小學(xué)奧數(shù)周期問題教師版

1、第八講：周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 知識點(diǎn)說明 周期問題： 周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)；周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí) 間叫周期；解決有關(guān)周期性問題的關(guān)鍵是確定循環(huán)周期 分類：1 圖形中的周期問題； 2 數(shù)列中的周期問題； 3 年月日中的周期問題. 周期性問題的基本解題思路是：首先要正確理解題意，從中找準(zhǔn)變化的規(guī)律，利用這些規(guī)律作為解題的 依據(jù)；其次要確定解題的突破口。主要方法有觀察法、逆推法、經(jīng)驗(yàn)法等。主要問題有年月日、星期幾問題 等。 觀察、逆推等方法找規(guī)律，找岀周期確定周期后，用總量除以周期，如果正好有整數(shù)個(gè)周期，結(jié) 果就為周期里的最后一個(gè)； 例如：1，2，1，2

2、，1，2，那么第18個(gè)數(shù)是多少？ 這個(gè)數(shù)列的周期是 2，18 2 =9，所以第18個(gè)數(shù)是2 如果比整數(shù)個(gè)周期多 n個(gè)，那么為下個(gè)周期里的第n個(gè)； 例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，那么第16個(gè)數(shù)是多少？ 這個(gè)數(shù)列的周期是 3，163=51，所以第16個(gè)數(shù)是1 如果不是從第一個(gè)開始循環(huán)，可以從總量里減掉不是循環(huán)的個(gè)數(shù)后，再繼續(xù)算. 例如：1，2，3，2，3，2，3，那么第16個(gè)數(shù)是多少？ 這個(gè)數(shù)列從第二個(gè)數(shù)開始循環(huán)，周期是2，(16-1)2=71，所以第16個(gè)數(shù)是2. 板塊一、圖形中的周期問題 【例1】 小兔和小松鼠做游戲，他們把黑、白兩色小球按下面的規(guī)律排列： 你知道它們所排列的這些小

3、球中，第90個(gè)是什么球？第100個(gè)又是什么球呢？ 【解析】 仔細(xì)觀察圖中球的排列，不難發(fā)現(xiàn)球的排列規(guī)律是：2個(gè)黑球，1個(gè)白球；2個(gè)黑球，1個(gè)白球； 也就是按“ 2個(gè)黑球，1個(gè)白球”的順序循環(huán)出現(xiàn)，因此，這道題的周期為3 （2個(gè)黑球，1個(gè) 白球）再看看90、100里包含有幾個(gè)這樣的周期，若正好有整數(shù)個(gè)周期，結(jié)果為周期里的最 后一個(gè)，若是有整數(shù)個(gè)周期多幾個(gè)，結(jié)果就為下一個(gè)周期里的第幾個(gè)因?yàn)?0“ 3 = 30，正好 有30個(gè)周期，第90個(gè)是白球.1003=33 有33個(gè)周期還多1個(gè)，所以，第100個(gè)是黑 球. 【鞏固】 美美有黑珠、白珠共 102個(gè)，她想把它們做成一個(gè)鏈子掛在自己的床頭上，她是按下

4、面的順序排 列的： oooooooooo 那么你知道這串珠子中，最后一個(gè)珠子應(yīng)是什么顏色嗎？ 美美怕這種顏色的珠子數(shù)量不夠，你能幫她算出這種顏色在這串珠子中共有多少個(gè)嗎？ 【解析】觀察可以發(fā)現(xiàn)，這串珠子是按“一白、一黑、二白” 4個(gè)珠子組成一組，并且不斷重復(fù)出現(xiàn)的. 我 們先算出102個(gè)珠子可以這樣排列成多少組，還余多少.我們可以根據(jù)排列周期判斷出最后一 個(gè)珠子的顏色，還可以求出有多少個(gè)這樣的珠子因?yàn)?02“ 4 =252，所以最后一個(gè)珠子是 第26個(gè)周期中的第二個(gè)，即為黑色在每一個(gè)周期中只有1個(gè)黑珠子，所以黑色珠子在這串 珠子中共有25 V =26 （個(gè)） 【例2】 小倩有一串彩色珠子，按紅

5、、黃、藍(lán)、綠、白五種顏色排列. 第73顆是什么顏色的？ 第10顆黃珠子是從頭起第幾顆？ 第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間（不包括這兩顆紅珠子）共有幾顆珠子？ 【解析】這些珠子是按紅、黃、藍(lán)、綠、白的順序排列，每一組有5顆.73 5 =14（組）3（顆）， 第73顆是第15組的第3顆，所以是藍(lán)色的. 第10顆黃珠子前面有完整的 9組，一共有5 9 =45（顆）珠子.第10顆黃珠子是第10組的第 2顆，所以它是從頭數(shù)的第 47顆列式：5 9 2 =45 2 =47（顆） 第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間一共有 14顆珠子第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間有完 整的兩組（第9、10組），共10顆珠子，

