值 fdzedyddxdz z dy y dx x xxx x zxyxzy y 2 xz yzxy 2 yxzyxz z 2 xy zx yz 2 zyyz