用微分法證明不等式畢業(yè)論文

1、用微分法證明不等式目 錄緒論.11 引言.12 用微分法證明不等式.2 2.1用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.2 2.2用微分中值定理證明不等式.4 2.3用泰勒公式證明不等式.5 2.4用求極值的方法證明不等式.6 2.5用單調(diào)極限的方法證明不等式.8 2.6用函數(shù)的凹凸性證明不等式.9參考文獻(xiàn).12致謝.13 用微分法證明不等式 摘要本文從微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性定理、極值判定定理等方面討論了不等式的證明問(wèn)題, 歸納和總結(jié)了利用微分法證明不等式的方法和技巧,使得不等式的證明變得簡(jiǎn)單.【關(guān)鍵詞】 微分法 微分中值定理 函數(shù)的單調(diào)性 不等式 proving inequalities by diff

2、erential method abstract inequalities are proved by differential mean value theorem, monotonicity theorem, extreme value theorem and many other methods using higher mathematics in this paper. it concludes and summarizes the methods and skills of using differential method to prove inequality, then th

3、e inequality becomes simple.【key words】 differentiation the differential mean value theorem the monotonicity of the function inequality 緒論不等式是初等數(shù)學(xué)中比較重要的成，其中不等式的證明就突出了它的重要性. 在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常需要用到不等式，不等式是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具, 比如關(guān)于集合的運(yùn)算(交集、并集、補(bǔ)集)需要不等式，在三角函數(shù)中解關(guān)于三角不等式, 函數(shù)的學(xué)習(xí)中需要應(yīng)用有關(guān)不等式的知識(shí)等.不等式與高中階段的諸多知識(shí)都是相關(guān)的, 因此這一部分知識(shí)顯得尤

4、為重要. 不等式的重要性表現(xiàn)在另一方面就是求最值問(wèn)題, 高中階段對(duì)于求問(wèn)題的最值是經(jīng)常見(jiàn)到的, 在教學(xué)中也是教學(xué)重點(diǎn), 常用的求問(wèn)題最值的常規(guī)方法不多, 其中利用不等式的知識(shí)求問(wèn)題的最值是一種重要方法.在微積分課程中, 不等式是證明許多定理與公式的工具. 不等式表達(dá)了許多微積分問(wèn)題的結(jié)果, 而微積分中的一些定理和公式又可導(dǎo)出許多不等式. 證明不等式的的方法也有很多種，除了常見(jiàn)的一些初等方法外，還可利用高等數(shù)學(xué)工具來(lái)證明不等式，利用高等數(shù)學(xué)中的微分思想可以使不等式的證法思路變得簡(jiǎn)單，技巧性降低. 文獻(xiàn)利用微分法證明不等式，是根據(jù)不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)，主要討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定

5、理等把不等式的證明轉(zhuǎn)化為用微分法來(lái)研究函數(shù)的形態(tài). 不等式是數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到而又比較困難的問(wèn)題之一. 而本文用微分法討論不等式的證明, 討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理、泰勒公式、求極值的方法、單調(diào)極限的方法以及函數(shù)的凹凸性這六個(gè)方面來(lái)證明不等式. 1 引言 引理16 (微分中值定理)若函數(shù)滿足如下條件: (1)在閉區(qū)間上連續(xù); (2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得 引理26 (函數(shù)的單調(diào)性定理)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 則在區(qū)間遞增(遞減)的充要條件是(或). 若時(shí),單調(diào)遞增(或者嚴(yán)格單調(diào)遞增)，且時(shí), , 則(當(dāng)時(shí))或(當(dāng)時(shí)). 引理36 (泰勒公式)若函數(shù)在上存在直至階連續(xù)

6、導(dǎo)函數(shù), 在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù), 則對(duì)任意給定的, 至少存在一點(diǎn), 使得: 引理46(詹森不等式)若為上的凸函數(shù), 則對(duì)任意, 有 如果為上的凹函數(shù), 則 2 用微分法證明不等式2.1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式, 首先根據(jù)題設(shè)條件及所證不等式, 構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù), 并確定區(qū)間；然后利用導(dǎo)數(shù)確定在上的單調(diào)性；最后根據(jù)的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式. 例2.1 設(shè)為正常數(shù), 試證: 如果, 則. 分析 將要證明的結(jié)果兩邊同時(shí)除以得 , 于是構(gòu)造函數(shù), 只要證明在區(qū)間上的最大值小于或者等于0即可. 證明 設(shè)函數(shù), 則 (1)當(dāng)時(shí), , 即令得兩邊再同時(shí)乘以得 因此當(dāng)時(shí), (2)

7、當(dāng)時(shí), 有那么 當(dāng)時(shí), 則由引理2得單調(diào)遞增,于是, 同樣由引理2可得單調(diào)遞減, 則, 因此在區(qū)間上恒成立.令得等式兩邊同時(shí)乘以得綜上所述當(dāng),時(shí), 2.2 用微分中值定理證明不等式 微分中值定理適合證明函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的不等式，若觀察不等式出現(xiàn)在區(qū)間上的函數(shù)值之差及的表達(dá)式，則微分中值定理是我們的選擇，應(yīng)用中值定理證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和閉區(qū)間,使在上滿足中值定理的條件. 例2.2 當(dāng)時(shí), 證明 分析 不等式兩端的式子中都是次冪, 而不等式的中間卻是次冪, 因此考慮到應(yīng)用微分中值定理. 證明 令, 則, 從而對(duì)在區(qū)間, 應(yīng)用微分中值定理, 即由引理1得 因?yàn)?,因此，, 即 ,將分

