極坐標(biāo)與參數(shù)方程的主要知識(shí)點(diǎn)匯總

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程的主要知識(shí)點(diǎn)1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的互化設(shè)M為平面上的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x, y),極坐標(biāo)(，力,由下圖可知下面的關(guān)系式成立：或二-tan 日=2、直線的參數(shù)方程：(y - y) =k(x -X。)Sin (X-Xo)二cos jsin 二y-y0 X-X0=tcos：2 2 2圓的參數(shù)方程：(x-a) (y -b) = r橢圓的參數(shù)方程：中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在 X軸上：x =ly =雙曲線的參數(shù)方程拋物線的參考方程2X =y PX(P 0):廠1X匕7、設(shè)點(diǎn)p(x, y)事平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換:ly =()的作用.e 0)下，點(diǎn)p(x, y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)p(x,

2、y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。相關(guān)公式：2 21、點(diǎn)p(x。，yo)到直線L: Ax By 0( A B - 0)的距離公式|A)x + B)y+Cd =.JA2 +B2sin(a + B) =sin a cos B +cosg sin Psin (a P) =si n a cos P cos。sin P2、輔助角公式asin 工 5cos：二:;a2 b2 *sin(篇 C)(其中 tan =b)a常用：sin 二 11 cos ： - 2 sin( )4sin 仆：cos ： - 2sin(:兀jisin 二，cos ： - 2sin( )63、兩點(diǎn)間的距離公式P

3、i(n, yi), P2(X2, y2)pi p2 = J(Xi x2)2 +(yi -y2)2極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案JI 十在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)分別為（2,）和（3, 0） O為極點(diǎn)，則3AB =.例2 .已知直線的極坐標(biāo)方程為*sin(寸)=,求點(diǎn)A(2,)到這條直線的距4已知曲線 Ci,Ci的極坐標(biāo)方程為cost - 3,=4cos)C： _0,0 乞二：),則曲線G與Ci的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 。_例4 .把下列的參數(shù)方程化為普通方程2Sin r為參數(shù))y = sin 二 cos-x =2cosr y = 2sin vG為參數(shù))4kx 1 k24k2y j(k為參數(shù))例5.已知點(diǎn)P

4、(x, y)是圓x2 y2 -6x -4y 12 = 0的動(dòng)點(diǎn)，求:(1) x2 y2的最值；(2) x y的最值；(3) 求點(diǎn)P到直線x y -1 =0的距離d的最值。（二為參數(shù)）；x - -4costx 二8cos）已知曲線 Ci：3+sint（t為參數(shù)）C2：3sin。（1） 化Ci，C2的方程為普通方程，并分別說明他們表示什么曲線；JI（2）若Ci上的點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的參數(shù)為匕，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線x - 3 2tC3:（t為參數(shù)）距離的最小值。yx = 4cos 甲例7 (本題10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為2何為參數(shù))以川=3sin 坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為

5、極軸的極坐標(biāo)系中.曲線C2的極坐標(biāo)方程為:sin( v )=5 /2 (1) 分別把曲線 G與C2化成普通方程和直角坐標(biāo)方程；并說明它們分別表示什么曲線(2) 在曲線Ci上求一點(diǎn)Q ,使點(diǎn)Q到曲線C2的距離最小，并求出最小距離例8.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為-4sin二,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程為xJtx 2i 2t（t為參數(shù)），求直線I被曲線C截得1的線段的長度例9. （ 2013年全國二卷）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程x = 2cost已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：& =2sint（ t為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=a與t=2a(0a2 n), M

6、為 PQ 的中點(diǎn)。（I） 求M的軌跡的參數(shù)方程(II) 將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)例10.( 2013年全國一卷)選修44 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x=4+5cost已知曲線 0的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半y=5+5si nt軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 p =2sin 0o(I)把Ci的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程 ；(H)求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo) (p%,0 00),其參數(shù)方程為！X=2Pt，設(shè)拋物y =2 pt,線x2 =2py上動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2p , 2p t), O為拋物線的頂點(diǎn)，可得匕=理1，t的幾何意義是過拋

7、物線的頂點(diǎn)O的動(dòng)弦OP的斜2 pt tkop例12.已知A, B為拋物線x2 y上兩點(diǎn),且OA_OB,求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.解析：設(shè) di ,。人-匕一1 ,可得A(4t,4)，B據(jù)t的幾何意義,4設(shè)線段中點(diǎn)P(x, y)I (1=2 tI t2=2 It28.21 .x 4t -2 .i r 2二 4t消去參數(shù)t得P點(diǎn)的軌跡方程為X2 =2(y 一4).解析】解：解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2y24y=0,即x2，(y-2)2 =4 ,它表示以(0,2)為圓心，2為半徑圓，4分直線方程I的普通方程為y = 3x 1 ,8分1圓C的圓心到直線I的距離d = , 10分2| 故直線I被曲線C截得的線段長度為2 22 -(；)2 =折5 . 14分16 916 9x+-10 = 0,表示在垃軸和y軸上的截距都是.10的直線”解析】U 2yw?x*tjCOfnww.zxxk.cuni/P(I 依題意有P(2cosay2sina)t g(2cos2a2sin2ct) 因此W(cosa + cos 2a, sina