曲線積分與曲面積分知識點[應用材料]

1、第十章 曲線積分與曲面積分一、 一、 重點兩類曲面積分及兩類曲面積分的計算和格林公式、高斯公式的應用二、 二、 難點對曲面?zhèn)鹊睦斫?，把對坐標的曲面積分化成二重積分，利用格林公式求非閉曲線上的第二類曲線積分，及利用高斯公式計算非閉曲面上的第二類曲面積分。三、 三、 內(nèi)容提要1 1 曲線（面）積分的定義：（1） （1） 第一類曲線積分（存在時）表示第i個小弧段的長度，（）是上的任一點小弧段的最大長度。實際意義： 當f(x,y)表示L的線密度時，表示L的質(zhì)量；當f(x,y) 1時，表示L的弧長，當f(x,y)表示位于L上的柱面在點（x,y）處的高時，表示此柱面的面積。（2） （2） 第二類曲線積分

2、(存在時)實際意義：設變力=P(x,y) +Q(x,y) 將質(zhì)點從點A沿曲線L移動到B點，則作的功為：，其中=（dx,dy）事實上，分別是在沿X軸方向及Y軸方向所作的功。（3） （3） 第一類曲面積分 (存在時)表示第i個小塊曲面的面積，（）為上的任一點，是n塊小曲面的最大直徑。 實際意義：當f(x,y，z)表示曲面上點（x,y,z）處的面密度時，表示曲面的質(zhì)量，當f(x,y,z) 1時，表示曲面的面積。（4） （4） 第二類曲面積分（存在時）其中，分別表示將任意分為n塊小曲面后第I塊在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz，dzdx，dxdy分別表示這三種投影元素; （）為上的任一點

3、，是n塊小曲面的最大直徑。實際意義：設變力=P(x,y，z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) 為通過曲面的流體（穩(wěn)定流動且不可壓縮）在上的點（x,y,z）處的速度。則 表示在單位時間內(nèi)從的一側(cè)流向指定的另一側(cè)的流量。 2、曲線（面）積分的性質(zhì)兩類積分均有與重積分類似的性質(zhì)（1） （1） 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可提到積分號的外面（2） （2） 對積分弧段（積分曲面）都具有可加性（3） （3） 代數(shù)和的積分等與積分的代數(shù)和第二類曲線（面）積分有下面的特性，即第二類曲線（面）積分與曲線（面）方向（側(cè)）有關(guān)=3、曲線（面）積分的計算（1） （1） 曲線積分的計算a、 a、 依據(jù)積分曲線L的參數(shù)

4、方程，將被積表達式中的變量用參數(shù)表示b、 b、 第一（二）類曲線積分化為定積分時用參數(shù)的最小值（起點處的參數(shù)值）作為積分下限（2） （2） 曲面積分的計算方法1、 1、 第一類曲面積分的計算a 將積分曲面投向使投影面積非零的坐標面b 將的方程先化成為投影面上兩變量的顯函數(shù)，再將此顯函數(shù)代替被積表達式中的另一變量。C 將ds換成投影面上用直角坐標系中面積元素表示的曲面面積元素2、 2、 第二類曲面積分的計算a 將積分曲面投向指定的坐標面b 同1c 依的指定的側(cè)決定二重積分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1） （1） 格林公式其中P、Q在閉區(qū)域D上有一階連續(xù)偏導數(shù)，L是D的

5、正向邊界曲線。若閉區(qū)域D為復連通閉區(qū)域，P、Q在D上有一階連續(xù)偏導數(shù)，則=其中（=1，2n）均是D的正向邊界曲線。（2） （2） 高斯公式=）dxdydz其中P、Q、R在閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導數(shù)，是Q的邊界曲面的外側(cè)（3） （3） 斯托克斯公式=其中P、Q、R在包含曲面在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，是以為邊界的分片光滑曲面，的正向與的側(cè)向符合右手規(guī)則。5、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件設P、Q在開單連同區(qū)域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，A、B為G內(nèi)任意兩點，則以下命題等價：（1）與路徑L無關(guān)（2）對于G內(nèi)任意閉曲線L, (3) 在G內(nèi)處處成立（4）在G內(nèi)，Pdx+Qdy為某函數(shù)U(x,y)的全微

