多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用畢業(yè)論文

1、多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用 【摘要】 多元函數(shù)條件極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘數(shù)法、標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式符號(hào)法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法等方法在解多元函數(shù)條件極值問(wèn)題上的運(yùn)用，以及探討多元函數(shù)條件極值在證明不等式、物理學(xué)、生產(chǎn)銷(xiāo)售等問(wèn)題上的應(yīng)用.【關(guān)鍵詞】 極值；條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；梯度法；應(yīng)用the solution and application of multivariatefunction conditional extreme【abstract】the multivariate function conditional ext

2、reme value is an important part of the differential calculus. this article maninly analicys substitution method，lagrange multiplier method, substitution of standard quantum method,inequality method, quadratic equation discriminent method,gradient method and mathematical combination method in solving

3、 the multivariate function conditional extreme value. and discuss the applications of multiple function conditional extreme value in proving inequality , physics and production sales.【key words】extremum,conditional extreme value,lagrange multiplier method,gradient method, application1.引言多元函數(shù)條件極值是多元函

4、數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，它不僅在理論上有重要的應(yīng)用，而且在其它學(xué)科及有關(guān)實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，于是如何判定與求解多元函數(shù)條件極值就成為許多學(xué)者研究的問(wèn)題，雖然以前也有不少學(xué)者研究過(guò)，但多數(shù)還只是理論上的研究，實(shí)際利用方面的研究較少.如文1討論了方向?qū)?shù)法在求解多元函數(shù)條件極值上應(yīng)用，文2討論了柯西不等式在求解一些特殊的多元函數(shù)條件極值問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用.本文首先對(duì)多元函數(shù)條件極值的解題方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)，通過(guò)具體實(shí)例對(duì)各種解法進(jìn)行分析類(lèi)比，從中可以看到不同的條件極值問(wèn)題可以有不同的解題方法，其中最常用的是拉格朗日乘數(shù)法，但對(duì)有些問(wèn)題若能用一些特殊解法可以更簡(jiǎn)單.面對(duì)不同的極值問(wèn)題如何采用最佳的

5、解決方法是快速解題的關(guān)鍵.文章最后討論了如何通過(guò)條件極值解決不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷(xiāo)售等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.2.簡(jiǎn)單介紹多元函數(shù)極值與條件極值的有關(guān)概念2.1函數(shù)的極值定義2.1.1設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn)都有(或)，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)有極大值(或極小值).極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).2.2函數(shù)的條件極值定義2.2.1函數(shù)在個(gè)約束條件 下的極值稱(chēng)為條件極值.3. 多元函數(shù)普通極值存在的條件定理3.1（必要條件）若元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則有 備注：使偏導(dǎo)數(shù)都為的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).定理3.2（充分條件）設(shè)元函數(shù)在

6、附近具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且為的駐點(diǎn).那么當(dāng)二次型 正定時(shí)，為極小值；當(dāng)負(fù)定時(shí)，為極大值；當(dāng)不定時(shí)，不是極值.記，并記 ，它稱(chēng)為的階矩陣.對(duì)于二次型正負(fù)定的判斷有如下定理：定理3.3若 ，則二次型是正定的，此時(shí)為極小值；若 ，則二次型是負(fù)定的，此時(shí)為極大值.特殊地，當(dāng)時(shí)，有如下推論：推論3.1若二元函數(shù)某領(lǐng)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 令 則 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值.當(dāng)時(shí)，不能確定，需另行討論.4介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法4.1代入消元法通過(guò)一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果，將條件極值化為無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)解決一些較為簡(jiǎn)單的條件極值問(wèn)題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡(jiǎn)單的條件極值求解，

7、有些條件極值很難化為無(wú)條件極值來(lái)解決.例4.1.1求函數(shù)在條件下的極值.解 由 解得，將上式代入函數(shù)，得 解方程組 得駐點(diǎn) ， 在點(diǎn)處，所以不是極值點(diǎn)從而函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處無(wú)極值；在點(diǎn)處，又，所以為極小值點(diǎn)因而，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處有極小值極小值為.4.2拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若及有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且jacobi矩陣的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后，解方程組從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo) ，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極

8、值.定理4.2.1（充分條件） 設(shè)點(diǎn)及個(gè)常數(shù)滿足方程組 ，則當(dāng)方陣 為正定（負(fù)定）矩陣時(shí)，為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c(diǎn)，因此為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲?例4.2.1求橢球在第一卦限內(nèi)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積.解 此橢球在點(diǎn)處的切平面為 化簡(jiǎn),得 此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積 由題意可知，體積存在最小值，要使最小，則需最大；即求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最大值，其中，拉格朗日函數(shù)為由 解得;說(shuō)明：以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，但在實(shí)際解題過(guò)程中，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來(lái)快速解題，