6、第 8顆紅珠子后面還有 4顆珠子，所以是 14顆列式: 5 2 4 =10 4 =14（顆）. 【鞏固】 奧運(yùn)會(huì)就要到了，京京特意做了一些“北京歡迎你”的條幅，這些條幅連起來就成了：“北京歡 迎你北京歡迎你北京歡迎你 依次排列，第 28個(gè)字是什么字？ 【解析】這道題是按“北京歡迎你”的規(guī)律重復(fù)排列，即5個(gè)字為一個(gè)周期.因?yàn)?28“ 5 =53，所以 28個(gè)字里含有5個(gè)周期還多3個(gè)字，即第28個(gè)字就是所列一個(gè)周期中的第3個(gè)字，所以第28 個(gè)字是“歡”字. 【鞏固】 節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看岀每兩個(gè)白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈也就是 說，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3盞

7、彩燈那么第 73盞燈是什么顏色的燈？ 【解析】從第一盞白燈開始，每隔三盞彩燈就又出現(xiàn)一盞白燈，不難看出白燈的編號依次是： 1，5, 9，13，這些編號被4除所得的余數(shù)都是 1. 73=4 18 1，即73被4除的余數(shù)是1, 因此第73盞燈是白燈. 【例3】 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接1盞黃燈，然后 又是 5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、1盞黃燈、這樣排下去.問： 第150盞燈是什么顏色？ 前200盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？ 【解析】街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接1盞黃燈，這樣一個(gè)周期變化的， 實(shí)際上一 個(gè)周期就是5 4 *1=10 （盞）燈.150 （54 115

8、，150盞燈剛好15個(gè)周期，所以第150 盞應(yīng)該是這個(gè)周期的最后一盞，是黃色的燈. 如果是200盞燈，就是200 一：一（5 4 1）=20的周期每個(gè)周期都有 4盞藍(lán)燈，20 4=80 （盞） 前200盞彩燈中有80盞藍(lán)燈. 【鞏固】 在一根繩子上依次穿 2個(gè)紅珠、2個(gè)白珠、5個(gè)黑珠，并按此方式反復(fù)，如果從頭開始數(shù)，直到第 50顆，那么其中白珠有多少顆？ 【解析】50 亠（22 5）二 5 -5. 5 2 12 （個(gè)）. 【鞏固】 小莉把平時(shí)積存下來的200枚硬幣按3個(gè)1分，2個(gè)2分，1個(gè)5分的順序排列起來. 最后1枚是幾分硬幣 這200枚硬幣一共價(jià)值多少錢？ 【解析】每個(gè)周期有3 2 6枚硬

9、幣，要求最后一枚，用這個(gè)數(shù)除以6,根據(jù)余數(shù)來判斷 200 “ 6 =332，所以最后一枚是1分硬幣 每個(gè)周期中6枚硬幣共價(jià)值1 3 2 2 1 5 =12 （分），用這個(gè)數(shù)乘以周期次數(shù)再加上余下 的，就可以得到一共價(jià)值多少了12 33*2 =398 （分），所以，這 200枚硬幣一共價(jià)值 398 分. 【鞏固】 桌子上擺了很多硬幣，按一個(gè)一角，兩個(gè)五角，三個(gè)一元的次序排列，一共19枚硬幣問：最后 一個(gè)是多少錢的？第十四個(gè)是多少錢的？ 【解析】19,6 =31,14“6 =22,所以，第19枚硬幣是一角的，第14枚硬幣是五角的. 【鞏固】 有249朵花，按5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的順序輪流

10、排列，最后一朵是什么顏色的花？這 249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少幾朵？ 【解析】 這些花按5紅、9黃、13綠的順序輪流排列，它的一個(gè)周期內(nèi)有5 9 127 （朵）花.因 為249亠27 =96,所以，這249朵花中含有9個(gè)周期還余下6朵花.按花的排列規(guī)律，這 6朵花中前5朵應(yīng)是紅花，最后一朵應(yīng)是黃花在這一個(gè)周期里，綠花最多，紅花最少，所以 在249朵花中，自然也是綠花最多，紅花最少.少幾朵呢？有兩種解法： （方法 1） 249 （5 9 13） =9 6 紅花有：5 9*5=50 （朵）綠花有：13 9=117（朵）紅花比綠花少：117-50=67 （朵） （方法2

