全國各地中考數(shù)學(xué)分類圓綜合題(解析版)0001

1、圓中考分類(4)參考答案與試題解析一.解答題(共30小題)1. ( 2017?恩施州)如圖， AB CD是O O的直徑，BE是O O的弦，且 BE/ CD,過點(diǎn)C的切 線與EB的延長線交于點(diǎn) P,連接BC.(1) 求證：BC平分/ ABP(2) 求證：pC2=pb?pe(3) 若 BE- BP=PC=4 求O O 的半徑.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KD:全等三角形的判定與性質(zhì)；S9:相似三角形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )由BE/ CD知/仁/ 3，根據(jù)/ 2=7 3即可得/仁/2;(2) 連接 EC AC,由 PC是O O 的切線且 BE/ DC,得/ 1 + 7 4=90,由

2、/ A+7 2=90 且/ A=7 5 知7 5+7 2=90 ,根據(jù)7 1=7 2 得7 4=7 5，從而證得 PB3A PCE即可；(3) 由 PC?=PB?PE BE- BP=PC=4求得 BP=2、BE=6,作 EF CD 可得 PC=FE=4 FC=PE=8 再RtA DEF RtA BCP得DF=BP=2據(jù)此得出 CD的長即可.【解答】 解：(1)v BE/ CD,7 仁7 3,又 OB=OC, 7 2=7 3, 7 1 = 7 2, 即卩 BC平分7 ABP; PC是O O的切線, 7 PCD=90, 又 BE/ DC, 7 P=90 , 7 1 + 7 4=90,/ AB為O

3、O直徑，/ A+Z 2=90,又/ A=Z 5, Z 5+Z 2=90,vZ 1 = Z 2, Z 5=Z 4,vZ P=Z P, PB3A PCE_：!_ =，即卩 pc(2017?常德)如圖，已知 AB是O O的直徑，CD與O O相切于 C, BE/ CO.(1)求證：BC是Z ABE的平分線；(2 )若DC=8, O O的半徑 OA=6 ,求CE的長.=pb?pePE PC(3)v BE- BP=PC=4 BE=4+BP ,v P&=PB?PE=PB?( P由BE), 42=PB? ( pbm+pb),即 pb2+2PB- 8=0 ,解得：PB=2, 貝U BE=%PB=6, PE=PB

4、fBE=8,作EF CD于點(diǎn)F, vZ P=Z PCF=90 ,四邊形PCFE為矩形， PC=FE=4 FC=PE=8 Z EFD=Z P=90,v BE/ CD, J-.=:, DE=BC在 RtA DEF和 RtA BCP 中，.DE二BCEF二CP RtA DEF RtA BCP ( HL), DF=BP=2,則 CD=DF+CF=10 , O O的半徑為5.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)， 熟練掌握平行線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形 的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì). 菁優(yōu)網(wǎng)

5、版權(quán)所有【分析】(1 )由 BE/ CO,推出/ OCB=Z CBE 由 OC=OB 推出/ OCB=Z OBC,可得/ CBE= / CBO;(2)在RtACDO中，求出 OD,由OC/ BE,可得=，由此即可解決問題；CE 0B【解答】(1 )證明：T DE是切線，OC丄 DE,/ BE/ CO,/ OCB=Z CBE/ OC=OB,/ OCB=Z OBC,/ CBE=Z CBO, BC 平分/ ABE(2)在 RtACDO 中，T DC=8, OC=0A=6.OD=Yi二-10,TOC/ BE, ?= CE OB.JL =10= EC=4.8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角

6、平分線的定義、勾股定理等知識(shí)，解題的 關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.3. (2017?遵義)如圖，PA、PB是O O的切線，A、B為切點(diǎn)，/ APB=60連接PO并延長 與O O交于C點(diǎn)，連接AC, BC.(1) 求證：四邊形 ACBP是菱形；(2) 若0 O半徑為1，求菱形ACBP的面積.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；LA:菱形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)連接AO, B0,根據(jù)PA、PB是O O的切線，得到/ OAP=Z OBP=90 , PA=PB/ APO=Z BPO/ APB=30 ,由三角形的內(nèi)角和得到/AOP=60，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得2到/ ACO

