42009屆廣東課改區(qū)各地?cái)?shù)學(xué)分類試題立體幾何空間向量與立體幾何部分

1、立體幾何、空間向量與立體幾何一、選擇題1. 【廣東韶關(guān) 文】6.已知兩個不同的平面：、:和兩條不重合的直線，m、n,有下列四個命題若m n,m:二，則n _若 m l =,m/ n, n 一 I ,則壽.1-其中正確命題的個數(shù)是BA . 0個B . 1個若 m.l = ,m；,則/ -若 m ：，- - n,則 m nC. 2個D . 3個2. 【潮州理科】7、（文科9）設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形: x、y、z均為直線;y是直線，z是平面； z是直線，x、y是平面； x、y、z均為平面。其中使“丄z且y丄z= x / y 為真命題的是ABCD3. 【揭陽 文】3已知直線

2、I、m,平面，則下列命題中假命題是CA .若/ - , I 二很，則 / ： B .若/ , I _，則 I -C .若 I / ： , m 二二，則 I /m D .若：，：- - I , m 二二，m _ I,則 m _ :4. 【汕頭澄海區(qū) 文】9.設(shè)m, n是兩條不同的直線，：，一：， 是三個不同的平面，給出下列四個命題： 若m丄,n/，貝U mn; 若/：,: /, m丄，貝U m丄 ; 若 m / _：: , n / 二，貝U m / n; 若丄,:丄，則/：.其中正確命題的序號是AA .和B .和C .和D.和5. 【中山 文】7.已知直線a、b、c和平面M,貝U a/b的一個充

3、分條件是DA. a/M , b/MB. ac , b cC. a、b與平面M成等角D. a_M , b_M .6. 【中山 理】7.底面是矩形的四棱柱 ABCD -Abcd中，AB = 4, AD = 3, AA =5 ,BAD 二 90 , BAA 二.DAA = 60，則 AC 二 CA .95B . . 59C. 85D . 、 587.【揭陽理】6.（文科8）某師傅需用合板制作一個工作臺，工作臺 由主體和附屬兩部分組成，主體部分全封閉，附屬部分是為了防止工件 滑出臺面而設(shè)置的三面護(hù)墻，其大致形狀的三視圖如右圖所示（單位長度：cm）,則按圖中尺寸，做成的工作臺用去的合板的面積為（制作過程

4、合板的損耗和合板厚度忽略不 計(jì)）D2 2A. 40000cmB. 40800cmC. 1600（22. 17）cm2D. 41600cm220；80丄80 一正視圖側(cè)視圖801俯視圖&【揭陽文】8.某師傅需用合板制作一個工作臺，工作臺由主體和附屬兩部分組成,圖中尺寸，做成的工作臺用去的合板的面積為（制作過程合板損耗和合板厚度忽略不計(jì)）D2A. 40000cmB.40800cm2C. 1600(22 17)cm2D.241600cm主體部分全封閉，附屬部分是為了防止工件滑出臺面而設(shè)置的 護(hù)墻，其大致形狀的三視圖如右圖所示（單位長度：cm）,則按20 :t80JL80 側(cè)視圖正視圖180丄俯視圖2

5、2a ,則左視圖的面積為（a9.【汕頭潮南區(qū)理】6.如圖，直三棱柱的主視圖面積為22/ 2V 3 2(A) 2a (B) a (C) 3a (D) a410.【湛江市文】&用單位立方塊搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如右圖所示，則它的體積的最小值與最大值分別為A . 9 與 13B. 7 與 10C. 10 與 16 D . 10 與 1511.【珠海理】5.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位:cm), 可得這個幾何體的體積是（C ）A. - cm33B. 2 cm33C. -cm338 3cm3左視圏冊視圖主視圖側(cè)視圖俯視圏二、填空題1. 【汕頭澄海區(qū) 文】12.右圖是一

