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1、()an=a142l43anz*指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念,掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)理解n次方根,n次根式的概念及其性質(zhì),能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算;(2)能認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣,了解它是根式的一種新的寫(xiě)法,能正確進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化;(3)能利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)化根式運(yùn)算.2.掌握無(wú)理指數(shù)冪的概念,將指數(shù)的取值范圍推廣到實(shí)數(shù)集;3.通過(guò)指數(shù)范圍的擴(kuò)大,我們要能理解運(yùn)算的本質(zhì),認(rèn)識(shí)到知識(shí)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,認(rèn)識(shí)到符號(hào)化思想的重要性,在抽象的符號(hào)或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能力;4.通過(guò)對(duì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認(rèn)識(shí),能學(xué)會(huì)透過(guò)表面去
2、認(rèn)清事物的本質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1整數(shù)指數(shù)冪的概念an個(gè)aa0=1(a0)a-n=1an(a0,nz*)2運(yùn)算法則(1)aman=am+n;(2)(m)=anmn;(3)aman=am-n(mn,a0);n(4)(ab)m=ambm.要點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1n次方根的定義:若xn=y(nn*,n1,yr),則x稱(chēng)為y的n次方根.n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)y的奇次方根有一個(gè),是正數(shù),記為ny;負(fù)數(shù)y的奇次方根有一個(gè),是負(fù)數(shù),記為y;零的奇次方根為零,記為n0=0;n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)y的偶次方根有兩個(gè),記為ny;負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;零的偶次方根為零,記為n0=0.2兩個(gè)等式(a
3、)=a;(1)當(dāng)n1且nn*時(shí),nn(2)na,(n為奇數(shù))an=|a|(n為偶數(shù))要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂⒁馍鲜龅仁皆谛问缴系穆?lián)系與區(qū)別;計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值,尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí),開(kāi)方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù),可先寫(xiě)成|a|的形式,這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤要點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論,我們約定a0,n,mn*,且1an=naman=(na)m=nam1ma-n=manmn為既約分?jǐn)?shù),分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義:4要點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(a0,b0,a,bq)(1)aaab=aa+b;(2)(aa)b=aab;(3)(ab)a=aaba;當(dāng)a0,p為無(wú)理數(shù)時(shí),
4、ap是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)根式問(wèn)題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì),將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算;(2)根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開(kāi)方并存,要注意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)不能交換.如(-4)2(4-4)2;2(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如(-4)4(-4)12.2.指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的;無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào),底數(shù)是小數(shù),先要化成分?jǐn)?shù),底數(shù)是帶分?jǐn)?shù),先要化成假分?jǐn)?shù),然后要盡可能用冪的形式表示,便于用指(,(數(shù)運(yùn)算性質(zhì)在化簡(jiǎn)運(yùn)算中,也要注意公式:a2b2(ab)(ab),(ab)2a22abb2,
5、(ab)3a33a2b3ab2b3,a3b3(ab)a2abb2)a3b3(ab)a2abb2)的運(yùn)用,能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算.【典型例題】類(lèi)型一、根式例1.求下列各式的值:(1)5(-3)5;(2)4(-10)2;(3)4(3-p)4;(4)(a-b)2.【答案】-3;10;p-3;0(a=b)b-a(ab)(4)(a-b)2=|a-b|=0(a=b)b-a(ab)【解析】熟練掌握基本根式的運(yùn)算,特別注意運(yùn)算結(jié)果的符號(hào).(1)5(-3)5=-3;(2)4(-10)2=10;(3)4(3-p)4=|3-p|=p-3;a-b(ab)(4【總結(jié)升華】1)求偶次方根應(yīng)注意,正數(shù)的偶次方根有兩個(gè),例如,的平方根
6、是2,但不是4=2.(2)根式運(yùn)算中,經(jīng)常會(huì)遇到開(kāi)方與乘方兩種運(yùn)算并存的情況,應(yīng)注意兩者運(yùn)算順序是否可換,何時(shí)可換.舉一反三:【變式1】計(jì)算下列各式的值:(1)3(-2)3;(2)4(-9)2;(3)6(p-4)6;(4)8(a-2)8.【答案】(1)-2;(2)3;(3)4-p;(4)a-2(a2)2-a(a2).(2)1例2.計(jì)算:(1)5+26+7-43-6-42;1+.2+12-1【答案】22;22【解析】對(duì)于(1)需把各項(xiàng)被開(kāi)方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?,然后再利用根式運(yùn)算性質(zhì)求解.對(duì)于(2),則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因式.(1)5+26+7-43-6-42=(3)2+232+(2)