7、=30，得到AC=AP,同理BC=PB于是得到結(jié)論；(2)連接AB交PC于D,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AD丄PC,解直角三角形即可得到結(jié)論.【解答】解：(1)連接AO, BO,/ PA、PB是O O的切線，/ OAP=Z OBP=90 , PA=PB / APO=Z BPO= / APB=30 ,2:丄 AOP=60 ,/ OA=OC,/ OAC=Z OCA,/ AOP=Z CAO+Z ACO,/ ACO=30 , Z ACO=Z APO, AC=AP,同理BC=PB AC=BC=BP=AP四邊形ACBP是菱形；(2)連接AB交PC于D , AD 丄 PC, OA=1, Z AOP=60 , AD

8、=OA=,2 2 PD=,2 PC=3, AB=:,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定, 熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4. ( 2017?大連)如圖，AB是O O直徑，點(diǎn) C在O O上，AD平分/ CAB, BD是O O的切線, AD與BC相交于點(diǎn)E.(1) 求證：BD=BE(2) 若 DE=2, BD=二，求 CE的長.占KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)設(shè)/ BADa ,由于AD平分/ BAC,所以/ CAD=Z BADa，進(jìn)而求出/ D=Z BED=90 -a從而可知BD=BE(2)設(shè) CE=x 由于 AB 是

9、O O 的直徑，/ AFB=90 ,又因?yàn)?BD=BE DE=2, FE=FD=1 由于BD=-,所以tan a=,從而可求出 AB= =2 7 ,利用勾股定理列出方程即可求出x2sinCL的值.【解答】 解：(1)設(shè)/ BADa ,/ AD 平分/ BAC/ CAD=Z BADa ,/ AB 是O O 的直徑,ACB=90 ,:丄 ABC=90 - 2a ,/ BD是O O的切線， BD 丄 AB ,/ DBE=a ,/ BED=Z BAD+Z ABC=90 - a ,/ D=180 -Z DBE-Z BED=90 - a, Z D=Z BED, BD=BE(2)設(shè)AD交O O于點(diǎn)F, CE

10、=x連接BF,/ AB是O O的直徑， Z AFB=90 ,/ BD=BE, DE=2, FE=FD=1, BD=.,.t 1-tan a=,2 AC=2x AB= ：=2 -sin1在 RtA ABC 中，由勾股定理可知：(2x) 2+ (x+ ) 2= (2二)2,解得：x=-空K或x=_L【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問題， 涉及切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解方程等知識(shí), 綜合程度較高，屬于中等題型.5. (2017?金華)如圖，已知：AB是O O的直徑，點(diǎn) C在O O上，CD是O O的切線，AD丄CD于點(diǎn)D, E是AB延長線上一點(diǎn)， CE交O O于點(diǎn)F,連接 OC AC.(1) 求證：

11、AC平分/ DAO.(2) 若/ DAO=105，/ E=30 求/ OCE的度數(shù)； 若O O的半徑為2，求線段EF的長.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì). 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)由切線性質(zhì)知 OC丄CD,結(jié)合AD丄CD得AD / OC,即可知/ DAC=Z OCA=Z OAC,從而得證；(2)由 AD/ OC知/ EOC=Z DAO=105，結(jié)合/ E=30可得答案；作OG丄CE,根據(jù)垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)知CG=FG=OG由OC=2&得出CG=FG=OG=2 在 RtA OGE 中，由/ E=30 可得答案.【解答】 解：(1)v CD是O O的切線， OC 丄 CD,/ AD丄 CD

12、, AD / OC, / DAC=Z OCA,/ OC=OA, / OCA=Z OAC,/ OAC=/ DAC, AC 平分/ DAO;(2：AD/ OC,/ EOC=/ DAO=105 ,/ E=30,/ OCE=45;作OG丄CE于點(diǎn)G, 貝U CG=FG=OG/ OC=2 匚，/ OCE=45,CG=OG=2 FG=2,在 RtA OGE 中，/ E=30 , GE=2 7,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、 垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)是解題 的關(guān)鍵.6. (2017?東營)如圖，在厶 ABC中

13、，AB=AC,以AB為直徑的O O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作 OO的切線DE,交AC于點(diǎn)E, AC的反向延長線交O O于點(diǎn)F.(1)求證：DE丄AC;【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KH:等腰三角形的性質(zhì)； KQ:勾股定理；LD:矩形的判定與性 質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )欲證明DE丄AC,只需推知 OD/ AC即可；(2)如圖，過點(diǎn) O作OH丄AF于點(diǎn)H,構(gòu)建矩形 ODEH,設(shè)AH=x.則由矩形的性質(zhì)推知：2 2 2AE=10- x, OH=DE=8( 10- x) =x- 2.在 RtAAOH 中，由勾股定理知： x + (x- 2) =10 , 通過解方程得到 AH的長度，結(jié)合 OH丄AF,