6、個空間幾何體的主視圖、 側(cè)視圖、 俯視圖，如果主視圖、側(cè)視圖所對應(yīng)的三角形都是邊長為2的正三 角形，俯視圖對應(yīng)的四邊形為正方形，那么這個幾何體的體積為4.33 .2. 【湛江市理】10.用單位立方塊搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如下圖所示，則它的體積的最小值為10，最大值為163. 【珠海文】13如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2a的等腰三角形俯視圖是半徑為a的半圓，則該幾何體的表面積是（33）a22三、計(jì)算題1. 【廣東韶關(guān) 文】18.（本題滿分14分）一個棱柱的直觀圖和三視圖（主視圖和俯視圖是邊長為 a的正方形，左視圖是直角邊長為 a的等腰三角形）如圖所示，其中M、N分別是A

7、B、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動點(diǎn).（I）求證：GN _ AC；（n）求三棱錐 F -MCE的體積；（川）當(dāng)FG=GD時，證明 AG平面FMC.【解】（I）由三視圖可知，多面體是直三棱 柱，兩底面是直角邊長為a的等腰直角三角形，側(cè)面 ABCD, CDFE是邊長為a的正方形。3 分連結(jié) DN，因?yàn)?FD _ CD, FD _ AD ,所以，F(xiàn)D _ 面 ABCD FD _ AC又，AC_DN,所以，AC _面GND, GN 面GND 所以GN _ AC .6 分(H) Ve _FMC - VADF _BCE -Vf MCD -Ve JMBC .CDgFD Samcd-3 EC S MBC1 1

8、1 ax 1 1 aa a a ( a) a aa a2 3 2 23 2 2分14分另解:VE _FMC-1ad Scef(川)連結(jié)DE交FC于Q,連結(jié)QG1 因?yàn)镚,Q,M分別是FD,FC,AB的中點(diǎn)，所以GQ/丄CD,=21AM /ZCD ,所以，AM /GQ , AMGQ是平行四邊形 9分AG / QM , AG 二面 FMC ,MQ 二面 FMC所以，AG/平面FMC. 10 分2. 【潮州 理科】17、(文科17)(本題滿分14分) 如圖，在四棱錐 P - ABCD中，底面為直角梯形,AD / BC , BAD =90 , PA 垂直于底面 ABCD ,PA =AD =AB =2B

9、C =2 ,M , N 分別為 PC , PB 的中點(diǎn)。(1)求證：PB _ DM ； (2)求BD與平面ADMN所成的角；(3)求截面ADMN的面積?！窘狻?1)證明：因?yàn)?N是PB的中點(diǎn)，PA二AB ,所以AN _ PB。由 PA 底面 ABCD，得 PA AD ,又.BAD =90，即 BA _ AD ,AD _ 平面 PAB，所以 AD _ PB ,PB 平面 ADMN ,PB _ DM。 4分(2)連結(jié)DN ,因?yàn)锽P _平面ADMN，即BN _平面ADMN ,所以.BDN是BD與平面ADMN所成的角，在 Rt ABD 中,BD 二.BA2 AD2 =2.2 ,在 Rt PAB 中，

10、PB = PA2 AB2 = 2 .2 ,2 Bn i在 Rt BDN 中,sin BDN = BD 2又 0BDN 乞二，故BD與平面ADMN所成的角是二。10分611(3)由M ,N分別為PC , PB的中點(diǎn)，得 MN /BC，且MN BC -,22又 AD / BC，故 MN /AD，由(1)得AD _平面PAB，又AN 平面PAB，故AD _ AN，-四邊形ADMN是直角梯形，在 Rt PAB 中，PB *PA2AB2 =2、2，ANPB 2，2. 截面 ADMN 的面積 S= (MN AD) AN= ( 2).2 = 5。14分22 24備注：(1 )、(2)也可以用向量法：(1 )

11、以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz，如圖所示(圖略)1由 PA 二 AD 二 AB =2BC =2，得 A(0,0,0)，P(0,0,2), B(2,0,0), M (1-,1),D(0,2,0)因?yàn)?PB DM =(2,0,2)(1,-|,1) -0，所以PB _ DM。(2)因?yàn)?PB AD =(2,0, -2) (0,2,0) -0所以 PB _ AD，又 PB _ DM ，的法向量。故 PB _ 平面 ADMN，即 PB 二(2, 0, - 2)是平面 ADMN設(shè)BD與平面ADMN所成的角為又BD = ( -2, 2, 0)。|BD|PB| 4 44 4ji。則sin日co