9、如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.4.3 標(biāo)準(zhǔn)量代換法求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱(chēng)其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來(lái),這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例4.3.1設(shè),求的最小值.解 取 為標(biāo)準(zhǔn)量, 令 ,則 (為任意實(shí)數(shù)),從而有 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)成立，所以的最小值為.4.4 不等式法4.4.1利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式為，這里，且等號(hào)成立的充分條件是.例4.4.1.1 已知，求的

10、極小值.解 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，總有 ,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，等號(hào)成立.運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn)而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值.例4.4.2.1已知，求的最值.解 首先將 變形為；再設(shè) ，于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有 即： 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立；即當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，所以，.4.5 二次方程判別式符號(hào)法例4.5.1若,試求的極值.解 因?yàn)?,代入 得即 (1)這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解, 必須即 解關(guān)于的二次不等式,得: 顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求 (2)或 (3)

11、的極值.由(2)得 (4)這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須,即 解此關(guān)于的二次不等式,得 .所以 ,.把 代入(4),得再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極小值-3.也可以從(3)作類(lèi)似討論得出的極大值3和極小值-3.4.6 梯度法用梯度法求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)時(shí)組限制下的極值，方程組的解,就是所求極值問(wèn)題的可能極值點(diǎn).其中表示目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，表示條件函數(shù)的梯度向量例4.6.1 從斜邊之長(zhǎng)為的一切直角三角形中,求最大周長(zhǎng)的直角三角形.解:設(shè)兩條直角邊為,本題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的極值問(wèn)題.根據(jù)梯度法,列出方程組 進(jìn)一步求解得 容

12、易解出根據(jù)題意是唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)兩條直角邊都為時(shí),直角三角形的周長(zhǎng)最大.4.7 數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點(diǎn)到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標(biāo)的條件極值.例4.7.1 設(shè)，求的最值. 解法一 數(shù)形結(jié)合法解 設(shè)則， 即表示坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的平方的2倍顯然最大值為長(zhǎng)軸的長(zhǎng)38，最小值為 解法二 消元法解 設(shè) ，則 故當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最小值.當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若注意到 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因此：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立即 故 ，此時(shí)（2）若，設(shè)，則問(wèn)題變?yōu)榍蟮淖钪涤捎?，所以因此即最大值?8（3）若，

13、做變換，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（1）（4）若，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（2）解法四 拉格朗日乘數(shù)法解 設(shè) 令 則 若 ，則，此時(shí) ；若 ，則，或此時(shí)從該題可以看出，用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法解題過(guò)程都比較繁瑣，但通過(guò)數(shù)形結(jié)合法和消元法法都可以簡(jiǎn)捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問(wèn)題時(shí)，我們可以先分析題目的特點(diǎn)再選擇最合適的解題方法，從而提高解題效率.5. 多元函數(shù)條件極值在理論和實(shí)際中的應(yīng)用舉例多元函數(shù)條件極值在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷(xiāo)售、證券投資分析、多元統(tǒng)計(jì)分析學(xué)里判別分析和主成分分析等問(wèn)題上都有廣泛的應(yīng)用.由于本人其余學(xué)科知識(shí)和時(shí)間上的限制，不能很好地展開(kāi)條件極值在證券投資分析和多元統(tǒng)計(jì)分析上的應(yīng)用問(wèn)題，具體

14、內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)8和文獻(xiàn)9，下面只討論條件極值在不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷(xiāo)售上的應(yīng)用.5.1 不等式證明例5.1.1證明不等式：.證 令，則只需證明函數(shù)在區(qū)域上存在最小值，對(duì)于，令，得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.由一元函數(shù)取極值的第一充分判斷法，為最小值點(diǎn)，即在曲線上取得最小值，最小值.故在上，即.5.2 物理學(xué)中光的折射定律證明例5.2.1設(shè)定點(diǎn)和位于以平面分開(kāi)的不同光介質(zhì)中，從點(diǎn)射出的光線折射后到達(dá) 點(diǎn)，已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為，求需時(shí)最短的傳播方式.解 設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，（如圖），光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為，光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為待添加的隱藏文字內(nèi)容3且，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在