14、得到AF=2AH=2X 8=16.【解答】(1 )證明：T OB=OD,/ ABC=Z ODB,/ AB=AC,/ ABC=Z ACB,/ ODB=Z ACB, OD / AC./ DE是O O的切線，OD是半徑， DE丄 OD, DE 丄 AC;(2)如圖，過點(diǎn) O作 OH丄 AF于點(diǎn) H,則/ ODE=Z DEH=Z OHE=90 ,四邊形ODEH是矩形， OD=EH, OH=DE設(shè) AH=x./ DE+AE=8, OD=10, AE=10- x, OH=DE=8-( 10 - x) =x- 2.在 RtAAOH 中，由勾股定理知： AH2+OH2=OA2, 即卩 x2+ (x- 2) 2

15、=102, 解得xi=8, X2=- 6 (不合題意，舍去). AH=8./ OH 丄 AF, AH=FH= 一 AF,2 AF=2AH=2X 8=16.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)， 勾股定理，矩形的判定與性質(zhì). 解題時(shí)，利用了方程思想， 屬于中檔題.7. (2017?湖州)如圖，O為RtA ABC的直角邊 AC上一點(diǎn)，以 OC為半徑的O O與斜邊 AB 相切于點(diǎn) D,交OA于點(diǎn)E.已知BC=二,AC=3.(1 )求AD的長；(2)求圖中陰影部分的面積.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；MO:扇形面積的計(jì)算. 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )首先利用勾股定理求出 AB的長，再證明BD=BC進(jìn)而由AD=

16、AB-BD可求出;(2)利用特殊角的銳角三角函數(shù)可求出/A的度數(shù)，則圓心角/ DOA的度數(shù)可求出，在直角三角形ODA中求出OD的長，最后利用扇形的面積公式即可求出陰影部分的面積.【解答】解：_(1 )在 RtAABC中，T BC= ：, AC=3.二 abhJac+BC，/ BC丄 OC, BC是圓的切線，VO O與斜邊AB相切于點(diǎn)D, BD=BC, AD=AB- BD=2 二-7=二；(2 )在 RtA ABC 中，/ si nA= =_ =，AB 2V3 2 / A=30 ,VO O與斜邊AB相切于點(diǎn)D, OD 丄 AB, / AOD=90 -Z A=60 ,=tanA=tan30 AD=

17、匚 OD=1 ,.c eon xi2 n. s陰影=一3606【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及勾股定理的運(yùn)用，熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.& (2017?邵陽)如圖所示，直線 DP和圓O相切于點(diǎn)C,交直徑AE的延長線于點(diǎn) P.過點(diǎn) C作AE的垂線,交 AE于點(diǎn)F ,交圓O于點(diǎn)B.作平行四邊形 ABCD,連接BE, DO, CO.(1) 求證：DA=DC;(2) 求/ P及Z AEB的大小.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；L5:平行四邊形的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )欲證明DA=DC只要證明 RtA DAOA RtA DCO即可；(2)想辦法證明Z P=30即可解決

18、問題；【解答】(1 )證明：在平行四邊形 ABCD中，AD/ BC,VCB 丄 AE, AD 丄 AE, Z DAO=90 ,DP與O O相切于點(diǎn)C, DC 丄 OC,/ DCO=90 ,在 RtA DAO 和 RtA DCO 中，So 二 DO1 AO 二 CO RtA DAOA RtA DCO, DA=DC.(2 ) CB丄AE, AE是直徑， CF=FB= BC,2 四邊形ABCD是平行四邊形, AD=BC, CF= AD,2 CF/ DA, PCFA PDA,._CF_1T, PCPD, DCPD,2 2/ DA=DC, DAPD,2在 RtA DAP 中，/ P=30, DP/ AB

19、, / FAB=Z P=30, AE是O O的直徑， / ABE=90 , / AEB=60 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、 平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形 中30度角的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或 相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.9. （2017?溫州）如圖，在 ABC中，AC=BC / ACB=90, O O （圓心 O在厶ABC內(nèi)部）經(jīng)過B C兩點(diǎn)，交 AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作O O的切線交AC于點(diǎn)F.延長CO交AB于點(diǎn)G,作ED/ AC交CG于點(diǎn)D(1)求證：四邊形 CDEF是平行四邊形；(2 )若 BC=3, tan /