11、） 249 （5 9 1396, 個(gè)周期少的：13-5=8 （朵），9 8=72 （朵），余下的 6朵中還有5朵紅花，所以72 -5=67 （朵）. 【例4】 如圖所示，每列上、下兩個(gè)字（字母）組成一組，例如，第一組是“我，A”，第二組是“們， B ” 我 們 愛 科 學(xué) 我 們 愛 科 學(xué) 我 寫出第62組是什么？ 如果“愛，C”代表1991年，那么“科， D ”代表1992年問2008年對應(yīng)怎樣的組? 【解析】（1）要求第62組是什么數(shù)，我們要分別求岀上、下兩行是什么字（字母），上面一行是以“我們 愛科學(xué)”五個(gè)字為一個(gè)周期，下面一行則是以“ABCDEFG ”七個(gè)字母為一個(gè)周期 62-：-5

12、=12 2,62-：-7 =86,所以第 62 組是“們，F(xiàn) ” 2008是1991之后的第17組，現(xiàn)在上面一行按“科學(xué)我們愛”五個(gè)字為一個(gè)周期，下面一 行則按“ DEFGABC” 七個(gè)字母為一個(gè)周期：2008-1991 =17 （組），175=32 17 “7 =23，所以2008年對應(yīng)的組為“學(xué)， F 【鞏固】 在圖所示的表中，將每列上、下兩個(gè)字組成一組，例如第一組為（新奧），第二組為（北林）， 那么第50組是什么？ 新北京新奧運(yùn)新北京新奧運(yùn)新北京新奧運(yùn) 奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì) 【解析】要知道第50組是哪兩個(gè)數(shù)，我們首先要弄清楚第一行和第二行的第50個(gè)字分別應(yīng)該是什么.

13、第- 行新北京新奧運(yùn)”是 6個(gè)字一個(gè)周期，506 =82，第50個(gè)字就是北.再看第二行奧林匹 克運(yùn)動(dòng)會(huì)”是7個(gè)字一個(gè)周期，50 7 =7 T,第50個(gè)字就是奧把第一行和第二行合在一起， 第50組就是“北奧”. 【例5】 如右圖，是一片剛剛收割過的稻田，每個(gè)小正方形的邊長是1米，A、B、C三點(diǎn)周圍的陰影 部分是圓形的水洼。一只小鳥飛來飛去，四處覓食，它最初停留在0號位，過了一會(huì)兒，它 躍過水洼，飛到關(guān)于 A點(diǎn)對稱的1號位；不久，它又飛到關(guān)于 B點(diǎn)對稱的2號位；接著，它 飛到關(guān)于C點(diǎn)對稱的3號位，再飛到關(guān)于 A點(diǎn)對稱的4號位，如此繼續(xù)，一直對稱地 飛下去。由此推斷，2004號位和0號位之間的距離是

14、多少米？ 【解析】0米。根據(jù)題上給岀的條件，動(dòng)手畫岀，就可以了！四次再次回到0號位置！ 2004是4的倍數(shù)， 所以第2004號位和0號位之間的距離是 0米。 板塊二、數(shù)列中的周期問題 【例6】 小和尚在地上寫了一列數(shù)：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3 你知道他寫的第 81個(gè)數(shù)是多少嗎？ 你能求岀這81個(gè)數(shù)相加的和是多少嗎？ 【解析】從排列上可以看出這組數(shù)按7，0，2，5, 3依次重復(fù)排列，那么每個(gè)周期就有 5個(gè)數(shù).81 個(gè)數(shù)則是16個(gè)周期還多1個(gè)，第1個(gè)數(shù)是7,所以第81個(gè)數(shù)是7，815=16T 每個(gè)周期各個(gè)數(shù)之和是：7 0 2 5 17 再用每個(gè)周期各數(shù)之和乘以周期次數(shù)再加上余下 的各

15、數(shù)，即可得到答案.17 16 7 =279，所以，這81個(gè)數(shù)相加的和是 279. 【鞏固】根據(jù)下面一組數(shù)列的規(guī)律求出51是第幾個(gè)數(shù)？ 1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17 【解析】 觀察題目可知數(shù)列個(gè)位數(shù)字每九個(gè)數(shù)一組，十位數(shù)字依次增加，04共五個(gè)數(shù)，則可列式為: 5 X9 + 1=46，即51為第46個(gè)數(shù)。 【例7】4 44 （25個(gè)4），積的個(gè)位數(shù)是幾？ 24個(gè)2相乘，積末位數(shù)字是幾？ 【解析】按照乘數(shù)的個(gè)數(shù)，積的末位數(shù)字的規(guī)律是：4, 6, 4, 6, 4, 6,，奇數(shù)個(gè)4相乘得數(shù)的 末位數(shù)字是4，偶數(shù)個(gè)4相乘得數(shù)的末位數(shù)是 6,所以252=12，25個(gè)4相

