高中數(shù)學必修一之知識講解_指數(shù)與指數(shù)冪的運算_基礎(chǔ)

1、()an=a142l43anz*指數(shù)與指數(shù)冪的運算【學習目標】1.理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進行相應的根式計算；(2)能認識到分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；(3)能利用有理指數(shù)運算性質(zhì)簡化根式運算.2.掌握無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實數(shù)集；3.通過指數(shù)范圍的擴大，我們要能理解運算的本質(zhì)，認識到知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認識到符號化思想的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力；4.通過對根式與分數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認識，能學會透過表面去

2、認清事物的本質(zhì)【要點梳理】要點一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算性質(zhì)1整數(shù)指數(shù)冪的概念an個aa0=1(a0)a-n=1an(a0,nz*)2運算法則（1）aman=am+n；（2）(m)=anmn；（3）aman=am-n(mn，a0)；n（4）(ab)m=ambm.要點二、根式的概念和運算法則1n次方根的定義：若xn=y(nn*，n1，yr)，則x稱為y的n次方根.n為奇數(shù)時，正數(shù)y的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為ny；負數(shù)y的奇次方根有一個，是負數(shù)，記為y；零的奇次方根為零，記為n0=0；n為偶數(shù)時，正數(shù)y的偶次方根有兩個，記為ny；負數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為n0=0.2兩個等式(a

3、)=a；（1）當n1且nn*時，nn（2）na,(n為奇數(shù))an=|a|(n為偶數(shù))要點詮釋：要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負數(shù)，可先寫成|a|的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤要點三、分數(shù)指數(shù)冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定a0，n，mn*，且1an=naman=(na)m=nam1ma-n=manmn為既約分數(shù)，分數(shù)指數(shù)冪可如下定義：4要點四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算1有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a0，b0，a,bq)(1)aaab=aa+b;(2)(aa)b=aab;(3)(ab)a=aaba;當a0，p為無理數(shù)時，

4、ap是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用.要點詮釋：(1)根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪運算；(2)根式運算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如(-4)2(4-4)2；2(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如(-4)4(-4)12.2.指數(shù)冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先要化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指（，（數(shù)運算性質(zhì)在化簡運算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（ab）2a22abb2，

5、（ab）3a33a2b3ab2b3，a3b3（ab）a2abb2）a3b3（ab）a2abb2）的運用，能夠簡化運算.【典型例題】類型一、根式例1.求下列各式的值：（1）5(-3)5;(2)4(-10)2;(3)4(3-p)4;(4)(a-b)2.【答案】-3；10；p-3；0（a=b）b-a（ab）（4）(a-b)2=|a-b|=0（a=b）b-a（ab）【解析】熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結(jié)果的符號.（1）5(-3)5=-3；（2）4(-10)2=10；（3）4(3-p)4=|3-p|=p-3；a-b（ab）（4【總結(jié)升華】1）求偶次方根應注意，正數(shù)的偶次方根有兩個，例如，的平方根

6、是2，但不是4=2.（2）根式運算中，經(jīng)常會遇到開方與乘方兩種運算并存的情況，應注意兩者運算順序是否可換，何時可換.舉一反三：【變式1】計算下列各式的值：（1）3(-2)3；（2）4(-9)2；（3）6(p-4)6；（4）8(a-2)8.【答案】（1）-2；（2）3；（3）4-p；（4）a-2(a2)2-a(a2).（2）1例2.計算：（1）5+26+7-43-6-42；1+.2+12-1【答案】22;22【解析】對于（1）需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質(zhì)求解.對于（2），則應分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）5+26+7-43-6-42=(3)2+232+(2)

7、2+22-223+(3)2-22-222+(2)2=(3+2)2+(2-3)2-(2-2)2=|3+2|+|2-3|-|2-2|（2）1=2-1=3+2+2-3-（2-2）=221+2+12-12+1+(2+1)(2-1)(2-1)(2+1)=2-1+2+1=22【總結(jié)升華】對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全n次方，再解答，或者用整體思想來解題.化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，12+1的分子、分母中同乘以(2-1).舉一反三：【變式1】化簡：（1）3-22+3(1-2)3+4(1-2)4；（2）x2-2x+1-x2+6x+9(|x

