2985.抗旱方案的制定

1、抗旱方案的制定摘要在本問題中我們主要對(duì)抗旱方案的問題制定了一個(gè)優(yōu)化模型，根據(jù)題目要求，我們可以制定多種方案，在這里我們只是針對(duì)其中的三種方案進(jìn)行了討論，第一種方案是只進(jìn)行打井，第二種方案是只進(jìn)行管道鋪設(shè)，第三種方案是打井和管道鋪設(shè)同時(shí)進(jìn)行，在這里我們認(rèn)為第三種方案為最優(yōu)，并對(duì)其進(jìn)行了模型的建立，先用matlab計(jì)算出20102014年四口井的產(chǎn)水量，在運(yùn)用lingo進(jìn)行優(yōu)化求解，求出從2010年起三年的打井和鋪設(shè)管道計(jì)劃能使整個(gè)計(jì)劃的總開支最節(jié)省且供水量達(dá)到最優(yōu)，在求費(fèi)用最優(yōu)時(shí)我們引入了變量wij，且其只能取0或1，0-1變量表示第i年打第j口井，總費(fèi)用為打井費(fèi)用和鋪設(shè)管道的費(fèi)用，目標(biāo)函數(shù)m為

2、總的費(fèi)用的最小值，即是求得的最優(yōu)解，最后利用excel表格進(jìn)行驗(yàn)證，得出本模型為最適模型。關(guān)鍵詞：產(chǎn)水量 優(yōu)化求解 總開支一、問題重述：我國(guó)西南地區(qū)的某個(gè)偏遠(yuǎn)貧困村，年平均降水量不足20mm是典型的缺水地區(qū)。過去村民的日常生活和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)用水一方面靠的是每家每戶自行建造的小蓄水池，用來屯積每逢下雨時(shí)獲得的雨水，另一方面是利用村里現(xiàn)有的四口水井。由于近年來環(huán)境破壞，經(jīng)常是一連數(shù)月滴雨不下，這些小蓄水池的功能完全喪失。而現(xiàn)有的四口水井經(jīng)過多年使用后，年產(chǎn)水量也在逐漸減少，在表1中給出它們?cè)诮?年來的產(chǎn)水量粗略統(tǒng)計(jì)數(shù)字。2009年以來，水井的水遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要。為此政府從兩方面考慮解決這一難題：一是地

3、質(zhì)專家勘探找到了8個(gè)可供打井位置，因每個(gè)位置打井的費(fèi)用和預(yù)計(jì)的年產(chǎn)水量不同，預(yù)計(jì)每口井的年產(chǎn)水量還會(huì)以平均每年10%的速率減少；二是通過鋪設(shè)管道的方法從20公里外的地方把河水引入該村，鋪設(shè)管道的費(fèi)用為p=0.66q0.51l(萬(wàn)元)，鋪設(shè)管道需三年完成，且每年鋪設(shè)管道的費(fèi)用為萬(wàn)元的整數(shù)倍。1、若完成后每年能通過管道至少能提供100萬(wàn)噸水。2、政府從2010年開始連續(xù)三年每年最多可提供60萬(wàn)元用于該村打井和鋪設(shè)管道為了保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少獲得150、160、170、180、190萬(wàn)噸水，作出一個(gè)從2010年起三年的打井和鋪設(shè)管道計(jì)劃，以使整個(gè)計(jì)劃的總開支最節(jié)省（不

4、考慮小蓄水池的作用和利息的因素在內(nèi)）。二、模型假設(shè)1、 假設(shè)該村的供水僅由井水和管道提供2、 不考慮其他因素影響管道三年建成且第四年開始供水3、 在所打井中實(shí)際供水量不低于預(yù)測(cè)供水量4、 表2的每口水井的年產(chǎn)水量會(huì)以固定的每年10%速率減少。三、符號(hào)說明：1、只能取0或1，0-1變量表示第年打第口井2、表示鋪設(shè)管道的總費(fèi)用3、表示前三年每年鋪設(shè)管道的費(fèi)用4、表示前三年每年鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度5、表示管道的輸水量6、表示鋪設(shè)管道費(fèi)用和打井給用之和四、模型的建立與求解：?jiǎn)栴}一、根據(jù)題意我們得出了多種方案：方案一：只進(jìn)行打井，現(xiàn)有四口井則2009年的供水總量為52.5萬(wàn)噸，則根據(jù)題意可得到20102014