16、乘，積的末位 數(shù)字是4. 【解析】按照乘數(shù)的個(gè)數(shù)，末位數(shù)字的規(guī)律是2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6,4個(gè)一組24, 4 = 6 , 所以24個(gè)2相乘，積末位數(shù)字是 6. 【鞏固】 緊接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每一個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù).例如， 8 9=72，在9后面寫2, 9 2=18，在2后面寫8得到一串?dāng)?shù)字：，問：這串?dāng)?shù)字 從1開始，往右數(shù)，第I 999個(gè)數(shù)字是幾？這1999個(gè)數(shù)字的和是多少？ 【解析】根據(jù)題意，寫岀這列數(shù)的前面部分?jǐn)?shù)字：“286884 ”這6個(gè)數(shù)字重復(fù)岀現(xiàn)，周期是 6. 第1999個(gè)數(shù)字是：因?yàn)椋?999 -4） 6 =3323，所以，

17、第I999個(gè)數(shù)字是6. 這1999個(gè)數(shù)字的和是： 【例8】12個(gè)同學(xué)圍成一圈做傳手絹的游戲，如圖. 從1號同學(xué)開始，順時(shí)針傳 I 00次，手絹應(yīng)在誰手中？ 從1號同學(xué)開始，逆時(shí)針傳 I 00次，手絹又在誰手中？ 從1號同學(xué)開始，先順時(shí)針傳I 56次，然后從那個(gè)同學(xué)開始逆時(shí)針傳143次，再順時(shí)針傳 107 次，最后手絹在誰手中？ 【解析】因?yàn)橐蝗τ蠭2個(gè)同學(xué)，所以傳一圈還回到原來同學(xué)手中，現(xiàn)在，從1號開始，順時(shí)針傳100 次，我們先用除法求傳了幾圈、還余幾次.100“12=8（圈）4（次）從1號同學(xué)順時(shí)針傳 4次 正好傳到5號同學(xué)手中. 與第一小題的道理一樣，先做除法.100一：一12 =8（圈

18、）4（次）這4次是逆時(shí)針傳，正好傳到 9號 同學(xué)手中（如圖）. 先順時(shí)針傳156次，然后逆時(shí)針傳 I43次，相當(dāng)于順時(shí)針傳 156-143=13（次）；再順時(shí)針傳I07 次，與13次合并，相當(dāng)于順時(shí)針傳 13107=120（次），120亠12=10（圈），手絹又回到I號同學(xué)手 中. 【鞏固】8個(gè)隊(duì)員圍成一圈做傳球游戲，從號開始，按順時(shí)針方向向下一個(gè)人傳球在傳球的同時(shí)，按順 序報(bào)數(shù)當(dāng)報(bào)到 72時(shí)，球在幾號隊(duì)員手上？ 【解析】 將8名隊(duì)員看作一組，每組報(bào) 8個(gè)數(shù)，72個(gè)數(shù)可以分成幾組：72-8=9組，沒有余數(shù)，球正好在 【鞏固】 如圖，電子跳蚤每跳一步，可從一個(gè)圓圈跳到相鄰的圓圈現(xiàn)在，一只紅跳蚤從

19、標(biāo)有數(shù)字的圓 圈按順時(shí)針方向跳了 1991步，落在一個(gè)圓圈里一只黑跳蚤也從標(biāo)有數(shù)字的圓圈起跳，但它是 沿著逆時(shí)針方向跳了1949步，落在另一個(gè)圓圈里問：這兩個(gè)圓圈里數(shù)字的乘積是多少？ 【解析】解答此類問題時(shí)，只要能發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)周期現(xiàn)象，并充分加以利用，就能較快找到解題的關(guān)鍵.本題中， 不難看岀這是一個(gè)與周期性有關(guān)的問題，電子跳蚤每跳12步就回到了原來的位置，如此循環(huán)，周 期為12. 因?yàn)?991亠12 =165|川11，所以，紅跳蚤跳了1991步后落到了標(biāo)有數(shù)字 11的圓圈. 因?yàn)?94912 =162|川）5，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了標(biāo)有數(shù)字 7的圓圈. 所求的乘積是11 7=77.