7、2+22-223+(3)2-22-222+(2)2=(3+2)2+(2-3)2-(2-2)2=|3+2|+|2-3|-|2-2|(2)1=2-1=3+2+2-3-(2-2)=221+2+12-12+1+(2+1)(2-1)(2-1)(2+1)=2-1+2+1=22【總結(jié)升華】對(duì)于多重根式的化簡(jiǎn),一般是設(shè)法將被開(kāi)方數(shù)化成完全n次方,再解答,或者用整體思想來(lái)解題.化簡(jiǎn)分母含有根式的式子時(shí),將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可,如本例(2)中,12+1的分子、分母中同乘以(2-1).舉一反三:【變式1】化簡(jiǎn):(1)3-22+3(1-2)3+4(1-2)4;(2)x2-2x+1-x2+6x+9(|x
8、|3)-4x3).【答案】(1)2-1;(2)-2x-2(3x0):(1)a2a;(2)a33a2;(3)aa;(4)y2xx3y3y6x32+151135【答案】a2;a3;a4;y4【解析】先將根式寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可15(1)a2a=a2a2=a2=a2;2a=a(2)a3323a3=a3+2311=a3;11313(3)aa=(aa2)2=(a2)2=a4;(4)解法一:從里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪y2xx3y3y6x3=y2xx3y61()3=yx3y2xx3y2yxy2=(xx12y)2=y2112xy2x5=y4解法二:從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪y2xx3y3y
9、6x3=(y2xx3y3y61)2x3y2x3=(xy3y611)22=x3y2x3y6111()322xyx3111x3=y224y612xyx35=y4m【總結(jié)升華】此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)熟練應(yīng)用an=nam(a0,m,nn*,且n1)當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí),要搞清被開(kāi)方數(shù),由里向外或由外向里,用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫(xiě)出,然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)舉一反三:【高清課堂:指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算369050例1】【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來(lái),并化簡(jiǎn)(1)5a2a;6xx3x-213【答案】(1)210a10;(2)x3【變式2】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:(1)682;(2)aa(a0);(3)b33b2;(4)13x
10、(5x2)2-37311【答案】212;a4;b3;x5【解析】(1)11767682=62322=22=212;13313(2)aa=aa2=a2=(a2)2=a4;211(3)b33b2=b3b3=b3;(4)1=1=13x(5x2)232x(x5)23xx45=31x95=191(x5)3=13x53=x-527-2492138-1例4.計(jì)算下列各式:2(1)()3-()0.5+(0.008)-389251(2)(2)2-4(-2)-3+(-)0-()34527【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可得出【答案】(1)13;(2)9282491100022【解析】(1)原式=()3-()2+
11、()3279825472=-+259325=-171+2=99312313311(2)原式=()22-4(-)+1-()3(-3)=+1-=2832222【總結(jié)升華】(1)運(yùn)算順序(能否應(yīng)用公式);(2)指數(shù)為負(fù)先化正;(3)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.舉一反三:【變式1】計(jì)算下列各式:(1)(1)8-137(-)0+80.2542+(323)6;(2)641a3-8a3b22a3+23ab+4b3(1-23ba)3a.【答案】112;a1+(2)2+(2)(3)=2+236+2233=112;3426【解析】(1)原式=81(-1)(-)3111131+4441(2)原式=a3(a-8b)1a31a
12、3=111a3+3+3(a-8b)=a.1111(a3)2+2a3b3+(2b3)211113a3-2b(a3)3-(2b3)3113+26【變式2】計(jì)算下列各式:【高清課堂:指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算369050例3】1()-2+()-3+-(1.03)0(-)34663-22【答案】21+1564【解析】原式=16+6+5+26+346=21+1564例5.(2016湖北期末)計(jì)算:11322(1)(2)2-(-7.8)0-(3)3+()-2;483m+m(2)m+m-1+211-224ab-1)3(3)()-2410.1-2(a3b-3)2(【思路點(diǎn)撥】1)即合并同類(lèi)項(xiàng)的想
13、法,常數(shù)與常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,同一字母的化為該字母的指數(shù)運(yùn)算;2)對(duì)字母運(yùn)算的理解要求較高,即能夠認(rèn)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系;(3)具體數(shù)字的運(yùn)算,學(xué)會(huì)如何簡(jiǎn)化運(yùn)算.11【答案】(1);(2)m-2+m2;(3)225【解析】12(1)原式=()22-1-()33+()-1(-2)=-1+-=;3222442-1=m-1+m1=(2)12m2+m2m+m-1+21111m-2+m2m-2+m222;2(3)原式=21-2(-)1033342a2b-23-1(-2)a2b-322234=10225【解析】原式=a23=a6或6a5【總結(jié)升華】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力舉一反三
14、:【變式1】計(jì)算化簡(jiǎn)下列式子a2a3a2(a0)5【答案】a6或6a51252-注意:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),nan=|a|=a(a0)-a(a0).【變式2】化簡(jiǎn)x-2+y-2-x-2-y-2x-23+y-23x-23-y-23【答案】-23xyxy【解析】應(yīng)注意到x與x-2之間的關(guān)系,對(duì)分子使用乘法公式進(jìn)行因式分解,-2322原式=(x-3)3+(y-3)322-(x-3)3-(y-3)3x-23+y-23x-23-y-23-2-232-3-+(y)-(x)+xy32+(y)2-x3=(x3)2-y-23-2223-232=-2(xy)-23=-23xyxy.【總結(jié)升華】根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)寫(xiě)為最簡(jiǎn)根式.(1)被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì);(2)被開(kāi)方數(shù)分母為1,且不含非正整數(shù)指數(shù)冪;(3)被開(kāi)方數(shù)的每個(gè)因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式3】化簡(jiǎn)下列式子:(1)3+3(2)42+26(3)x2+2x+1+3x3-3x2+3x-12-2-32x(x-1)【答案】22+6;418+42;-2(x0由平方根的定義得:42+26=418+42(3)3x3-3x2+3x-1
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