6、分6、通量與散度、環(huán)流量與旋度設向量=P(x,y，z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) 則通量（或流量）= 其中 =（cos, cos, cos）為上點（x,y,z）處的單位法向量。散度 div = + 對坐標的曲面積分與的形狀無關(guān)的充要條件是散度為零。旋度 環(huán)流量 向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量為=四、 四、 難點解析本章中對在xoy面上的投影（為（=其中為有向曲面上各點處的法向量與Z軸的夾角余弦。為在xoy上投影區(qū)域的面積。此規(guī)定直接決定了將一個第二類曲面積分化為二重積分時正負號的選擇，此規(guī)定貌似復雜，但其最基本的思想?yún)s非常簡單：即基于用正負數(shù)來表示具有相反意義的量。比如，當溫度高于

7、零度時用正數(shù)表示，當溫度低于零度使用負數(shù)表示。從引進第二類曲線積分的例子看是為了求穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體流向指定側(cè)的流量。如果我們用正數(shù)來表示流體流向指定側(cè)的流量，很自然，當流體流向指定側(cè)的反向時用負數(shù)表示就顯得合情合理了。因此上面的規(guī)定就顯得非常自然合理了。五、 五、 典型例題例1、計算 ：圓周 解：由輪換對成性，得 =例2、設L：為成平面區(qū)域D,計算解：（格林公式）=例3、求，其中為曲面的外側(cè)。解法一、將分為上半球面：和下半球面：解法二、利用高斯公式=）dxdydz=0 （對稱性）例4、求曲線y=及所圍成的圖形的面積。解：求曲線的交點B(1，1)，C(,)法一、定積分法 則所求面積為A=

8、+=法二、二重積分法 設所給曲線圍成的閉區(qū)域為D.則A=+=+=法三、曲線積分法 設所給曲線圍成的圖形的邊界曲線為L，則A=+=+（）=例5、計算，L：從點A(-R,0)到點B(R,0)的上半圓周。解：法一 用曲線積分與路徑無關(guān)因為在xoy面上恒成立，且及在xoy面上連續(xù)，所以曲線積分與路徑無關(guān)。于是=0法二、用曲線積分與路徑無關(guān)，則=0 （其中C(0,R)）法三、用曲線積分與路徑無關(guān)，則=0法四、用格林公式因為且及在閉曲線ACBA上圍成的閉區(qū)域D上連續(xù)。故由格林公式得=0于是 =0=0法五、用定積分計算，則L的參數(shù)方程為，L的起點A對應與，綜點對應于，于是=0例六、計算對坐標的曲面積分其中是

9、的下側(cè)解：設為平面Z=h被錐面所圍成部分的上側(cè)。則=dxdydz=）dxdydz=0又=0所以 原式=0-0=0六曲線積分與曲面積分自測題一、 一、填空：（45分）1、其中L為正向星形線2、L為xoy面內(nèi)直線x=a上的一段，則 3、設= + + ，則div= 4、=其中：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所圍成的立體的表面外側(cè)。二、 二、選擇題（45分）1、 1、 設=P(x,y) +Q(x,y) ，（x,y）D,且P、Q在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，又L：是D內(nèi)任一曲線，則以下4個命題中，錯誤的是A 若與路徑無關(guān)，則在D內(nèi)必有B 若與路徑無關(guān)，則在D內(nèi)必有單值函數(shù)u(x,y)

10、，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC 若在D內(nèi)，則必有與路徑無關(guān)D 若對D內(nèi)有一必曲線C，恒有，則與路徑無關(guān)2、 2、 已知為某函數(shù)的全微分，則a等于A - 1 ; B 0; C 1; D 2;3、 3、 設曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)得到數(shù)，且=0，則等于A ; B ; C ; D 1;4、設空間區(qū)域由曲面平面z=0圍成，其中a為正常數(shù)，記的表面外側(cè)為S, 的體積為V，則A 0 ; B V; C 2V; D 3V;三、 三、計算（610）1、 1、 計算I=,其中為圓周：2、 2、 計算曲線積分其中L為圓周，L的方向為逆時針方向。3、 3、 計算其中L是在圓周上點（0，0）到點（1，1）