20、【鞏固】 如右圖，把18八個(gè)號碼擺成一個(gè)圓圈，現(xiàn)有一個(gè)小球，第一天從1號開始按 順時(shí)針方向前進(jìn) 329個(gè)位置，第二天接著按逆時(shí)針方向前進(jìn)485個(gè)位置，第三天:一 : 又順時(shí)針前進(jìn)329個(gè)位置，第四天再逆時(shí)針前進(jìn)485個(gè)位置如此繼續(xù)下去，. 問至少經(jīng)過幾天，小球又回到原來的1號位置？ 65 4 【解析】 根據(jù)題意，小球按順時(shí)針、逆時(shí)針、順時(shí)針、逆時(shí)針兩天一個(gè)周期循環(huán)變換 方向每一個(gè)周期中，小球?qū)嶋H上是按逆時(shí)針方向前進(jìn)485-329=156（個(gè)）位置.156 -8=19 4，就是說，每個(gè)周期（2天）中，小球是逆旋轉(zhuǎn)了19周后再逆時(shí)針前進(jìn) 4個(gè)位置.要使小球回到 原來的1號位，至少應(yīng)逆時(shí)針前進(jìn)8個(gè)位

21、置.8 -4=2 （個(gè)）周期，2 X2=4 （天），所以至少要用 4 天，小球才又回到原來“ 1 ”號位置. 【鞏固】 如右圖，有16把椅子擺成一個(gè)圓圈，依次編上從1到16的號碼.現(xiàn)在有一人從第 1號椅子順時(shí)針 前進(jìn)328個(gè)，再逆時(shí)針前進(jìn) 485個(gè)，又順時(shí)針前進(jìn) 328個(gè)，再逆時(shí)針前進(jìn) 485個(gè)，又順時(shí)針前進(jìn) 136個(gè)，這時(shí)他到了第幾號椅子？ 【解析】 這個(gè)人順時(shí)針前進(jìn)了 328+328+136=792個(gè)位置，由于 792 -16=49，所以他走到 9號位置. 又這個(gè)人逆時(shí)針共退回485+485=970 個(gè)位置，由于 970 -16 = 60 -10，因此這個(gè)人到了第 15（=9+16-10）

22、 號椅子. 【例9】甲、乙兩人對一根3米長的木棍涂色。首先，甲從木棍的端點(diǎn)開始涂黑色 5厘米，間隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，這樣交替做到底。然后， 乙從木棍同一端點(diǎn)開始留出6厘米不涂色，然后涂 6厘米黑色，再間隔6 厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上沒有被涂黑色部分的總長度是多少？ 【解析】 此題最好畫圖為同學(xué)們示意：在前30厘米內(nèi)未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米內(nèi)的是：4， 2,因此 60 厘米一個(gè)周期：（1+3+5+4+2 ）X300/60=75 厘米. 【例10】右圖中，任意三個(gè)連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個(gè)數(shù)的連乘積都是891,二、 那么B代表多少？ z 【解析】 根據(jù)“任意三個(gè)連續(xù)

23、的小圓圈內(nèi)三個(gè)數(shù)的連乘積都是891 ”，可知任意一個(gè)小圓圈. U U 中的數(shù)和與它相隔 2個(gè)小圓圈的小圓圈中的數(shù)是相同的 于是：B=891 +（9 X9）=11. 【鞏固】 課外活動(dòng)時(shí)，甲、乙、丙、丁四人排成一個(gè)圓圈依次報(bào)數(shù)甲報(bào)“1 ”，乙報(bào)“ 2”，丙報(bào)“ 3”， 丁報(bào)“ 4”，這樣每人報(bào)的數(shù)總比前一個(gè)人多1問“ 34 ”是誰報(bào)的？“ 71”是誰報(bào)的？ 【解析】 根據(jù)題意，甲從“1”開始報(bào)數(shù)，一共報(bào)了 34次.因?yàn)槭?個(gè)人在報(bào)數(shù)，所以報(bào)4次就要重復(fù)一遍， 也就是說是以4為一個(gè)周期重復(fù)的.34里面有8個(gè)周期還余2次，所以“ 34”應(yīng)是重復(fù)8遍以后 第二個(gè)人報(bào)的，即乙報(bào)的.71,4=173，所以