20、 DEF=2 求 BG 的值.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；L7:平行四邊形的判定與性質(zhì)；T7:解直角三角形. 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)連接CE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/B=45，根據(jù)切線的性質(zhì)得到/FEO=90,得到EF/ OD,于是得到結(jié)論；(2)過G作GN丄BC于N,得到 GMB是等腰直角三角形，得到 MB=GM，根據(jù)平行四邊 形的性質(zhì)得到/ FCD=Z FED,根據(jù)余角的性質(zhì)得到/ CGM=Z ACD,等量代換得到/ CGM=Z DEF,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=2GM，于是得到結(jié)論.【解答】解：(1)連接CE在 ABC 中，AC=BC / ACB=90 ,/ B=45 ,/

21、COE=2/ B=90 ,/ EF是O O的切線， / FEO=90 , EF/ OC,DE/ CF,四邊形CDEF是平行四邊形；(2)過G作GN丄BC于N , GMB是等腰直角三角形， MB=GM , 四邊形CDEF是平行四邊形， / FCD=Z FED, / ACD+/ GCB=/ GC申/ CGM=9 , / CGM=/ ACD, / CGM=/ DEF,/ tan / DEF=2 tan / CGM= =2 , CM=2GM , CM+BM=2GM+GM=3, GM=1 , BG= -GM=.Jr.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì), 解直

22、角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.10. (2017?隨州)如圖，在 RtA ABC中，/ C=90 AC=BC點(diǎn)O在AB上，經(jīng)過點(diǎn) A的O O 與BC相切于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.(1) 求證：AD平分/ BAC;(2) 若CD=1，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留n).【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KF:角平分線的性質(zhì)；KW:等腰直角三角形； MO:扇形面積的計(jì)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)連接DE, OD.利用弦切角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等角的余角相等 證明/ DAO=Z CAD,進(jìn)而得出結(jié)論；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ B=Z BAC=45 ,由BC相切O O于點(diǎn)D,得到/

23、 ODB=90 , 求得OD=BD, / BOD=45 ,設(shè)BD=x貝U OD=OA=x OB= =x,根據(jù)勾股定理得到 BD=OD=匚, 于是得到結(jié)論.【解答】(1 )證明：連接DE, OD. BC相切O O于點(diǎn)D,/ CDA=Z AED, AE為直徑，/ ADE=90 ,/ AC 丄 BC,/ ACD=90 ,/ DAO=Z CAD, AD 平分/ BAC;(2)在 RtAABC中，/ C=90, AC=BC / B=Z BAC=45 , BC相切O O于點(diǎn)D,/ ODB=90 ,OD=BD,./ BOD=45 ,設(shè) BD=x,貝U OD=OA=x OB=JjX,BC=AC=)+1 , A

24、C2+BC?=AB2, 2 (x+1) 2= (“J：x+x) 2, x= .：, _BD=OD=匚，圖中陰影部分的面積=SLbod - S扇形doE X血 X啟 血蔦嚴(yán)尸=1 牛數(shù)學(xué)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，角平分線的定義，扇形面積的計(jì)算和勾股定理.熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11. (2017?河北)如圖，AB=16, O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上(不與點(diǎn) O, B重合)， 將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270后得到扇形 COD, AP, BQ分別切優(yōu)弧 I吁點(diǎn)P, Q,且點(diǎn)P,Q在AB異側(cè)，連接OP.(1) 求證：AP=BQ;(2) 當(dāng)BQ=4二時(shí)，求-丨啲長(結(jié)果保留 n);(3

25、) 若厶APO的外心在扇形 COD的內(nèi)部，求 OC的取值范圍.O【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；MN :弧長的計(jì)算；R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)連接OQ.只要證明RtA APO RtA BQO即可解決問題；(2) 求出優(yōu)弧DQ的圓心角以及半徑即可解決問題；(3) 由厶APO的外心是 OA的中點(diǎn)，OA=8，推出 APO的外心在扇形 COD的內(nèi)部時(shí)，OC 的取值范圍為4 V OCV 8;【解答】(1)證明：連接OQ. AP、BQ是O O的切線，OP丄AP, OQ丄 BQ,/ APO=Z BQO=90 ,在 RtA APO 和 RtA BQO 中，r0A=0BOP二0Q RtA APO

26、 RtA BQO, AP=BQ.(2 )T RtAAPOB RtA BQO,/ AOP=Z BOQ, P、O、Q三點(diǎn)共線，在 RtA BOQ 中，cosB=l=,OB 82/ B=30, / BOQ=60 , OQ=OB=4,2/ COD=90 ,/ QOD=9+60=150,優(yōu)弧I啲長=.=n ,1803(3) APO的外心是 OA的中點(diǎn)，OA=8 , APO的外心在扇形 COD的內(nèi)部時(shí)，OC的取值范圍為4 V OCv 8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、弧長公式、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外心等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.12. (2017?天津)已知