12、s v BD , PB 1叫卩嘰 円K” 兀又八0 , ，故，即BD與平面ADMN所成的角是2 6610分因此BD與平面ADMN所成的角為二，63. 【揭陽 理】17.（本小題滿分14分）.AD* =60：，AD1 =4，如圖，已知 ABCD -B1C1D1是底面為正方形的長方體， 點(diǎn)P是AD1上的動點(diǎn).（1）試判斷不論點(diǎn) P在AD1上的任何位置，是否都有平面B1PA1垂直于平面 AA1D1 ?并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)P為AD1的中點(diǎn)時，求異面直線 AA1與B1P所成角的余弦值;（3）求PB1與平面AA.D1所成角的正切值的最大值【解】（1）不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，都有平面B1PA1垂直

13、于平面 AA1D1 .-1分證明如下：由題意知，B1A A1D1， DA _ A A又：* AA1 f A D1 = A1- B1A _ 平面 AA( D1又A1B1 平面B1 PA-i-平面B1 PA _平面AA D1 . 4 分（2）解法一：過點(diǎn)P作PE _，垂足為E，連結(jié)B1E （如圖），則PE / AA, - BPE是異面直線 AA與B1P所成的角. 6 分在 Rt AAi D1 中 AD1A1 60/. A1AD1 = 30 A1BA1D1AD2,A11A1D1 =1,2 2-B1E BA廠AE2 =穢5 .又 PE 二一AA =毎.2在 Rt B1PE 中，B1P.5 3=2、2c

14、os/BjPE =PEB1P、32：28分.異面異面直線AA與BiP所成角的余弦值為9 分解法二：以A為原點(diǎn)，A,Bi所在的直線為X軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則A(0,0,0),A(0,0,2 .3)，Bi(2,0,0)，P(0，3)， AA = (0,0,2 .3)，BP =(-21,3)-6 分62 32,2異面異面直線 AAi與BiP所成角的余弦值為(3)由(1)知，3A _ 平面 AA1Di ,Bi PA是PBi與平面AAiDi所成的角， 10 分且 tan _ B1 PA| = 旦A12_AP AP11 分當(dāng)AP最小時，ta nBfA最大，這時 AP_AD1，由AP = A1。1

15、AA二心-一伯分AD1得 tan B1 PA-i-14 分2衛(wèi)，即PB1與平面AAD所成角的正切值的最大值34. 【揭陽 文】17.(本小題滿分13分)如圖，已知 ABCD -406是底面為正方形的長方體, 點(diǎn)P是AD1上的動點(diǎn).B1C1(1)試求四棱錐 卩-人啟1。1。1體積的最大值；(2)試判斷不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，是否都有平面Bi PA垂直于平面AA D1 ?并證明你的結(jié)論?！窘狻?1) ABCD -B1C1D1 是長方體 側(cè)面 AA1D1 _ 底面 A1B1C1D1四棱錐P-ABGD!的高為點(diǎn)P到平面AB1C1D1的距離2 分當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，四棱錐 A1B1C1D1的高取得

16、最大值，這時四棱錐P - AB1C1D1體積最大3分在 Rt AA1D1 中 AD1A1 =60： AR =A0sin60； = 2, 4 分AD| = AD1 cos60 = 25 分(VpB1C1 D)maxiSA1 E3C 1D17 分(2)不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，都有平面 B1PA1垂直于平面 AA1D1.8分證明如下：由題意知，B1A A1D1, BA _ AA又 T AA1 f A D1 = A1- B1A 平面 AA| D1又A3二平面B1PA1 .平面B1 PA _平面AA1D1 . 13 分5. 【汕頭潮南區(qū) 理】18 (本題14分)1如圖，直角梯形 ABCE 中，.A