24、“ 71”應(yīng)是第三個(gè)人報(bào)的，即丙報(bào)的. 【例11】實(shí)驗(yàn)室里有一只特別的鐘，一圈共有20個(gè)格.每過7分鐘，指針跳一次， 每跳一次就要跳過9個(gè)格，今天早晨8點(diǎn)整的時(shí)候，指針恰好從0跳到9， 問：昨天晚上8點(diǎn)整的時(shí)候指針指著幾？ 【解析】 昨晚8點(diǎn)至今早8點(diǎn)，共經(jīng)歷60 12=720（分鐘），7207=102|6，說明從今早 8點(diǎn)整起，7 分鐘，7分鐘往回?cái)?shù)，昨晚8點(diǎn)后，第1次指針跳是8點(diǎn)6分，直到今早7點(diǎn)53分，指針正好 跳到“（位，指針共跳了 102次. 由于每次跳9格，所以共跳了 9 102=918（格）.每20格一圈，918 20=45|18，因此從“位 開始，往回倒45圈，還要倒回18格，

25、正是昨晚8點(diǎn)時(shí)指針?biāo)柑帲?0-18 = 2，因此昨晚8點(diǎn)整 時(shí)指針正指著2. 【鞏固】有A、B、C三個(gè)蜂鳴器，每次持續(xù)鳴叫的時(shí)間比例是3:4:5 .每個(gè)蜂鳴 器每次鳴叫完后停8秒鐘又開始鳴叫.最初三個(gè)蜂鳴器同時(shí)開始鳴叫，14分 鐘后第二次同時(shí)開始鳴叫，此時(shí) B蜂鳴器已是第43次鳴叫了.問：最初同 時(shí)開始鳴叫后的多少秒 A與C第一次同時(shí)結(jié)束鳴叫？ 【解析】14分鐘即14 60 =840秒，根據(jù)題意可知在 840秒內(nèi)B蜂鳴器已經(jīng)鳴叫了 42次，也停了 42次， 那么B蜂鳴器每一次鳴叫加停止的時(shí)間為84042=20秒，所以B蜂鳴器每次鳴叫持續(xù)的時(shí)間為： 20 -8 =12秒，那么A蜂鳴器每次鳴叫持

26、續(xù) 9秒，C蜂鳴器每次鳴叫持續(xù) 15秒， 則A、C兩個(gè)蜂鳴器每次鳴叫加停止的時(shí)間分別為9 17秒和15 23秒， 由于17,23卜391，所以經(jīng)過391秒之后A與C要第二次同時(shí)開始鳴叫，由于在此時(shí)A與C都停止 鳴叫了 8秒，所以A與C第一次同時(shí)結(jié)束鳴叫是在最初開始鳴叫之后的第391-8=383秒. 【例12】 有一個(gè)111位數(shù)，各位數(shù)字都是 1，這個(gè)數(shù)除以6，余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾？ 【解析】我們可以用列表的方法尋求周期. 被除數(shù)中“ 1的個(gè)數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 除以6后余數(shù)的末位數(shù)字 1 5 3 1 5 3 1 除以6后商的末位數(shù)字 0 1 8 5 1 8 5 通過表格我們可以

27、發(fā)現(xiàn)，余數(shù)岀現(xiàn)的周期為3 （1, 5, 3）;第1個(gè)“上相對應(yīng)的商為“ 0”從第 二個(gè)“開始，商的末位數(shù)字的周期為3（ 1，8，5） 因?yàn)?11 “ 3 = 37，所以這個(gè)數(shù)除以 6后余數(shù)的末位數(shù)字是3; 因?yàn)椋?11-1）3=362,所以這個(gè)數(shù)除以 6后商的末位數(shù)字是 8 . 【鞏固】 有一個(gè)1111位數(shù)，各位數(shù)字都是 1，這個(gè)數(shù)除以6,余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾？ 【解析】 余數(shù)岀現(xiàn)的周期為 3 （1，5, 3）;第1個(gè)“1”上相對應(yīng)的商為“ 0”，從第二個(gè)“ 1”開始，商的 末位數(shù)字的周期為 3 （1, 8 , 5）,因?yàn)?111 3 =3701,所以這個(gè)數(shù)除以 6后余數(shù)的末位數(shù)字是 1

28、 ;因?yàn)椋?111 -1嚴(yán)3 =370,所以這個(gè)數(shù)除以 6后商的末尾數(shù)字是 5. 【例13】求28128 -2929的個(gè)位數(shù)字. 【解析】由128-4 = 32知，28128的個(gè)位數(shù)與84的個(gè)位數(shù)相同，等于6。由29- 2 = 141知，29的 1 個(gè)位數(shù)與9的個(gè)位數(shù)相同，等于9.因?yàn)?V 9,在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為16 9 = 7. 【鞏固】算式（367367 762762） 123123的得數(shù)的尾數(shù)是幾？ 【解析】 這是一道很經(jīng)典的題目，分別找規(guī)律，我們只看個(gè)位數(shù)就夠了： 7 : 7, 9, 3 , 1 ，367/4=91 3，個(gè)位數(shù)是3 ; 2 : 2, 4, 8 ,

