一元函數(shù)積分知識(shí)點(diǎn)完整版

1、一元函數(shù)積分相關(guān)問(wèn)題 前言： 考慮到學(xué)習(xí)的效率問(wèn)題， 我在本文獻(xiàn)中常常會(huì)讓一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在分 隔比較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)兩次。 這種方法可以讓你在第二次遇到同樣的知 識(shí)點(diǎn)時(shí)順便復(fù)習(xí)下這個(gè)知識(shí)點(diǎn)， 同時(shí)第二次出現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)問(wèn)題會(huì) 稍微升華點(diǎn)，不做無(wú)用的重復(fù)。 一考查原函數(shù)與不定積分的概念和基本性質(zhì) 講解：需要掌握原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，知道求不定積分與 求微分是互逆的關(guān)系，理解不定積分的線性性質(zhì)。 問(wèn)題 1： 若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則所有可能成為 f(x)的原函數(shù)的函數(shù)是 。 二考查定積分的概念和基本性質(zhì) 講解：需要掌握定積分的定義與幾何意義，了解可積的充分條件和必要條件，

2、掌握定積分 的基本性質(zhì)。 定積分的基本性質(zhì)有如下七點(diǎn)： 1、線性性質(zhì) 2、對(duì)區(qū)間的可加性 3、改變有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值不會(huì)改變定積分的可積性與積分值 4、比較定理(及其三個(gè)推論) 5、積分中值定理 6、連續(xù)非負(fù)函數(shù)的積分性質(zhì) d 7、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，若在a,b的任意子區(qū)間c,d上總是有 f (x)dx 0 ,則當(dāng) c x a,b時(shí)，f(x)0 問(wèn)題 2： 設(shè) M/sin(sinx)dx, N (A) M 1 N (B) M N 1 (C) N M 1 (D) 1 M N 2 cos(cosx)dx，則有() o 三. 考查一元函數(shù)積分的基本定理 講解：需要掌握變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可

3、導(dǎo)性、原函數(shù)存在定理、不定積分與變限積 分的關(guān)系，了解初等函數(shù)在定義域內(nèi)一定存在原函數(shù)但不一定能積出來(lái)，需要重點(diǎn)掌握牛 頓一萊布尼茲公式及其推廣。 其中變限積分的求導(dǎo)方法為： 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，(X)和 (X)在,上可導(dǎo)，當(dāng)x ,時(shí)， (X) a (x),(x) b，則yf(t)dt在,上可以對(duì)x求導(dǎo)，且 (x) dy f( (x) (x) f( (x) (x) dx 牛頓一萊布尼茲定理為： 設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f (x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則 b a f(x)dx 問(wèn)題3： F(b) F(a) 已知f (x) ln(x 1)t 2xJtedt，求 f(x)(x

4、0) 四. 考查奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的積分性質(zhì) 講解：需要掌握對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分性質(zhì)、周期函數(shù)的積分性質(zhì)，學(xué)會(huì)用性質(zhì)化 簡(jiǎn)積分。 問(wèn)題4： / 2 設(shè) f (x)在0,1上連續(xù)，o f (cosx)dx A，則 I o f ( cosx )dx 五. 利用定積分的定義求某些數(shù)列極限 講解：需要掌握把某些和項(xiàng)數(shù)列和積項(xiàng)數(shù)列求極限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解定積分的方法。關(guān)鍵 是確定被積函數(shù)、積分區(qū)間及區(qū)間的分點(diǎn)。 常見(jiàn)的情形有: b f (x)dx a lim n f (a i(b a) b a n b f (x)dx a lim n f (a (i 1)(b a)b a 問(wèn)題5: n ntan =

5、lim n n 2 i i n i 六. 考察基本積分表 講解：需要掌握基本初等函數(shù)的積分公式。 七. 考察分項(xiàng)積分方法 講解：利用不定積分(定積分)線性性質(zhì)把復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的和，再求積分。 問(wèn)題6: 求下列不定積分： 1 cos x dx 1 cos2x 八. 考察定積分的分段積分方法 講解：禾U用定積分的區(qū)間可加性把復(fù)雜的區(qū)間分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)間的和，再求積分。 問(wèn)題7： 計(jì)算以下定積分： 2 (x 1) min 0.5,cosx dx 2 九. 考察不定積分的分段積分方法 講解：有時(shí)被積函數(shù)是用分段函數(shù)的形式表示的，這時(shí)應(yīng)該采用分段積分法。 問(wèn)題8 上x2,0 x 1 設(shè)函數(shù)

6、f (x)，求 f(x)dx(O x 2) 2 x,1 x 2 十.考察不定積分的湊微分方法(第一換元法) 講解：湊微分方法的具體過(guò)程為如下： 設(shè)f(u)du F(u) C ,且函數(shù) (x)可導(dǎo)，則 f( (x) (x)dx f( (x)d( (x) F( (x) C。 若f( (x) (x)dx不好求，而f(u)du好求，則可以采用這種方法。 需要注意的是通常碰到的問(wèn)題是求(x)dx，其中(x)并未表達(dá)為f( (x) (x)的形式, 這時(shí)我們需要根據(jù)(x)的特點(diǎn)選擇適合的(x)。 問(wèn)題9： 求下列不定積分： secxdx 十一.考察不定積分與定積分的第二換兀法 講解：需要掌握不定積分與定積分