17、BC-BCDfABCYCEP，D 是 CE0 乞t ： 2a。(1) 求直線AE與平面CDE所成的角;的中點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N在厶ADE繞AD向上翻折 的過程中，分別以的速度，同時從點(diǎn)A和點(diǎn)B 沿AE和BD各自勻速行進(jìn)，t為行進(jìn)時間，(2)求證：MN/平面CDE。【解】(1 )因AD _ED,AD _CD，所以AD丄平面CDE , ED是AE在平面CDE上的射影，/ AED=45,所以直線AE與平面CDE所成的角為45（2）解法一：如圖，取 AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系 Axyz.則 7D =(0,a,0) 5分設(shè)心冷弋從叫子“），得 MN =(x2羽,0, y2 -yj由=0 ,得

18、 MN _ AD，而 是平面CDE的一個法向量，且 MN二平面CDE , 所以MN/平面 CDE- 14分9分X解法二：設(shè)在翻轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)M到平面CDE的距離為di，點(diǎn)N到平面CDE的距離為d?,則 di = (、2a - t)cos a4同理 d?(、. 2a - t) = a -2 2所以d1 =d2，故 MN/平面CDE解法三：如圖，過 M作MQ/AD 交ED于點(diǎn)Q ,過N作NP/AD交CD于點(diǎn)P,連接MN和PQ5 分設(shè)ADE向上翻折的時間為t,則AM = t,BN = t（0 _ t 一 一2a）7分廠1因AB =BC CE =a，點(diǎn)D是CE的中點(diǎn)，得 2AB = BC = CD =

19、DE = a ,四邊形ABCD為正方形，ADE為 等 腰 三角 形ME =、2a -，t, DN -、2a - t 10分在 Rt EMQ 和 Rt DNP 中，ME=ND，/ MEQ= / NDP=45,所以 Rt EMQ 也Rt DNP , 所以MQ/NP且MQ=NP，的四邊形 MNPQ為平行四邊形，所以 MN/PQ，因MN二平面 CDE ,PQ 平面CDE，所以MN/平面CDE6.【汕頭澄海區(qū) 文 19.（本小題滿分14分）A圖（1）圖23如圖（1）, MBC是等腰直角三角形, 點(diǎn)，將 AEF沿EF折起，使A在平 面BCEF上的射影O恰為EC的中點(diǎn)， 得到圖（2）.（I）求證：EF _

20、A C ;（n）求三棱錐F -ABC的體積.AC = BC=4, E、F 分別為 AC、AB 的中【解】（I）證法一：在.ABC中，EF是等腰直角.ABC的中位線,.EF _ AC 2 分在四棱錐 A-BCEF 中，EF_AE , EF _ EC ,EF _平面A EC，5分又AC 平面A EC,.EF _ A C7 分證法二：同證法一 EF _ EC2分.A O _ EF.EF _ 平面 A EC，5 分又A C 平面A EC ,.EF _ A C7 分(n)在直角梯形 EFBC中，EC =2, BC =4,1S fbc BC EC = 49 分2又：AO垂直平分EC ,.A 0 二，A E

21、2 -EO2 二 311 分VF .A Be =V_FBC-3s. FBC A 0 =1 4 . 3313分14 分43_ 3三棱錐F - A BC的體積為4 337.【湛江市 理】18.（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐 P-ABC 中， PA=3, AC=AB=4 , PB=PC=BC=5 , D、E 分別是 BC、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上的一點(diǎn)，且 PF:FC=3:1 .（I）求證：PA丄BC ;（n）試在 PC上確定一點(diǎn) G,使平面 ABG /平面DEF;（川）在滿足（n）的情況下，求二面角 G-AB-C的Fb平面角的正切值.S ABES ABC25.3981又 S abe vAB EH

22、【解】(I )在厶PAC 中，T PA=3, AC=4 , PC=5,2 2 2 PA2 AC = PC2 , PA_ AC ；1 分又 AB=4 , PB=5，在 PAB 中，同理可得 PA _ AB 2分 AC AB = A , PA _ 平面 ABC 3 分/ BC 平面 ABC , PA丄 BC. 4 分(H )如圖所示取PC的中點(diǎn)G , 5分連結(jié) AG , BG , PF:FC=3:1, F 為 GC 的中點(diǎn) 又D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)， AG / EF, BG / FD，又 AGH GB=G , EFA FD=F7 分 面 ABG /面 DEF即PC上的中點(diǎn)G為所求的點(diǎn)（川）由