29、6 ，762/4=190 2，個(gè)位數(shù)是4 ; 3 : 3, 9, 7 , 1 ，123/4=30 3，個(gè)位數(shù)是7 ; 因此個(gè)位數(shù)：（3+4 ）X7=49 . 板塊三、日期中的周期問題 【例14】陽歷1978年1月1日是星期日，陽歷 2000年1月1日是星期幾? 【解析】 每四年有一個(gè)閏年，閏年的年份被 4整除，所以從1978年至1999年共有17個(gè)平年，5個(gè)閏 年，由此可以算出總天數(shù)，用總天數(shù)除以7,余1是星期一，余2是星期二，依次類推 365 17 366 5 =8035 （天），8035-7 =1147 （星期）6 （天），所以，陽歷 2000 年 1 月1日是星期六. 【鞏固】1999年

30、的元旦是星期五，那么據(jù)此你知道2005年的元旦是星期幾嗎？ 【解析】00、04 是閏年，01、02、03、05 是平年，一共度過了： 365 X6 + 2=2192 （天），2192 -7=313 - 1， 2005年的元旦是星期六 【鞏固】 小童的生日是 6月27日，這一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期幾呢？ 【解析】 從日歷上可以看到，每個(gè)星期有7天，就是以7天為一個(gè)周期不斷地重復(fù).6月1日是星期六，那 么再過7天，即6月8日，還是星期六；如果再過 14天，即6月15日，還是星期六，所以要知道 6月27日是星期幾，首先要求岀 6月27日是6月1日后的第幾天，27-1 =26 （天）；

31、因?yàn)槊總€(gè) 星期都是7天，也就是周期為 7,所以26 7 =3 （星期）5 （天）這樣，從 6月1日開始經(jīng)過 3個(gè)星期，最后一天是星期六，從這最后一天再過5天就是星期四. 【鞏固】今天是星期三，那么從明天起第365天是星期幾？ 【解析】 題中所說的第365天，不包括今天在內(nèi)，是說從今天之后的第 365天” 365“7=52 （星期）1 （天），所以，從明天起，至燼365天是星期三. 【鞏固】2002年的6月1日是星期六，那么這一年的10月1日是星期幾呢？ 【解析】我們只要算出6月1日到10月1日要經(jīng)過多少天，然后按照7天為一個(gè)周期，運(yùn)用周期變化 規(guī)律解答由于6月1日與10月1日這兩個(gè)日子不在同一

32、個(gè)月里，就要考慮經(jīng)過月份是什么 月？ 一共有多少天？因?yàn)?6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，所以6月1 日到10月1日要經(jīng)過的天數(shù)：30 31 31 30 123 （天），123 7 =17-4，這個(gè)周期從 周六開始，那么第 4天正好是星期二. 【鞏固】2008年3月3號是星期一，算一算 2008年8月8號奧運(yùn)會(huì)開幕是星期幾？ 【解析】 首先我們應(yīng)該算岀 2008年3月3號到8月8號一共有多少天，（31 - 2廠30 31 30 31 8 = 159 （天）按照7天為一個(gè)周期，159亠7 =225,這個(gè)周期的第一天是星期一，那么第五天就應(yīng)該 是星期五，所以 2008年8月

33、8號奧運(yùn)會(huì)開幕是星期五. 【鞏固】2008年的 六一”兒童節(jié)是星期日2008年的 十一”是星期幾？ 【解析】30 31 31 *30 *1=123（天）123“7=174,這個(gè)周期從周日開始，那么第4天正好是星期三. 【鞏固】1998年元旦是星期五，1999年元旦是星期幾？ 2000年元旦是星期幾？ 2001年元旦是星期幾？ 【解析】1998年是平年，1998年元旦到1999年元旦共365天.365 7 = 52|川）1，即1998年元旦到1999 年元旦要經(jīng)過 52個(gè)星期又I天，1998年元旦是星期五，經(jīng)過 52個(gè)星期還是星期五，再經(jīng)過 1 天便是星期六，因此I999年元旦是星期六.1999