27、AB是O O的直徑，AT是O O的切線，/ ABT=50 BT交O O于點(diǎn)C, E是AB上一點(diǎn)，延長 CE交O O于點(diǎn)D.(1) 如圖，求/ T和/ CDB的大??；(2) 如圖，當(dāng) BE=BC時(shí)，求/ CDO的大小.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì). 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )根據(jù)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，得/TAB=90,根據(jù)三角形內(nèi)角和得/ T的度數(shù)，由直徑所對(duì)的圓周角是直角和同弧所對(duì)的圓周角相等得/CDB的度數(shù)；(2)如圖，連接 AD,根據(jù)等邊對(duì)等角得：/ BCE=Z BEC=65,利用同圓的半徑相等知： OA=OD,同理/ ODA=Z OAD=65 ,由此可得結(jié)論.【解答】

28、解：(1)如圖，連接 AC,/ AT是O O切線，AB是O O的直徑， AT丄 AB,即/ TAB=90 ,/ ABT=50 ,/ T=90 -Z ABT=40 ,由AB是O O的直徑，得Z ACB=90 , Z CAB=90 -Z ABC=40 , Z CDB=Z CAB=40 ;(2)如圖，連接 AD,在厶 BCE 中，BE=BC Z EBC=50 , Z BCE=Z BEC=65, Z BAD=Z BCD=65 ,/ OA=OD, Z ODA=Z OAD=65 , vZ ADC=Z ABC=50 , Z CDO=Z ODA-Z ADC=65 - 50=15.圖【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線、

29、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，熟練掌 握切線的性質(zhì)是關(guān)鍵，注意運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角相等.13. (2017?山西)如圖， ABC內(nèi)接于O O,且AB為O O的直徑，OD丄AB,與AC交于點(diǎn)E, 與過點(diǎn)C的O O的切線交于點(diǎn) D.(1 )若 AC=4, BC=2,求 OE 的長.(2)試判斷Z A與Z CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KQ:勾股定理；S9:相似三角形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）由圓周角定理得出/ ACB=90,由勾股定理求出 AB=,-i=2二，得出OA=AB=二，證明 AOEA ACB,得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案；（2）連

30、接OC,由等2腰三角形的性質(zhì)得出/ 仁/A,由切線的性質(zhì)得出 OC丄CD,得出/ 2+Z CDE=90，證出/ 3= / CDE再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論.【解答】解：（1）v AB為O O的直徑，/ ACB=90 ,在RtAABC中，由勾股定理得：AB= -二廿二 =2二,OAAB=二，2/ OD 丄 AB,/ AOE=Z ACB=90 ,又/ A=Z A, AOEA ACB,.門即鯊召，-4，解得：OE=-;2（2）Z CDE=2Z A,理由如下：連接OC,如圖所示：/ OA=OC,/ 仁/A,/ CD是O O的切線， OC 丄 CD,/ OCD=90 ,/ 2+Z CDE=90,/

31、 OD 丄 AB , Z 2+Z 3=90, Z 3=Z CDEvZ 3=Z A+Z 1=2Z A , Z CDE=2Z A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰 三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的性質(zhì) 是解決問題的關(guān)鍵.14. (2017?郴州)如圖，AB是O O的弦，BC切O O于點(diǎn)B, AD丄BC,垂足為 D, OA是O O 的半徑，且 OA=3.(1) 求證：AB平分/ OAD;(2) 若點(diǎn)E是優(yōu)弧 U上一點(diǎn)，且/ AEB=60 ,求扇形OAB的面積.(計(jì)算結(jié)果保留 n【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；MO:

32、扇形面積的計(jì)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)連接OB,由切線的性質(zhì)得出 OB丄BC,證出AD/ OB,由平行線的性質(zhì)和等腰 三角形的性質(zhì)證出/ DAB=Z OAB,即可得出結(jié)論；(2)由圓周角定理得出/ AOB=120，由扇形面積公式即可得出答案.【解答】(1 )證明：連接OB,如圖所示： BC切O O于點(diǎn)B,OB丄 BC,/ AD丄 BC, AD / OB,/ DAB=Z OBA,/ OA=OB,/ OAB=Z OBA,/ DAB=Z OAB, AB 平分/ OAD;(2)解：點(diǎn) E是優(yōu)弧工匚上一點(diǎn)，且/ AEB=60 ,/ AOB=2/ AEB=120,扇形OAB的面積=_ -=3n.36