15、條件 下的最小值.作拉格朗日函數(shù)令 由此解得，即光線的入射角與折射角應(yīng)滿足：（光的折射定律）時(shí)光線傳播時(shí)間最短.5.3 生產(chǎn)銷(xiāo)售在生產(chǎn)和銷(xiāo)售商品的過(guò)程中，銷(xiāo)售價(jià)格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤(rùn)增加，但同時(shí)也使消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)欲望下降，造成銷(xiāo)售量下降，導(dǎo)致廠家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷(xiāo)售量、成本與售價(jià)是相互影響的.廠家要選擇合理的銷(xiāo)售價(jià)格才能獲得最大利潤(rùn).5.3.1 用條件極值得出生產(chǎn)成本最小化方案例5.3.1.1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品需要原料a和b，它們的單價(jià)分別為10元、15元，用單位原料a和單位原料b可生產(chǎn)單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低成本生產(chǎn)112單位的

16、該產(chǎn)品，問(wèn)需要多少原料a和b？【分析】由題意可知，成本函數(shù).該問(wèn)題是求成本函數(shù)在條件下的條件極值問(wèn)題，利用拉格朗日常數(shù)法計(jì)算.解 令解方程組 這是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，所以當(dāng)原料a和b的用量分別為4單位，2單位時(shí)，成本最低.5.3.2利用條件極值得出利潤(rùn)最大化方案例5.3.2.1為銷(xiāo)售產(chǎn)品作兩種方式廣告宣傳，當(dāng)宣傳費(fèi)分別為時(shí)，銷(xiāo)售量是，若銷(xiāo)售產(chǎn)品所得利潤(rùn)是銷(xiāo)量的減去廣告費(fèi)，現(xiàn)要使用廣告費(fèi)25萬(wàn)元，應(yīng)如何分配使廣告產(chǎn)生的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解 依題意，利潤(rùn)函數(shù)為且 設(shè) 令 得 依題設(shè)，存在最大利潤(rùn)，又駐點(diǎn)唯一，因此兩廣告分別投入15萬(wàn)元和10萬(wàn)元利潤(rùn)最大.例5.3.2.2 一家電視機(jī)廠在對(duì)某種型號(hào)

17、電視機(jī)的銷(xiāo)售價(jià)格決策時(shí)面對(duì)如下數(shù)據(jù)：（1）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)?shù)貙?duì)該種電視機(jī)的年需求量為100萬(wàn)臺(tái)；（2）去年該廠共售出10萬(wàn)臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為4000元；（3）僅生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)的成本為4000元；但在批量生產(chǎn)后，生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)時(shí)成本降低為每臺(tái)3000元.問(wèn)：在生產(chǎn)方式不變的情況下，每年的最優(yōu)銷(xiāo)售價(jià)格是多少？數(shù)學(xué)模型建立如下：設(shè)這種電視機(jī)的總銷(xiāo)售量為，每臺(tái)生產(chǎn)成本為，銷(xiāo)售價(jià)格為，那么廠家的利潤(rùn)為 根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售價(jià)格之間有下面的關(guān)系： 這里為市場(chǎng)的最大需求量，是價(jià)格系數(shù)（這個(gè)公式也反映出，售價(jià)越高，銷(xiāo)售量越少）.同時(shí)，生產(chǎn)部門(mén)對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的成本有如下測(cè)算： 這里是只生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，是規(guī)模

18、系數(shù)（這也反映出，產(chǎn)量越大即銷(xiāo)售量越大，成本越低）.于是，問(wèn)題化為求利潤(rùn)函數(shù) 在約束條件 下的極值問(wèn)題.作lagrange函數(shù) 就得到最優(yōu)化條件 由方程組中第二和第四式得到 ，即將第四式代入第五式得到 再由第一式知 .將所得的這三個(gè)式子代入方程組中第三式，得到 由此解得最優(yōu)價(jià)格為 只要確定了規(guī)模系數(shù)與價(jià)格系數(shù)，問(wèn)題就迎刃而解了.現(xiàn)在利用這個(gè)模型解決本段開(kāi)始提出的問(wèn)題.此時(shí)，.由于去年該廠共售出10萬(wàn)臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為4000元，因此得到 ；又由于生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)時(shí)成本就降低為每臺(tái)3000元，因此得到 .將這些數(shù)據(jù)代入的表達(dá)式，就得到今年的最優(yōu)價(jià)格應(yīng)為 （元/臺(tái)）.6. 結(jié)束語(yǔ)本文通過(guò)對(duì)多元函數(shù)條件極值的各種解法及應(yīng)用的介紹，我們知道對(duì)于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，除了拉格朗日乘數(shù)法和梯度法外，其余條件極值解法均為初等數(shù)學(xué)的方法，掌握好初等數(shù)學(xué)的方法求解多元函數(shù)條件極值有時(shí)候會(huì)更簡(jiǎn)單，但其使用的過(guò)程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性,需要根據(jù)具體情況具體分析.拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也