5、年的供水量（見附表），我們預(yù)測(cè)八口井2010年的供水總量為201萬(wàn)噸，從2010年開始第年的供水量為，求得第四年2013年的供水量萬(wàn)噸；第五年2014年的供水量萬(wàn)噸。可得到其供水量不符合題目的要求，故此方案不能采用。方案二：只進(jìn)行管道的鋪設(shè)，而管道鋪設(shè)需要三年，在此期間村民用水只能靠這四口井，但它的供水量明顯少于需要達(dá)到的供水量150、160、170萬(wàn)噸。（見附表）所以這個(gè)方案不符合要求，故不采用這一方案。方案三：打井和鋪設(shè)管道同時(shí)進(jìn)行利用表一分析得出2010-2014年各井的預(yù)產(chǎn)水量，用matlab進(jìn)行一次或多次擬合。計(jì)算出現(xiàn)有四口井在2010年至2014年的產(chǎn)水量。（1）一號(hào)井的計(jì)算如下：

6、x=1:1:9;y=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;a=polyfit(x,y,1)z=polyval(a,x);plot(x,y,k+,x,z,r)a = -1.2017 33.4639圖1 一號(hào)井?dāng)M合 x=10 11 12 13 14;y=-1.2017*x+33.4639y = 21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401得到的數(shù)據(jù)為：21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401。所以1號(hào)井的產(chǎn)水量為：21.4469 20.2452 19.0435 17.8418

7、 16.6401。（2）二號(hào)井計(jì)算如下： x=1:1:9;y=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;a=polyfit(x,y,3)z=polyval(a,x);plot(x,y,k+,x,z,r)a = -0.0311 0.7966 -7.5771 28.2357圖2 二號(hào)井?dāng)M合 x=10;11;12;13;14;y=-0.0311*x.3+0.7966*x.2-7.5771*x+28.2357y = 1.0247 -0.1179 -1.7199 -3.9679 -7.0485得到的數(shù)據(jù)為：1.0247 -0.1179 -1.7199 -3.9679

8、-7.0485。所以2號(hào)井的產(chǎn)水量為：1.0247 0 0 0 0。（3）三號(hào)井計(jì)算如下： x=1:1:9;y=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;a=polyfit(x,y,2)z=polyval(a,x);plot(x,y,k+,x,z,r)a = 0.0012 -2.0969 30.0024圖3 三號(hào)井?dāng)M合 x=10;11;12;13;14;y=0.0012*x.2-2.0969*x+30.0024y = 9.1534 7.0817 5.0124 2.9455 0.8810得到的數(shù)據(jù)為：9.1534 7.0817 5.0124 2.9

9、455 0.8810所以3號(hào)井的產(chǎn)水量為：9.1534 7.0817 5.0124 2.9455 0.8810 。（4）四號(hào)井計(jì)算如下： x=2:1:9;y=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;a=polyfit(x,y,1)z=polyval(a,x)plot(x,y,k+,x,z,r)a = -3.7048 45.5262z = 38.1167 34.4119 30.7071 27.0024 23.2976 19.5929 15.8881 12.1833圖4 四號(hào)井?dāng)M合 x=10;11;12;13;14;y=-3.7048*x+45.5262y

10、= 8.4782 4.7734 1.0686 -2.6362 -6.3410得到的數(shù)據(jù)為：8.4782 4.7734 1.0686 -2.6362 -6.3410。所以4號(hào)井的產(chǎn)水量為：8.4782 4.7734 1.0686 0 0。綜上所述：四口井2010-2014年的預(yù)產(chǎn)水量分別為： 年份 產(chǎn)水量 井號(hào) 20102011201220132014一號(hào)井21.446920.245219.043517.841816.6401二號(hào)井1.02470000三號(hào)井9.15347.08175.01242.94550.8810四號(hào)井8.47824.77341.068600各年份總產(chǎn)水量40.103229.

11、79225.124520.787317.5211表3 四口井2010-2014年的預(yù)產(chǎn)水量（萬(wàn)噸）問題二、模型建立問題一中我們已經(jīng)算出出現(xiàn)有四口井在2010年至2014年的產(chǎn)水量，為保證能達(dá)到需水要求我們的做一個(gè)從2010年起三年的打井和鋪設(shè)管道計(jì)劃，以使整個(gè)計(jì)劃的總開支盡量節(jié)省。也就是一個(gè)優(yōu)化規(guī)劃，我們可以用lingo9.0軟件進(jìn)行優(yōu)化規(guī)劃求解。求出費(fèi)用的最少，一共打幾口井提供多少水量以及打井費(fèi)用為多少，管道的供水量為多少以及管道費(fèi)用多少。由題目的要求，在這里我們引入0-1變量。只能取0或1，0-1變量表示第年打第口井，總費(fèi)用為打井費(fèi)用和鋪設(shè)管道費(fèi)用，目標(biāo)函數(shù)為總的費(fèi)用的最小值。0 表示不打