7、第二換元法的定理，掌握常見(jiàn)的變量替代。 和第一換元法相反，若f(u)du不好求，而f( (x) (x)dx好求，則可以采用這種方法, 關(guān)鍵是如何選擇變量替換。這些我在后面介紹。 十二.常用變量替換一：三角函數(shù)替換 般的二次根式,Ax2 Bx C可 講解：三角函數(shù)替換法常用于被積函數(shù)中含有二次根式, 先采用配方法化成標(biāo)準(zhǔn)形式： 1.若 A 0 則其可化成 4AC B2 4A ，令u B 2、A 當(dāng) 4AC B20 ,令 a2 2 4 AC B 4A 則.Ax2 Bx C可化成. u2 a2，此時(shí)令 u ata nt ( t 2 2 當(dāng) 4AC B20，令 a2 2 B 便,則. Ax2 Bx C

8、 可化成. u2 a2 4A ,此時(shí)令 u asect ( 0 t 且 t 則其可化成 Ax 2& A 2 2 4AC B，令 u 4A 、Ax 2j A 顯然此時(shí)4AC B20 (否則被積函數(shù)無(wú)意義) ,令a2 2 4 AC B:一2 則.Ax 4A Bx C可 化成a2 u2 ，此時(shí)令u asint ( t 2 問(wèn)題10： 求下列不定積分: 十三.常用變量替換二：幕函數(shù)替換 (簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分) 講解：幕函數(shù)替換常用于被積函數(shù)中含有 Vax b , ”坐_b的根式。 X cx d 對(duì)于第一個(gè)可令n ax b t，則x tn b ； a 對(duì)于第二個(gè)可令n axb cx d t,則x 呼匚，再

9、轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分。 ct a 如果被積函數(shù)中同時(shí)含有 (ax b), (ax b)，(ax b)，其中， 是分?jǐn)?shù), 則令m ax b t，其中m是 分母的最小公倍數(shù)。 問(wèn)題11: 求下列不定積分: dx 十四.常用變量替換三:指數(shù)函數(shù)替換 講解：當(dāng)被積函數(shù)含有 ex或ax時(shí)，可考慮采用這種替換方法(t ex, t ax) 問(wèn)題12： 求下列不定積分： dx ex 1ex 1 十五.常用變量替換四：倒替換 講解：當(dāng)被積函數(shù)的分母最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)時(shí)，有時(shí)可以考慮倒替換( 問(wèn)題13： 求下列定積分： -2-dx 1 Xi3x2 2x 1 十六.考察不定積分和定積分的分部積分法 講解：需要

10、掌握不定積分和定積分的分部積分法，并會(huì)用分部積分法推導(dǎo)遞推公式 不定積分的分部積分法則為： 假定u u(x)與v v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則 uvdx uv vudx (或?qū)懗?udv uv vdu) 定積分的分部積分法則為: 若u(x)與v(x)在a,b上連續(xù)，則 uvdx b uv a bb vudx (或?qū)懗?udv aa b uv a vdu) a 分部積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)原則 u和v，選取的原則一般為：v容易積分, vdu比 udv容 積計(jì)算。 問(wèn)題14： 求 ln02sinnxdx和 Jn 02cosnxdx (n 0,1,2 十七.考察有理函數(shù)的積分 講解：有理函數(shù)可以分解成多

11、項(xiàng)式和真分式之和。積分的關(guān)鍵是求真分式的積分。 設(shè)有真分式R(x)鵲。首先將Q(x)因式分解，若分解后含有因子(x ai)n1， n2、mi/ 2、m2mj (x a2)(x ai) i , (xPiXqj, (xp?xq?)(xPjXqj, (要求p2 4q 0 )(按照高等代數(shù)的知識(shí)，一定可以分解成不超過(guò)二次的因式) 則采用待定系數(shù)法將 R(x)分解為 A1,i Ai,2 2 x a (x a1) A2,1 x a2 (x Ai,i xai Bi,ixCi,i A2,2 A,2 Ai (x ai) A2,n2 (x a2) Ai，n (x aj2 B1,2x Ci (x ai)ni 2 X

12、PiXqi B2,ixC2,i 7 P2Xq2 _Bj,2xCj,2 2 X ,2_ (x2 口X q)2 B2,2X C2,2 2 (x2 P2Xq2) Bj,2xCj,2 PjXqj B,miX Ci (x2 PiX qi) B2,m2 X C2 ,m mi (x2 (x2 PjX qj)2 P2X q2)m2 Bj,mj X Cj,mj 2mj (X PjX qj) 2 此時(shí)只含有四類積分：(D為任意常數(shù)) a (1) dx Ain x a D x a Aa (2) mdx的 D ( m i) (x a)(m i)(x a) (3) Bx C 2 X PX dx q PX q 2C Bp