8、別用代入得 將上面前個(gè)式子的左邊相加得 所以將上面前個(gè)式子的右邊相加得綜上得 2.3用泰勒公式證明不等式 當(dāng)涉及到二階或更高階導(dǎo)數(shù)的命題時(shí)，可考慮用泰勒公式證明不等式.其關(guān)鍵是選擇在恰當(dāng)?shù)奶厥恻c(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)值的點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、最值點(diǎn)、中間點(diǎn)、平均值點(diǎn)）展開(kāi). 例2.3 若在上二次連續(xù)可微, , 證明: , 其中 分析 要證的不等式左邊的被積函數(shù)的具體形式未知, 而不等式的右邊出現(xiàn)了的形式, 題目條件又給了在區(qū)間上二次可微, 再結(jié)合, 應(yīng)該利用在的泰勒公式進(jìn)行證明. 證明 函數(shù)在的泰勒公式即由引理3為 ,在與之間. 所以 2.4用求極值的方法證明不等式 在不等式的證明中, 我們常常構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造好后

9、，如果無(wú)法得到或，即當(dāng)函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí), 可以考慮用極值的方法證明.例2.4 設(shè)為自然數(shù), 試證 (當(dāng)時(shí))分析 要證明, 只需求函數(shù)的極值, 證明 針對(duì)本題而言, 原式等價(jià)于, 因此只須證明當(dāng)時(shí), 恒成立. 證明 設(shè), 則 設(shè)方程的根為, 即那么 通過(guò)觀察的形式得：極值的可能點(diǎn)為,. 那么當(dāng)時(shí), 的最小值只能在,中取到.而 所以 綜合上述 當(dāng)時(shí)， 2.5用單調(diào)極限的方法證明不等式 利用單調(diào)極限來(lái)證明不等式主要的是求函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值，然后根據(jù)單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判斷. 利用引理2的引申可以來(lái)證明一些不等式，從而使證明過(guò)程簡(jiǎn)潔易懂. 例2.5 證明: 當(dāng), 時(shí)，有 分析 當(dāng)或時(shí), 不等式顯然

10、成立.只須證明,的情況, 因此只須證明時(shí), 有 證明 (1)當(dāng), , 時(shí),令,那么 令, 則對(duì)于應(yīng)用微分中值定理得當(dāng)時(shí), 存在一點(diǎn), 且, 使得當(dāng)時(shí), 存在一點(diǎn), 且, 使得于是 即在,時(shí)單調(diào)遞增,又 即 時(shí), 從而當(dāng), , 時(shí), (2)當(dāng)時(shí), (3)當(dāng)時(shí), 綜上所述 當(dāng), 時(shí), 2.6用函數(shù)的凹凸性證明不等式利用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明不等式就是根據(jù)函數(shù)凹凸性定義中的不等式關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)凸函數(shù)或凹函數(shù)來(lái)證明，由定義及判別法有在某區(qū)間上(二階可導(dǎo))為凸(凹)函數(shù) 則有下列不等式成立 ()由此可證明一些不等式，特別是含有兩個(gè)或兩個(gè)以上變?cè)? 例2.6 設(shè), 證明 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 分析 將不

11、等式各部分同時(shí)取對(duì)數(shù)，這時(shí)左邊的不等式可變?yōu)?從而可以通過(guò)函數(shù)為上的凸函數(shù)再結(jié)合詹森不等式得上式.另一方面，通過(guò)將不等式的各部分同時(shí)取對(duì)數(shù)可將右邊的不等式變?yōu)槟敲纯梢酝ㄟ^(guò)函數(shù)為上的凹函數(shù)再結(jié)合詹森不等式得上式 證明 (1)設(shè), 則, 從而, 即表明為凸函數(shù),由引理4得 當(dāng)時(shí), 即 那么 從而 兩邊同時(shí)以為底得 從而左邊不等式得證. (2)設(shè), 由得為凹函數(shù), 那么由引理4得當(dāng)時(shí), 即 從而 兩邊同時(shí)以為底得 從而右邊不等式得證.綜合(1)(2)得當(dāng)時(shí),參考文獻(xiàn)1沈家書(shū).淺談?dòng)梦⒎址ㄗC明不等式j(luò).教學(xué)通訊(理科版), 1983(11):21-62. 2劉敬敏.用微分法證明不等式j(luò).河南科學(xué), 2

12、008(10):1177-1180.3夏必臘,田玉敏,許道軍.利用微分法證明不等式j(luò).佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2012(1):120.4張錦來(lái).微分法在不等式證明中的應(yīng)用j.新鄉(xiāng)教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2008(1):102-103.5趙向會(huì).淺談不等式的證明方法j.張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2007(1):34-35.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)m.高等教育出版社, 2001.7裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法m.高等教育出版, 2006.致謝 本文是在趙艷輝老師的悉心指導(dǎo)下完成的, 老師淵博的專(zhuān)業(yè)知識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、精益求精的工作態(tài)度、樸實(shí)無(wú)華、平易近人對(duì)我影響深遠(yuǎn), 不僅使我樹(shù)立了遠(yuǎn)大的學(xué)