33、0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、扇形面 積公式等知識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵.15. (2017?宜昌)已知，四邊形 ABCD中，E是對(duì)角線 AC上一點(diǎn)，DE=EC以AE為直徑的 O O與邊CD相切于點(diǎn)D. B點(diǎn)在O O上，連接 OB.(1)求證：DE=OE【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；L9:菱形的判定.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)先判斷出/ 2+Z 3=90,再判斷出/ 仁/2即可得出結(jié)論；(2)先判斷出厶ABOA CDE得出AB=CD,即可判斷出四邊形 ABCD是平行四邊形， 最后判 斷出CD=AD即可.【解答】解：(1)如圖

34、，連接 OD,CD是O O的切線，OD 丄 CD,/ 2+Z 3=Z 1+Z COD=90 ,/ DE=EC Z 1 = Z 2, Z 3=Z COD, DE=OE(2 ) OD=OE, OD=DE=OE Z 3=Z COD=Z DEO=60 , Z 2=Z 仁30,/ OA=OB=OE, OE=DE=EC OA=OB=DE=EC/AB/ CD, Z 4=Z 1 , Z 1 = Z 2=Z 4=Z OBA=30 , ABOA CDE AB=CD,四邊形ABCD是平行四邊形,/ DAE=- / DOE=30 ,2/ 仁/ DAE, CD=AD, ?ABCD是菱形.【點(diǎn)評(píng)】此題是切線的性質(zhì)，主要考

35、查了同角的余角相等，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，判斷出厶ABOA CDE是解本題的關(guān)鍵.16. (2017?鄂州)如圖，已知 BF是O O的直徑，A為O O上(異于B、F) 點(diǎn)，O O的切 線MA與FB的延長線交于點(diǎn) M; P為AM上一點(diǎn)，PB的延長線交O O于點(diǎn)C, D為BC上一 點(diǎn)且PA=PD AD的延長線交O O于點(diǎn)E.(1)求證：丨.=I ；(2 )若ED EA的長是一元二次方程 x2- 5x+5=0的兩根，求BE的長；【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；AB:根與系數(shù)的關(guān)系；T7:解直角三角形. 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )連接OA、OE交BC于T.想辦法證明 OE

36、丄BC即可；(2) 由ED EA的長是一元二次方程 x2- 5x+5=0的兩根，可得ED?EA=5由厶BEDA AEB, 可得=，推出be2=de?ea=5即可解決問題；(3) 作AH丄OM于H.求出AH、BH即可解決問題；【解答】(1 )證明：連接 OA、OE交BC于T./ AM是切線，/ OAM=9 ,/ PA)/ OAE=90 ,/ PA=PD,/ PAD=/ PDA=/ EDT,/ OA=OE,/ OAE=/ OEA,/ EDT+/ OEA=90 ,/ DTE=90 ,OE 丄 BC, LI.(2)T ED EA的長是一元二次方程 x2- 5x+5=0的兩根, ED?EA=5,= :,

37、 / BAE=/ EBD, / BED=/ AEB, BEDA AEB,-=_2- BE =DE?EA=5 BE=二.(3)作AH丄OM于H.在 RtA AMO 中，/ AM=6 二,sin/ M=,設(shè) OA=m , OM=3m ,3 OM 9m2- m2=72 , m=3 , 0A=3 , OM=9 ,易知/ OAH=/ M , tan / OAD=,AH 3 OH=1 , AH=2 匚.BH=2 , AB=i ：=2_：.屬于中【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角 三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，考?jí)狠S題

38、.17. (2017?賀州)如圖，O O是厶ABC的外接圓，AB為直徑，/ BAC的平分線交O O于點(diǎn)D, 過點(diǎn)D的切線分別交 AB, AC的延長線于E, F,連接BD.(1)求證：AF丄EF;(2 )若AC=6, CF=2求O O的半徑.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；M5 :圓周角定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )連接OD,由切線的性質(zhì)和已知條件可證得OD/ EF,則可證得結(jié)論；(2)過D作DG丄AE于點(diǎn)G,連接CD,則可證得厶 ADFA ADGA CDFA BDG,則可求 得AB的長，可求得圓的半徑.【解答】(1 )證明：如圖1,連接OD,圖1 EF是O O的切線，且點(diǎn) D在O O 上,OD