13、 丄 2x Bp , arctan D 4q p24q p2 (x2 Bx C m PX q) dx B 2(m 1)(x2 px q)m 1 (C Px dx m q) 其中 dx (x2 、m可令 PX q) X衛(wèi)，a 2 :2 4q p ，則 dx m (x px q) dt (t2 a2)m 再利用分部積分法得到遞推公式求解。 講解：反常積分我們專業(yè)考察較弱(不知道你們數(shù)學(xué)專業(yè)如何)，重點(diǎn)考察無(wú)窮區(qū)間上反常 問(wèn)題15: 按照自己喜好填寫 ,A2,B!,B2,Ci,C2,Dl,D2,E!, E2的值，再按照上面方法求積分。 D1x D2x 且dx E2 Ax4 B-|X3 C1x2 A2

14、x4 B2x3 C2x2 十八.考察三角有理式的積分 講解：所謂三角有理式是指以sinx與cosx為變量的有理函數(shù)，即為R(sinx,cosx)。此時(shí) 總可以采用 x 萬(wàn)能代換 tant使被積函數(shù)有理化，即 2 R(sin x, cosx)dx 2 R( 2t 1 t ) 2dt R( 2, 2) 2 1 t 1 t 1 t 問(wèn)題16： 求下列不定積分： 1 Jdx 1 sin x 十九.利用定積分的幾何意義求定積分的值 b 講解：若f(x)dx是熟知的平面圖形的面積，則可以直接使用幾何意義求解定積分的值。 a 問(wèn)題17： 求下列定積分： b 2 J x , (x a)(x b)dx a 二十

15、.利用被積函數(shù)的分解與結(jié)合來(lái)求定積分的積分值 講解：有時(shí)我們可以采用分項(xiàng)積分將被積函數(shù)進(jìn)行分解，再對(duì)其中某幾項(xiàng)采用第二換元法 轉(zhuǎn)換為另一種形式，再與其他項(xiàng)結(jié)合在一起求解積分。 問(wèn)題18： 求下列定積分: ,xsin x , I2 dx 0 1 cos x 卜一.考察反常積分 積分的概念、瑕積分的概念、用定義判斷反常積分的收斂性及計(jì)算積分值，需要掌握常見(jiàn) 反常積分的收斂性判斷、反常積分的運(yùn)算法則。 問(wèn)題19： 計(jì)算下列反常積分的值： (1) dx 3x2 2x(x 1)4 e 1 dx (2)0 x(lnx)2 二十二.考察與定積分概念有關(guān)的題目(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。 問(wèn)題20：

16、 1 設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足 f(x) x o xf (x)dx，求f (x) 二十三.利用定積分的基本性質(zhì)確定積分值的符合(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二、知識(shí)點(diǎn)四和知識(shí)點(diǎn)十六。 問(wèn)題21 : X 2sin 212 函數(shù) F(x) % f (t)dt，其中 f (t) e (1 sin21)cos2t，則 F(x)() (A) 為正數(shù) (B) 為負(fù)數(shù) (C) 為零 (D) 不是常數(shù) 二十四.根據(jù)定積分的比較定理證明積分不等式(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。 問(wèn)題22： 證明下列不等式: J- 2 80 x tan xdx 32 二十五.考察原函數(shù)的存在定理(復(fù)習(xí)類) 講解：

17、你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)三。 問(wèn)題23： 設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有定義，c (a,b)，又f(x)在(a,b)內(nèi)僅有c一個(gè)間斷點(diǎn)，且為第一類 間斷點(diǎn)，討論f (x)在(a,b)內(nèi)是否存在原函數(shù) 二十六.考察常用的不定積分計(jì)算方法(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)十八(除了知識(shí)點(diǎn)八) 問(wèn)題24: (1) x 1 x (1) dx 1 x (2) aisinx bicosxdx ( a2 b2 0) a sinx bcosx /、 ln(x V1 x2) (3) dx (1 x2)2 二十七.考察常用的定積分計(jì)算方法(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)二十(除了知識(shí)點(diǎn)九) 問(wèn)題25：

18、(1) sin xdx sin x cosx (2) 1 arcta n .x 1dx 二十八.考察分段函數(shù)的積分(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)八，知識(shí)點(diǎn)十一。 問(wèn)題26： 設(shè)函數(shù)f (x)在( )內(nèi)滿足 f(x) f (x ) si nx，且 f (x) x(x 0,)，求 f(x)dx 二十九.考察廣義積分(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二十一。 問(wèn)題27： 計(jì)算下列反常積分: x dx(a 0) a x 三十.利用換元法證明積分等式(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十一到十五。(我們專業(yè)每年都至少會(huì)考察一個(gè)證明題) 問(wèn)題28: 假定下列所涉及的反常積分均收斂，證明: 1 f (x -)dxf (x)dx x 三一.利用分部積分法證明積分等式(復(fù)習(xí)類) 講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十六