34、年元旦到2000年元旦也是365天，也要經(jīng) 過52周又I天，故2000年元旦是星期日.因?yàn)?2000年是閏年，2月份有29天，故2000年 元旦到2001年元旦共366天，366亠7 =52|川）2，2000年元旦是星期日，經(jīng)過52周還是星 期日，再過2天便是星期二，即 2001年元旦是星期二. 【鞏固】 圖中是2002年5月份日歷表該月 8號是星期幾？該年 6月I日是星期幾？該年 I 0月1日 是星期幾？2004年5月I日是星期幾？ 【解析】一個(gè)星期有7天，因此7天為一個(gè)周期從表中我們可以看岀I號7號是一個(gè)周期，1號是第一 個(gè)循環(huán)的第一天，7號是第一個(gè)循環(huán)的最后一天，8號是第二個(gè)循環(huán)的第一天

35、，計(jì)算天數(shù)時(shí)為了方 便，我們可以采取“算頭不算尾”或“算尾不算頭”的方法在算該年6月1日、10月1日、2004 年5月1日是星期幾時(shí)，要注意應(yīng)準(zhǔn)確地算岀各是經(jīng)過了多少天，這其中不要忘記 2004年是閏年， 共有366天. 該月的8號是星期三. 從5月1日到5月31日共31天，31 7 =4| |川|3，所以6月1日是星期六從 5月1日到9月 30日共I53天.1537 =21|川6，所以10月1日是星期二. 從2002年的5月1日到2004年的4月30日共731天.731 7 = 104|川“3，所以2004年5月1 日是星期六. 【例15】小區(qū)里的李奶奶腿腳不方便，方方、圓圓、長長三名同學(xué)做

36、好事，每天早晨輪流為李奶奶取 牛奶方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期幾？ 【解析】21天內(nèi)，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶為一個(gè)周期.100-7=14 2，所以方方第100次取奶是星期四. 【鞏固】 甲、乙、丙、丁四位醫(yī)生依次每天輪流到農(nóng)村衛(wèi)生所義診.甲第30次義診是星期三，那么當(dāng)丙首 次在周日義診時(shí)，丁醫(yī)生已經(jīng)下鄉(xiāng)義診幾次了？ 【解析】 甲第30次義診是在總次數(shù)的第 4 X29+1=117（次），117 -7=165，從周三往前數(shù) 5天，由 周期性知甲第一次義診時(shí)間是在星期六，甲前7次義診分別是星期六、三、日、四、一、五、二. 丙在周日義診是甲周五義診

37、之后的兩天，所以那是丙第6次去義診.由于丁在丙后一天義診，所以 他已經(jīng)去過5次. 【例16】在某個(gè)月中剛好有 3個(gè)星期天的日期是偶數(shù)（雙數(shù)），則這個(gè)月的5日是星期幾？ 【解析】一個(gè)星期有7天，注意7是奇數(shù)（單數(shù)），所以任意兩個(gè)相繼星期天的日數(shù)奇偶性不同于是在 每個(gè)月從I日到28日這28天中，有28“7 =4個(gè)星期天，且其中有兩個(gè)星期天的日期是偶數(shù)， 從而題中第3個(gè)日期為偶數(shù)的星期天必為30日.由此可以推知，這個(gè)月的第1個(gè)星期天是 30一4 7=2日，那么，5日為星期三. 所以這個(gè)月的5日是星期三. 【鞏固】 已知某月中，星期二的天數(shù)比星期三的天數(shù)多，而星期一的天數(shù)比星期日的天數(shù)多，那么這個(gè)月

38、的5號是星期幾？ 【解析】 這道題表面看無從下手.實(shí)際上本題暗藏著一個(gè)重要條件：在一個(gè)月內(nèi)，無論是星期幾，它的天數(shù) 只能是4或5,根據(jù)這個(gè)知識點(diǎn)，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是 4天，用列 表法可以得到答案. 所以這個(gè)月的5號是星期五. 【鞏固】一個(gè)月最多有5個(gè)星期日，在一年的 12個(gè)月中，有5個(gè)星期日的月份最多有幾個(gè)月？ 【解析】1月1日是星期日，全年就有 53個(gè)星期日。每月至少有 4個(gè)星期日，53-4 X12=5，多岀5個(gè)星 期日，在5個(gè)月中即最多有 5個(gè)月有5個(gè)星期日. Mm匹課后練習(xí) 練習(xí)1.這樣的一排圖形中第87個(gè)是什么圖形，在 87個(gè)圖形中一共 有多少個(gè)五角星？ 【解析】87 (2 ,)= 172 第87個(gè)圖形是圓形.17 2 1 =35 (個(gè)) 練習(xí)2.流水線上給小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅、再4個(gè)黃、再3個(gè)綠、在2個(gè)黑、再1個(gè)白，然后 又依次是5紅、4黃、3綠、2黑、1白如此繼續(xù)涂下去，到第 2003個(gè)小球該涂什么顏色？ 【解析