39、 丄 EF,/ OA=OD,/ DAB=Z ADO,/ AD 平分/ BAC,/ DAB=Z DAC,/ ADO=Z DAC, AF / OD, AF 丄 EF;(2)解：如圖2,過D作DG丄AE于點(diǎn)G,連接CD,/ BAD=/ DAF, AF丄 EF, DG丄 AE, BD=CD, DG=DF,在 RtA ADF 和 RIA ADG 中;AD=ADdf=dg RtA ADF RtAADG ( HL),同理可得 RtA CDF RtA BDG, BG=CF=2 AG=AF=AGCF=6+2=8, AB=AG+BG=8+2=10, O O 的半徑 OA=_AB=5.2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性

40、質(zhì)及圓周角定理，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，注意全等三角形的應(yīng)用.18. (2017?威海)已知：AB為O O的直徑，AB=2,弦DE=1,直線AD與BE相交于點(diǎn) C,弦DE在O O上運(yùn)動(dòng)且保持長度不變，O O的切線DF交BC于點(diǎn)F.(1) 如圖 1,若 DE/ AB,求證：CF=EF(2) 如圖2，當(dāng)點(diǎn) E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn) B重合時(shí)，試判斷CF與BF是否相等，并說明理由.B【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KM:等邊三角形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )如圖1,連接OD、OE,證得 OAD、A ODE、A OEB CDE是等邊三角形, 進(jìn)一步證得DF丄CE即可證得結(jié)論；(2)根據(jù)切

41、線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論.【解答】證明：如圖1,連接OD、OE, / AB=2, OA=OD=OE=OB=1/ DE=1,OD=OE=DE ODE是等邊三角形，/ ODE=Z OED=60 ,DE/ AB,/ AOD=Z ODE=60，/ EOB=Z OED=60 , AOD和厶BOE是等邊三角形，/ OAD=Z OBE=60 ,/ CDE=Z OAD=60，/ CED=Z OBE=60 , CDE是等邊三角形，/ DF是O O的切線，OD 丄 DF,/ EDF=90 - 6030/ DFE=90 , DF丄 CE CF=EF(2)相等；如圖2,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，BC是O

42、 O的切線, O O的切線DF交BC于點(diǎn)F, BF=DF,/ BDF=Z DBF,/ AB是直徑，/ ADB=Z BDC=90 ,/ FDC=Z C, DF=CF, BF=CF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、 等腰三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵.19. （2017?南通）如圖，RtAABC中，/ C=90 BC=3,點(diǎn) O在 AB上，OB=2,以 OB為半徑 的O O與AC相切于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,求弦BE的長.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KQ:勾股定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】連接OD,首先證明四邊形 OFCD是矩形，從而得到 BF的長，然

43、后利用垂徑定理求 得BE的長即可.【解答】 解：連接OD,作OF丄BE于點(diǎn)F. BF= 一 BE,2/ AC是圓的切線， OD 丄 AC,/ ODC=Z C=Z OFC=90 ,四邊形ODCF是矩形，/ OD=OB=FC=2 BC=3, BF=BC- FC=BC- OD=3-2=1 , BE=2BF=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理及垂徑定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠利用切線 的性質(zhì)構(gòu)造矩形形，難度不大.20. (2017?河南)如圖，在 ABC中，AB=AC以AB為直徑的O O交AC邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)C 作CF/ AB,與過點(diǎn)B的切線交于點(diǎn) F,連接BD.(1)求證：BD=BF;(2 )若

44、 AB=10, CD=4,求 BC的長.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KH:等腰三角形的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )根據(jù)圓周角定理求出 BD丄AC,/ BDC=90，根據(jù)切線的性質(zhì)得出 AB丄BF,求 出/ ACB=/ FCB根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；(2)求出AC=10, AD=6,根據(jù)勾股定理求出 BD,再根據(jù)勾股定理求出 BC即可.【解答】(1 )證明：T AB是O O的直徑，/ BDA=90 , BD丄AC, / BDC=90 ,/ BF 切O O 于 B, AB 丄 BF,CF/ AB, CF丄 BF, / FCB=/ ABC,/ AB=AC, / ACB=/ ABC, / AC

45、B=/ FCB/ BD丄 AC, BF丄 CF, BD=BF;(2)解：T AB=10, AB=AC, AC=10,/ CD=4, AD=10 - 4=6,在RtA ADB中，由勾股定理得：BD=.：-_=8,在RtA BDC中，由勾股定理得：BC= .； ,=4】【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，角平分線性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)， 能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.21. (2017?北京)如圖，AB是O O的一條弦，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn) E作EC丄OA于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作O O的切線交CE的延長線于點(diǎn) D.(1) 求證：DB=DE(2) 若 AB=12, BD=5，求O O 的

