擺動(dòng)法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、實(shí)驗(yàn)4用復(fù)擺測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 學(xué)習(xí)掌握對(duì)長(zhǎng)度和時(shí)間的較精確的測(cè)量；2 掌握重力加速度的方法，并加深對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)理論的理解;3 學(xué)習(xí)用作圖法處理、分析數(shù)據(jù)。二、實(shí)驗(yàn)儀器JD-2物理擺、光電計(jì)時(shí)器等三、實(shí)驗(yàn)原理1.單擺如圖4-1 (單擺球的質(zhì)量為 m當(dāng)球的半徑遠(yuǎn)小于擺長(zhǎng)I時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量矩定理，在角坐 標(biāo)系可得小球自由擺動(dòng)的微分方程為：Sin n =0(4-1)dt I式中t為時(shí)間，g為重力加速度，I為擺長(zhǎng)。(4-2)則(4-1 )式可簡(jiǎn)化為:令(4-3 )式的解為：dt2(4-3 )(4-4)圖4-1單擺原理(4-5 )式中 ,:由初值條件所決定。周期(4-6)2 物理擺一個(gè)可繞固定軸

2、擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺或物理擺。如圖4-2，設(shè)物理擺的質(zhì)心為C,質(zhì)量為M,懸點(diǎn)為O,繞O點(diǎn)在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j0，0C距離為h，在重力作用下，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得微分方程為Jo 與MghE (4-7) dt22 Mgh令（4-8）J 0仿單擺，在二很小時(shí)，（4-7 ）式的解為：二-二 sin( ，t 亠：:)(4-9)Mg圖4-2 物理擺（復(fù)擺）(4-10)設(shè)擺體沿過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC，由平行軸定理可知:2J。= Jc - Mh（4-11）將（4-11 ）代入（4-10 ）可得：TcI Jc亠hT= 2.： （4-12）V Mghg（4-12）式就是物理擺的自由擺動(dòng)周期T和（

3、4-13 ）式右端各參變量之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)就是圍繞（4-12 ）式而展開的。因?yàn)閷?duì)任何Jc都有Jc x m，因此（4-13 ）式的T與M無(wú)關(guān)，僅與 M的分布相關(guān)。令J二Ma 2 , a稱為回轉(zhuǎn)半徑,則有(4-13) 一次法測(cè)重力加速度 g由（4-12 ）式可得出2 2 4二(Jc Mh )Mh(4-14)測(cè)出（4-14 ）右端各量即可得g ;擺動(dòng)周期T,用數(shù)字計(jì)時(shí)器直接測(cè)出，M可用天平稱出，C點(diǎn)可用杠桿平衡原理等辦法求出，對(duì)于形狀等規(guī)則的擺, 二次法測(cè)gJc可以計(jì)算出。一次法測(cè)g雖然簡(jiǎn)明,但有很大的局限性，特別是對(duì)于不規(guī)則物理擺,Jc就難以確定，為此采用如下“二次法”當(dāng)M及其分布（C點(diǎn)） 是有

4、確定以后，改變 h值，作兩次測(cè)T的實(shí)驗(yàn),運(yùn)用（4-13 ）式于2= 4：2J c Mh12J c Mh 2Mgh 22 2 2Mgh J 4. Jc 4：. Mh12 =0(4-15)2 2 2Mgh 2T2 4 J c - 4 . Mh聯(lián)立解(4-15 )、( 4-16 )式，可得出(4-16)2 22 也一h?g 二422h1T1 h2T2(4-17)這樣就消去了 Jc，所以（4-17 ）測(cè)g就有著廣泛的適用性。從（4-17 ）式，更可十分明確地看到T與M的無(wú)關(guān)性。雖然，任意兩組（m , T, ），（ h2, T2 ）實(shí)測(cè)值，都可以由（4-17 ）式算出g ;但是,對(duì)于一個(gè)確定的“物理擺”

5、選取怎樣的兩組（h ,T ）數(shù)據(jù)，使能得出最精確的 g的實(shí)測(cè)結(jié)果呢？為此必須研究 T （ h ）關(guān)系：將（4-12 ）式平方，于是可得出T2Jch2-（ 4-18）4二Mghg從此式可以看出T2與h的關(guān)系大體為一變形的雙曲線型圖線：當(dāng) h趨于0時(shí)Ttr, 當(dāng)h*, T亦趨于a；可見在 h的某一處一定有一個(gè)凹形極小值。為此，對(duì)（4-18 ）作一次求導(dǎo)并令其為0;即由 工=o,可得dhJ -120（4-19）Mghg2 2Mh J -二 Ma（4-20）即移動(dòng)擺軸所增加的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即h =a處所相應(yīng)的T為極小值（為什么？）。（注意：體會(huì)稱a為回轉(zhuǎn)半徑的含義）將（4-13 ）式取

6、二次導(dǎo)數(shù)為研究T （ h）關(guān)系特在0.6m長(zhǎng)的扁平擺桿上，間隔2cm均勻鉆出直徑為1cm的28個(gè)孔以作為O點(diǎn)的Hi值（i= 土 1, 2，土 3，” 14）于是可得出如圖4-3所示的曲線。圖4-3 擺動(dòng)周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系在共軛的A, B二極小T值點(diǎn)以上，沿任一 T h畫一條直線，交圖線于 -D, E, F四 點(diǎn)；皆為等T值點(diǎn)，錯(cuò)落的兩對(duì)等 T值間的距離（hD+hE） = h- + hr被稱為等值單擺長(zhǎng)。為 理解這一點(diǎn)，將（4-17 ）式的T1與Te （或Td）對(duì)應(yīng)，T2與Tf （或T-）對(duì)應(yīng)，h1為與對(duì)應(yīng)的hE, h2為與T2對(duì)應(yīng)的hF，并將（4-17）式改形為:2 2 2 2 2