12、此井wij=（i=1,2，5. j=1,2,8）1 表示打此井依據(jù)上面的兩個(gè)條件，我們建立以下目標(biāo)函數(shù)z上的線性表達(dá)式和約束條件，得到了以下的標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)：min=+;約束條件：l1+l2+l3=20;p1=0.66*q0.51*l1;s.t. p2=0.66*q0.51*l2;p3=0.66*q0.51*l3;q=100;5*w11+7*w12+5*w13+4*w14+6*w15+5*w16+5*w17+3*w18+p1=60;5*w21+7*w22+5*w23+4*w24+6*w25+5*w26+5*w27+3*w28+p1=60;5*w31+7*w32+5*w33+4*w34+6*w

13、35+5*w36+5*w37+3*w38+p3=60;5*w41+7*w42+5*w43+4*w44+6*w45+5*w46+5*w47+3*w48=60;5*w51+7*w52+5*w53+4*w54+6*w55+5*w56+5*w57+3*w58=150;s.t. ( 25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18 )*0.9+42.282=160;( 25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.92+38.0538=170;( 25*w11+36*w1

14、2+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18 )*0.93+34.2484+q=180;( 25*w11+36*w12632*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.94+30.8236+q=190;在lingo（見附表）中求解得：由圖得到：w11 = 1，w12 = 1,w13 = 1, w15 = 1,w16 = 1 ，w18=1 . q = 100.0000 , l1 =3.7028 , l2 = 8.1487 , l3 = 8.1487. p1 =25.59023 , p2 = 56.31606 ,

15、p3 = 56.31606 .m = 168.6975結(jié)果分析：由于每年鋪設(shè)管道的費(fèi)用必須為整數(shù)，所以取值為： p1=26 p2=56, p3=56 .因此鋪設(shè)管道的總費(fèi)用為p=138萬(wàn)元。總共打1、 2、3 、5 、6 號(hào)井的總費(fèi)用為5+7+5+6+5+3=31萬(wàn)元。所以m=138+31=169萬(wàn)元。模型檢驗(yàn)：經(jīng)過分析驗(yàn)證：本模型的規(guī)劃在2010-2014年中總產(chǎn)水量符合本題的要求，如下表年20102011201220132014原有量46.9842.28238.053834.2484230.82358打井產(chǎn)量164147.6132.84119.556107.6004鋪管道000100100

16、總產(chǎn)水量210.98189.882170.8938253.8044238.424符合符合符合符合符合表4 2010-2014年中總產(chǎn)水量檢驗(yàn)（萬(wàn)噸）該村打井和鋪設(shè)管道費(fèi)用如下表：年數(shù)費(fèi)用 打井鋪管p年總費(fèi)用總費(fèi)用m20103126571692011565620125656表5 打井和鋪設(shè)管道費(fèi)用（萬(wàn)元）則本模型20102012年中費(fèi)用均不超過60萬(wàn)，符合要求。所以本模型是對(duì)題目做出的最優(yōu)模型。我們將其推廣到2020年，保證該村從2015至2020年這五年間每年至少獲得200萬(wàn)噸水。如下表年201520162017201820192020原有量27.7412224.967122.4703920.

17、2233518.2010116.38091打井產(chǎn)量96.8403687.1563278.4406970.5966263.5369657.18326鋪管道100100100100100100總產(chǎn)水量224.5816212.1234200.9111190.82181.738173.5642符合符合符合不符不符不符表6 2015至2020年的預(yù)測(cè)產(chǎn)水量（萬(wàn)噸）在推廣中我們得出本模型只適用到2017年，從2018年開始需進(jìn)行重新規(guī)劃才能使它達(dá)到預(yù)期效果。 五、模型的評(píng)價(jià)本模型中將鋪設(shè)管道和打井同時(shí)應(yīng)用，在保證供水量達(dá)到最大的同時(shí)也使得整個(gè)計(jì)劃的總支出達(dá)到最少，為政府節(jié)省了不必要的支出；最后我們也進(jìn)行了