46、半徑.【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì)；KQ:勾股定理；M2 :垂徑定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )欲證明DB=DE只要證明/ DEB=Z DBE(2)作 DF丄 AB 于 F,連接 OE.只要證明/ AOE=Z DEF,可得 sin/ DEF=sin/ AOE= =2,AO 5由此求出AE即可解決問題.【解答】(1 )證明：T AO=OB,/ OAB=/ OBA,/ BD是切線， OB丄 BD,/ OBD=90 ,/ OBE+/EBD=90 ,/ EC丄 OA,/ CAE+/ CEA=90,/ CEA=Z DEB,/ EBD=/ BED, DB=DE.(2)作DF丄AB于F,連接OE./ DB=

47、DE, AE=EB=6 EF=BE=3, OE丄 AB,2在 RtA EDF 中，DE=BD=5, EF=3, DF利&_產(chǎn)4,/ AOE+/ A=90, / DEF+/ A=90 ,/ AOE=/ DEF, sin / DEF=sinZ AOE=丄，AO 5/ AE=6,AO： O O的半徑為15【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等 知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.22. (2017?烏魯木齊)如圖，AB是O O的直徑，CD與O O相切于點(diǎn) C,與AB的延長線交于 D.(1)求證： AD8A CDB

48、;(2 )若 AC=2, AB=；CD,求O O 半徑.2r【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì). 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )首先連接CO,根據(jù)CD與O O相切于點(diǎn)C,可得：/ OCD=90 ;然后根據(jù) AB 是圓O的直徑，可得：/ ACB=90，據(jù)此判斷出/ CAD=Z BCD,即可推得厶 AD8A CDB.(2)首先設(shè) CD為x，貝U AB=x, OC=OB= x,用x表示出OD、BD;然后根據(jù)厶 AD8A24Ar rnCDB,可得：=，據(jù)此求出CB的值是多少，即可求出O O半徑是多少.Cd dDCD與O O相切于點(diǎn)C,/ OCD=90 , AB是圓O的直徑，/ ACB=90 ,/ ACO=Z B

49、CD, / ACO=Z CAD,/ CAD=Z BCD, 在厶ADC和厶CDB中， rZCAD=ZBCD lZADC=ZCDB(2)解：設(shè)CD為x,貝U AB= x, OC=OB= x,24/ OCD=90 ,OD=.町+馮廠=x, BD=OD-0B= x-一Xx,442由(1)知， AD8A CDB, !.廠. ,CB BD解得CB=1 , AB=；： = +=-，O O半徑是工-.2【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握.23. (2017?白銀)如圖，AN是O M的直徑，NB/ x軸，AB交O M于點(diǎn)C.(1) 若點(diǎn) A ( 0, 6), N ( 0, 2

50、), / ABN=30，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；(2) 若D為線段NB的中點(diǎn)，求證：直線 CD是O M的切線.【考點(diǎn)】MD :切線的判定；D5:坐標(biāo)與圖形性質(zhì). 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1 )在RtA ABN中，求出AN、AB即可解決問題；(2)連接MC, NC.只要證明/ MCD=9即可；【解答】解：(1)v A的坐標(biāo)為(0, 6), N ( 0, 2), AN=4,/ ABN=30，/ ANB=90 , AB=2AN=8,由勾股定理可知：NB=, 一，川 7，二 B (* 二，2).(2)連接 MC, NC / AN是O M的直徑， / ACN=90 , / NCB=90 , 在RtA NCB中

51、，D為NB的中點(diǎn), CD= NB=ND,2/ CND=Z NCD,/ MC=MN ,/ MCN=Z MNC,/ MNC+Z CND=90 ,/ MCN+Z NCD=90 , 即 MCI CD.直線CD是O M的切線.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線的判定、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí), 活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.解題的關(guān)鍵是靈24. (2017?天水)如圖， ABD是O O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點(diǎn), 點(diǎn)且Z DBC=Z A,連接OE延長與圓相交于點(diǎn) F,與BC相交于點(diǎn)C.點(diǎn)C是OO外一(1) 求證：BC是O O的切線；(2) 若0 O的半徑為6, BC=8,求弦BD的長.【考點(diǎn)】MD :切線的判定.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)連接0B,由垂徑定理的推論得出BE=DE 0E丄BD,兪二亦=丄奩，由圓周角2定理得出/