23、（H ）知G這PC的中點(diǎn)，連結(jié) GE,. GE丄平面 ABC，過E作EH丄AB于H，連結(jié)GH，貝U GH丄AB，/ EHG為二面角 G-AB-C的平面角13分EG- tan EHGEH3 168 39=X -=2 5、3965.面角G-AB-C的平面角的正切值為8 396514分1 3 又 GE PA2 2&【湛江市 文】18.（本小題滿分14分）如圖，平行四邊形 ABCD中，CD =1, - BCD =60 且BD _ CD，正方形ADEFED(川)求三棱錐D-CEF的體積.(I)證明：平面 ADEF _平面ABCD，交線為AD - ED _ ADn)(出) ED _ 平面 ABCD ED

24、_ BD 又 BD _ CD BD _ 平面 CDE證明：連結(jié) EA，則G是AE的中點(diǎn) EAB 中，GH/AB 又 AB/CD GH / CD GH / 平面 CDE解：設(shè) Rt BCD中BC邊上的高為1依題意：2 h =2即：點(diǎn)C到平面1 1,32DEF的距離為- Vd _CEF - Vc _deF2_321.2 2 泌22310分14分14分9. 【中山 文】18.(本題滿分14分)如圖ABCD是正方形，0 是正方形的中心，PO_底面ABCD , E是PC的中點(diǎn).求證：(1) . PA/平面 BDE ;(2).平面PAC _平面BDE .【解】證：(1)連接 AC、OE, AC BD=O

25、,在厶PAC中，T E為PC中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn). PA / EO,3分 P又 EO 二平面 EBD , PA 二平面 EBD , PA /BDE .(2)T PO _ 底面 ABCD , PO _ BD .又 BD _AC , BD _ 平面 PAC.7分E9分COB又BD 平面BDE，平面 PAC_平面BDE .方法二：建空間直角坐標(biāo)系，解決問題。分110. 【中山理】18.(本題滿分14分)如圖，四面體 中占 CA =CB =CD = BD = 2, AB = AD =(I) 求證：AO 平面BCD ;(II) 求異面直線 AB與CD所成角的余弦；(III )求點(diǎn)E到平面ACD的距離.【解

26、】方法一：(I)證明：連結(jié)OC；BO =D0, AB = AD,二 AO 丄 BD.T BO 二 DO,BC 二 CD, CO _ BD.3分c在AOC中，由已知可得AO C。= T.2 2 2而 AC =2, AO CO = AC ,又 AO _ BD, BDOC =0,AOC =90,即 AO _OC.AO _平面BCD5分(II)解：取AC的中點(diǎn)M ,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME / AB,OE/ DC-直線OE與EM所成的銳角就是異面直線 AB與CD所成的角。 6分在二OME中，EM Jab r-OEDC =1,2 2 2?0M是直角 AOC斜邊AC上的中線,1 .OM

27、 AC =1,2cosOEM= 11/22V42/24異面直線AB與CD所成角大小的余弦為 .2/4 ; 9分(III )解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.VE /CD VA -CDE ,1q.ao.scde.在 ACD 中，CA 二 CD = 2, AD 二、2,12分13分而 AO = 1,S c DEh 二 AO.S CDES.acd.211乜2IT 722i14分.點(diǎn)E到平面ACD的距離為.7方法二：(I) 同方法一.5分(II) 解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則 B(1,0,0), D(_1,0,0), C(0, .3,0), A(0,0,1), E,仝,0), 6分2 2BA = (1,0,1),CD 十 1,一.3,0).cos“,CD = BA.CDCD=2/4 ；(III )解：設(shè)平面ACD的法向量為n二(x, y, z),則n.AD =(x, y,z).(1,0,1)=0, n.AC =(x,y,z).(0, .3, -1) =0,x z =0,I ：J3y -z = 0.令y =1,得n =(-、/3,1, 一3)是平面ACD的一個法向量. 12分又EC十1,乜,0), 點(diǎn)E到平面ACD的距離2 214分11. 【珠海 理】18.(文科18)(本小題滿分14分)已知PA 平A面 ABCD , PA