立體幾何中的有關(guān)計(jì)算

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講14立體幾何中的有關(guān)計(jì)算題型預(yù)測(cè)立體幾何中的計(jì)算主要是求角和距離.其中二面角的平面角和點(diǎn)到平面的距離(體積)常常作為考查的重點(diǎn).范例選講BEDC1C例 1 長(zhǎng)方體 ABCD -AB1C1D1 中，AB=BC=1 , AA1=2 , E是側(cè)棱BB1中點(diǎn).(1) 求直線AA1與平面A1D1E所成角的大?。?2) 求二面角E Aq B的大??；(3) 求三棱錐A6D1E的體積.講解：(1)要求線面所成角，首先需要找到這個(gè)角，為此，我們應(yīng)該先作出面A1D1E的一條垂線.不難發(fā)現(xiàn)，AE正為所求.由長(zhǎng)方體 ABC D A1B1C1D1知：D1A _面ABBd , 又 AE 面ABBA

2、,所以，D1A- AE .在矩形ABB1A1中，E為BB1中點(diǎn)且AA2 , AB=1，所以，AE=A1E=“2，所以,A AE為等腰直角三角形，EA _ AE .所以，AE 面 A1D1E .所以，.A1AE就是直線AA1與平面A1D1E所成的角，為45 .(2)要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一個(gè)面的一條垂線，則可 利用三垂線定理(或逆定理)將其作出.C1C注意至U AB丄面RB C C 所以，面A B _C面B1B G ,（所以，只需在面B1BCC1內(nèi)過(guò)點(diǎn)EEF _ BC1 于 F,貝U EF _ 面 ABC1 .過(guò)F作FG AC1于G,連EG,UEGF就是二E ACi B

3、的平面角.在.EBC1 中，EF2S EBCiEB C1B15BCiBCi所以，CiF = .CiE2 -EF235在：ABCi 中，F(xiàn)G 二 GF sin FCiCiFACii0在 Rt EFG 中，tan . EGF 二 EF 6FG 3所以，二面角E - A。-B的平面角的大小為arctan丄6 .3（3）要求三棱錐A-CiDiE的體積，注意到（2）中已經(jīng)求出了點(diǎn)E到平面ACiDi的距離EF.所以,iiiVaDiE iEZDi SACiDi EF =ADi CDi EF另一方面，也可以利用等積轉(zhuǎn)化.因?yàn)锳B/ DiCi，所以，AB/面CiDiE .所以，點(diǎn)A到平面CiDiE的距離就等于點(diǎn)

4、B到平面CiDiE的距離.所以,iiiVa_C1 DiE = Vb -CiDiE = Vd_EBC1S EBCi DCiEB Ci Bi DiCi 二i ii iiicicc366點(diǎn)評(píng)：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形.禾U用三垂線定理作出二 面角的平面角是很常用的方法.例2 如圖：三棱臺(tái)ABC - A&G中，側(cè)棱CCi面 ABC， ACB =i20， AC = a, BCBO =a，直線ABi與CCi所成的角等于(i)(2)講解等于60求二面角Bi -AC -B的大小;B求點(diǎn)B到平面BiAC的距離.無(wú)論從已知（直線ABi與CCi所成的角）的角度還是從所求（二面角CiABi AC

5、 B )的角度，過(guò)Bi作CCi的平行線都是當(dāng)然之舉.在平面B1C1CB中，過(guò)B1作B1D /C1C交CB于點(diǎn)D ,連接AD，貝卜ADB 1就是直線AB1 與CCi所成的角.所以，.ADBi =60 .又因?yàn)镃C底面ABC，所以，B1D丄底面ABC .在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DE _ AC于E，連耳E ,則B“E _ AC，所以，.B“ED就是二 面角Bi 一 AC 一 B的平面角.在：ACD 中，AD 二.AC2 CD2 2AC CDcos120 = 3a .在 RL ABiD 中,B| D = AD cot 60 = a .在Rt CED中，亠V3DE =CE sin60a .2在 RL EB

6、iD 中,a2，3tanED =、33a2所以，二面角B2(3i - AC -B的平面角的大小為：arctan3(2)由D為BC中點(diǎn)，故點(diǎn)B到平面Bi AC的距離等于點(diǎn)D到平面B“AC的距離的2倍，作 DH _BjE 于 H .由(1)知 AC _ 面BiED，所以，AC _ DH，所以，DH _ 面BiAC， 所以，DH就是點(diǎn)D到平面BiAC的距離.在 Rt ：EBiD 中, DHDE DBi = g .EBi DE2 + DBi27所以，點(diǎn)B到平面BiAC的距離等于 乙fa .另外，我們也可以用體積法求出這個(gè)距離.設(shè)點(diǎn)B到平面BiAC的距離為h .則由 V B iCB = Vb CBiii

7、 fiVB =3Sabc BiD =3 2ac bc sin ACB BiD 二 611I 22 v 72 -/ 口S acb1AC B1EAC . ED B1Da 可得:ACB1,3V ACB1h-S.ACBt3品；62厲a .,7a27所以，點(diǎn)B到平面B1AC的距離等于 冷Ga .點(diǎn)評(píng) 等積變形是求體積和求距離時(shí)常用的方法.咼考真題1.( 1998年全國(guó)高考)已知斜三棱柱 ABC- ABC的側(cè)面AACC與底面ABC垂直,/ ABC= 90 ,BC= 2,AC= 2.3且 AA丄AC,AA = AC. 求側(cè)棱AA與底面ABC所成角的大??； 求側(cè)面AABB與底面ABC所成二面角的大??； 求頂點(diǎn)C到側(cè)面AABB的距離.2 .( 1999年全國(guó)高考)如圖,已知四棱柱 ABCABCD,點(diǎn)E在棱DD上,截面EAC/ DB,且面EAC與底DA所成的角為45AB = a求截面EAC的面積； 求異面直線AB與AC之間的距離；(3)求三棱錐B - EAC的體積.3. (2001年全國(guó)高考)如圖：在底面是直角梯形的四 S-ABCD 中，DSA=AB=BC=1 ,/ ABC=90 , SA 丄面 ABCD ,