8、|3)-4x3).【答案】（1）2-1；（2）-2x-2(3x0）：（1）a2a；（2）a33a2；（3）aa；（4）y2xx3y3y6x32+151135【答案】a2；a3；a4；y4【解析】先將根式寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運算性質(zhì)化簡即可15（1）a2a=a2a2=a2=a2;2a=a（2）a3323a3=a3+2311=a3；11313（3）aa=(aa2)2=(a2)2=a4；（4）解法一：從里向外化為分數(shù)指數(shù)冪y2xx3y3y6x3=y2xx3y61()3=yx3y2xx3y2yxy2=(xx12y)2=y2112xy2x5=y4解法二：從外向里化為分數(shù)指數(shù)冪y2xx3y3y

9、6x3=(y2xx3y3y61)2x3y2x3=(xy3y611)22=x3y2x3y6111()322xyx3111x3=y224y612xyx35=y4m【總結(jié)升華】此類問題應熟練應用an=nam(a0,m,nn*,且n1)當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分數(shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進行化簡舉一反三：【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運算369050例1】【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡（1）5a2a；6xx3x-213【答案】（1）210a10；（2）x3【變式2】把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪：（1）682；（2）aa(a0)；（3）b33b2；（4）13x

10、(5x2)2-37311【答案】212；a4；b3；x5【解析】（1）11767682=62322=22=212；13313（2）aa=aa2=a2=(a2)2=a4；211（3）b33b2=b3b3=b3；（4）1=1=13x(5x2)232x(x5)23xx45=31x95=191(x5)3=13x53=x-527-2492138-1例4.計算下列各式：2（1）()3-()0.5+(0.008)-389251（2）(2)2-4(-2)-3+(-)0-()34527【思路點撥】利用指數(shù)冪的運算法則即可得出【答案】（1）13；（2）9282491100022【解析】（1）原式=()3-()2+

11、()3279825472=-+259325=-171+2=99312313311（2）原式=()22-4(-)+1-()3(-3)=+1-=2832222【總結(jié)升華】（1）運算順序(能否應用公式)；（2）指數(shù)為負先化正；（3）根式化為分數(shù)指數(shù)冪.舉一反三：【變式1】計算下列各式：(1)(1)8-137(-)0+80.2542+(323)6；(2)641a3-8a3b22a3+23ab+4b3(1-23ba)3a.【答案】112；a1+(2)2+(2)(3)=2+236+2233=112；3426【解析】(1)原式=81(-1)(-)3111131+4441(2)原式=a3(a-8b)1a31a

12、3=111a3+3+3(a-8b)=a.1111(a3)2+2a3b3+(2b3)211113a3-2b(a3)3-(2b3)3113+26【變式2】計算下列各式：【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運算369050例3】1()-2+()-3+-(1.03)0(-)34663-22【答案】21+1564【解析】原式=16+6+5+26+346=21+1564例5.（2016湖北期末）計算：11322（1）(2)2-(-7.8)0-(3)3+()-2；483m+m（2）m+m-1+211-224ab-1)3（3）()-2410.1-2(a3b-3)2（【思路點撥】1）即合并同類項的想

13、法，常數(shù)與常數(shù)進行運算，同一字母的化為該字母的指數(shù)運算；2）對字母運算的理解要求較高，即能夠認出分數(shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系；(3)具體數(shù)字的運算，學會如何簡化運算.11【答案】（1）；（2）m-2+m2；（3）225【解析】12（1）原式=()22-1-()33+()-1(-2)=-1+-=；3222442-1=m-1+m1=（2）12m2+m2m+m-1+21111m-2+m2m-2+m222；2（3）原式=21-2(-)1033342a2b-23-1(-2)a2b-322234=10225【解析】原式=a23=a6或6a5【總結(jié)升華】本題考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力舉一反三

14、：【變式1】計算化簡下列式子a2a3a2(a0)5【答案】a6或6a51252-注意：當n為偶數(shù)時，nan=|a|=a(a0)-a(a0).【變式2】化簡x-2+y-2-x-2-y-2x-23+y-23x-23-y-23【答案】-23xyxy【解析】應注意到x與x-2之間的關(guān)系，對分子使用乘法公式進行因式分解，-2322原式=(x-3)3+(y-3)322-(x-3)3-(y-3)3x-23+y-23x-23-y-23-2-232-3-+(y)-(x)+xy32+(y)2-x3=(x3)2-y-23-2223-232=-2(xy)-23=-23xyxy.【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應寫為最簡根式.(1)被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；(2)被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；(3)被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式3】化簡下列式子：(1)3+3(2)42+26(3)x2+2x+1+3x3-3x2+3x-12-2-32x(x-1)【答案】22+6；418+42；-2(x0由平方根的定義得：42+26=418+42(3)3x3-3x2+3x-1