18、驗(yàn)證。但在本模型中沒有考慮雨水的積蓄，使得雨水資源得不到充分的利用，這與實(shí)際生活聯(lián)系的不夠緊密，實(shí)際生活中應(yīng)該將其充分的利用，合理調(diào)配水資源，盡量減少生活用水用于生產(chǎn)上，而又能讓雨水積蓄的水資源得到合理充分的利用既能保證正常的生產(chǎn)又能減少對(duì)生活用水的破壞。六、參考文獻(xiàn)1 楊啟帆.方道元.數(shù)學(xué)建模m.杭州：浙江大學(xué)出版社，1999年.2 姜啟源.謝金星.數(shù)學(xué)建模m.北京：高等教育出版社，2003年.3 李 濤.賀勇軍.應(yīng)用數(shù)學(xué)篇m.北京：電子工業(yè)出版社，2000年.4 白鳳山等.數(shù)學(xué)建模(上冊(cè))m.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003年.附表表1 現(xiàn)有各水井在近幾年的產(chǎn)水量（萬(wàn)噸）年份產(chǎn)水量編

19、號(hào)2001200220032004200520062007200820091號(hào)井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72號(hào)井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03號(hào)井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24號(hào)井46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 10個(gè)位置打井費(fèi)用（萬(wàn)元）和當(dāng)年產(chǎn)水量（萬(wàn)噸）編號(hào)12345678打井費(fèi)用57546553當(dāng)年產(chǎn)水2536321531282212問題二、在lingo9.0軟件中輸入下面數(shù)據(jù)，并運(yùn)行（程序代碼）：min = 5*w11+7*w1

20、2+5*w13+4*w14+6*w15+5*w16+5*w17+3*w18+p1+5*w21+7*w22+5*w23+4*w24+6*w25+5*w26+5*w27+3*w28+p2+5*w31+7*w32+5*w33+4*w34+6*w35+5*w36+5*w37+3*w38+p3+5*w41+7*w42+5*w43+4*w44+6*w45+5*w46+5*w47+3*w48+5*w51+7*w52+5*w53+4*w54+6*w55+5*w56+5*w57+3*w58;l1+l2+l3=20;p1=0.66*q0.51*l1;p2=0.66*q0.51*l2;p3=0.66*q0.51*l

21、3;q=100;5*w11+7*w12+5*w13+4*w14+6*w15+5*w16+5*w17+3*w18+p1=60;5*w21+7*w22+5*w23+4*w24+6*w25+5*w26+5*w27+3*w28+p2=60;5*w31+7*w32+5*w33+4*w34+6*w35+5*w36+5*w37+3*w38+p3=60;5*w41+7*w42+5*w43+4*w44+6*w45+5*w46+5*w47+3*w48 =60;5*w51+7*w52+5*w53+4*w54+6*w55+5*w56+5*w57+3*w58 =60;w11+w21+w31+w41+w51=1;w12+

22、w22+w32+w42+w52=1;w13+w23+w33+w43+w53=1;w14+w24+w34+w44+w54=1;w15+w25+w35+w45+w55=1;w16+w26+w36+w46+w56=1;w17+w27+w37+w47+w57=1;w18+w28+w38+w48+w58=150;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9+ 42.282=160;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9*0.9+38.0538

23、=170;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9*0.9*0.9+34.2484+q=180;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9*0.9*0.9*0.9+ 30.8236 +q=190;end結(jié)果如下所示local optimal solution found. objective value: 168.6975 total solver iterations: 44 variable value reduced cost

24、w11 1.000000 0.000000 w12 1.000000 0.000000 w13 1.000000 0.000000 w14 0.000000 0.5909091 w15 1.000000 0.000000 w16 1.000000 0.000000 w17 0.000000 0.000000 w18 1.000000 0.000000 p1 25.58933 0.000000 w21 0.000000 5.681818 w22 0.000000 8.181818 w23 0.000000 7.272727 w24 0.000000 4.000000 w25 0.000000 7

25、.045455 w26 0.000000 6.363636 w27 0.000000 5.000000 w28 0.000000 3.000000 p2 56.31582 0.000000 w31 0.000000 5.681818 w32 0.000000 8.181818 w33 0.000000 7.272727 w34 0.000000 4.000000 w35 0.000000 7.045455 w36 0.000000 6.363636 w37 0.000000 5.000000 w38 0.000000 3.000000 p3 56.31582 0.000000 w41 0.000000 5.681818 w42 0.000000 8.181818 w43 0.000000 7.272727 w44 0.000000 4.000000 w45 0.000000 7.045455 w46 0.000000 6.363636 w47 0.0000