7、(4-22 )4 二 _ T1丁2 工 7g _ 2(h h2) 2(hh2)（4-22 ）與（4-17 ）的等同性同學(xué)們?cè)谡n后去用代數(shù)關(guān)系式驗(yàn)證。從（4-22 ）可知，當(dāng)Ti = T2（ =T）時(shí)，即化為單擺形式的公式（4-6），故稱（hE+hF ）、（ hc+hD ）為等值單擺長(zhǎng)。從（4-20 ）式可知： ob = oa = a ;而 ax2 = h e+ h 1從圖4-3可知，A，B二共軛點(diǎn)為T（ h）的極小值點(diǎn)，若在它附近取二個(gè) h值來(lái)計(jì)算g則將引起較大的誤差。所以欲取得精確的g的測(cè)量值，就只能取最大的 F點(diǎn)和相應(yīng)的E點(diǎn)來(lái)計(jì)算g值。因孔的非連續(xù)性，E只能取Te近乎于Tf的點(diǎn)代入（4-2

8、2 ）式。還可取略大、略小的兩組值都計(jì)算出再取平均。A或B在實(shí)驗(yàn)上雖然不利于測(cè)量出較精確的g，但運(yùn)行在Tb （或Ta）值下的擺，其性能最穩(wěn)定。 可倒擺為提高測(cè)g的精度，歷史上在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的物理擺的擺桿上，加兩個(gè)形體相同而密度不同的兩個(gè)擺錘對(duì)稱地放置。于是質(zhì)心C點(diǎn)隨即被改變，圖 4-3的圖線也隨之改變，特別是Tc （即），Tf（即T2）所相應(yīng)的hC（即h1），hF（即h2）也隨之改變。但曲線的形狀依歸。所以，用此時(shí)的T （ =Tf =Tc）和h1 （=hC），h2 （=hF）按（4-22 ）式來(lái)計(jì)算出g。當(dāng)然，由于擺桿孔的非連續(xù)性，所以僅能用Tc- Tf的實(shí)測(cè)值，這時(shí)（4-22 ）式的右端的第2項(xiàng)

9、僅具很小的值。所以（T1 - T2）很小，而（h1- h2）較大。所以實(shí)驗(yàn)須先在重鐵錘的擺桿的下端測(cè)出T1后，將擺倒置過(guò)來(lái)，從遠(yuǎn)端測(cè)出大于T1的值然后逐漸減h2直至T小于T1為止。將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱為開特氏擺）；（4-22 ）式就稱為可倒擺計(jì)算式。擺錘用兩個(gè)而不是用一個(gè)，而且形體作成相同，是因?yàn)榈怪靡院笤跀[動(dòng)過(guò)程中，擺的空氣阻尼等對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)的影響可消除。由物理擺的理論可知，可倒擺（開特?cái)[）僅是物理擺的特例。 錘移效應(yīng)a.加錘擺的擺動(dòng)周期 Tm設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為M質(zhì)心為C （設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)），擺心為O, CO距離為h，質(zhì)心C處與擺心O處沿OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC、JO。

10、以上條件皆固定不變。然后再加一個(gè)圓柱形的擺錘，錘的回轉(zhuǎn)半徑為r,質(zhì)量為m正軸與上述各軸平行。錘移動(dòng)沿CO方向?yàn)?X。置錘于X處，如圖4-4所示。擺的總質(zhì)量為M = M m(4-23)質(zhì)心變?yōu)镃,由一次矩平衡原理可得出CC : = m X /( M - m)(4-24)所以新的擺長(zhǎng)h = h - CC h m X /(M 亠 m) (4-25)由平行軸定理，可得2 2 2 2Jo = Ma Mh - mr m (h - X )(4-26)設(shè)重力加速度g已知(不變)，則帶錘的擺動(dòng)方程式仿(4-7 )、(4-10 )式為：(動(dòng)量矩定理)J0 v - -(M m) g h - m X /( M m)

11、sin v (4-27)i .加錘擺的周期公式 Tm為:2 2 2 2 Ma Mh mr m (h - x)m x) M - m(4-28)(h在研究錘移效應(yīng)時(shí)，令(固定不變)2C =Ma2mh亠mr 2(4-29)所以有k =(M - m)(4-30)2C m(h x)T m = 2 ；調(diào)擺錘（或平衡錘一一亦可稱之為擺的“平衡”錘）的質(zhì)量或其質(zhì)量的分布。移動(dòng) 平衡錘。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟安裝、調(diào)節(jié)好儀器以后：1 測(cè)出無(wú)錘擺桿的T （ H）關(guān)系；（可只測(cè)半截?cái)[桿的）2 測(cè)出兩個(gè)加錘擺的 Ti （X）, E （ X）關(guān)系；兩擺錘的形狀、尺寸須相同，而質(zhì)量不 同；3 然后按原理所述，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)表格自列。四、注意事項(xiàng)11. 擺幅A須小于1,按R=0.3m （-擺桿）+0.03m（擺針）=330mm計(jì)2倍振幅2 兀 x 330 mm o2A 1 10mm3602. 擺的懸掛處的孔和刀口間須密切接觸，不密切則調(diào)底腳螺釘，否則影響實(shí)驗(yàn)測(cè)量；3 還須盡量作處于孔的正中央、且盡量作到一致