完整word版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案第三章(word文檔良心出品

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學教案第三章二維隨機變量及其分布授課序號01教 學 基 本 指 標教學課題;第三章第一節(jié)二維隨機變量及其聯(lián)合分布課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維隨機變量的定義及相應的聯(lián)合分布律及聯(lián)合 密度函數(shù)，以及概率計算。教學難點二維隨機變量的定義二維隨機變量相關事件概率的 計算參考教材高教版、浙大版概率論與梳理統(tǒng)計作業(yè)布置課后習題大綱要求理解二維隨機變量的定義掌握二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定義、性質及計算 掌握聯(lián)合分布律和聯(lián)合密度函數(shù)的定義、性質及計算 掌握二維隨機變量相關事件概率的計算教學基本內(nèi)容、基本概念：1、 設有隨機試驗

2、 E，其樣本空間為 0。若對0中的每一個樣本點 尬都有一對有序實數(shù)（X）,Y）與其對 應。則稱（X,Y ）為二維隨機變量 或二維隨機向量。稱（X,Y ）的取值范圍為它的值域，記為 0（XY）。2、 設有隨機試驗E，其樣本空間為0。若對。中的每一個樣本點 都有有序實數(shù)列（X2何）,|,Xn ）與其 對應。則稱（Xi,X2,|,Xn ）為n維隨機變量或n維隨機向量。稱（Xi,X2,IH,Xn ）的取值范圍為它的值域，記 為。貞為 $1，X2llXn ）。3、 設（X,Y ）為二維隨機變量，對任意的x,R，稱F （x, y ）二 P（X 蘭 x,Y 蘭 y ）, x v 邑，亠 y 母.為隨機變量

3、X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)。4、 設 X1JH,Xn為n維隨機變量，對任意的 Xi,|（,xR，稱F Xi川,Xni=P Xi 豈 Xi，|）,Xn 乞人為隨機變量 Xi,|,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。-二：為,|山人：:。5、 如果二維隨機變量X,Y僅可能取有限個或可列無限個值，則稱X,Y為二維離散型隨機變量。6、稱p X二x, = yj二i, j = 1,2, |，為二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律。其中， Pj -0,i, j ,2川| Pj =1。i j7、 設二維隨機變量X,Y的分布函數(shù)為F x, y，如果存在一個二元非負實值函數(shù)f x,y，使得對于任意x, y R 有x yF x,y 二f

4、x,y dydx成立，則稱 X,Y為二維連續(xù)型隨機變量，f x,y為二維連續(xù)型隨機變量X,Y的聯(lián)合（概率）密度函數(shù)。&設n維隨機變量 X1JH, Xn的分布函數(shù)為F xjHXn ，如果存在一個n元非負函數(shù)f xJHXn ，使得 對任意的xJlhXn R有XiXnF Xi Jl|,Xnf Xi J|l, Xn dXi 川 dXn成立，則稱Xi,川,Xn為n維連續(xù)型隨機變量，f Xi,川,Xn為n維連續(xù)型隨機變量Xi,|,Xn的聯(lián)合（概率）密度函數(shù)。二、定理與性質i、（聯(lián)合分布函數(shù)的性質）設 F x,y是二維隨機變量 X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)。則（1）0 汀 x,y i ；（2）當固定y值時， F x

5、,y是變量的非減函數(shù)；當固定x值時，F(xiàn) x, y是變量y的非減函數(shù)；（4）當固定y值時，F(xiàn) x, y是變量x的右連續(xù)函數(shù);當固定x值時，F(xiàn) x, y是變量y的右連續(xù)函數(shù);(3 !mF x,y =o,yimF（x，y）=o，lim F x, y = 0 ,x ：: y-.x|m_F x,y ;y j：:（5） P X： X Ex?,% : 丫 乞 y-F X2,y2 - F x?,% - F 人肆2F 人！。2、（聯(lián)合密度函數(shù)的性質）設f x,y為二維連續(xù)型隨機變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)，則（1）非負性 f x, y _0, -： : x, y :;r -be -be(2)規(guī)范性 _ f x, y

6、 dxdy =1。3、（連續(xù)型隨機變量的性質）設二維連續(xù)型隨機變量 X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 F x, y，密度函數(shù)為（1）對任意一條平面曲線 L，有P X,丫盧LR0；（2） F（x,y）為連續(xù)函數(shù)，在f x, y的連續(xù)點處有2：F x,y；yf x, y ；16（3）對xoy平面上任一區(qū)域 D （如圖3.11所示）有P X,Y Df x,y dxdy。D三、主要例題：例1現(xiàn)有將一顆骰子獨立地上拋兩次的隨機試驗E,觀察兩次出現(xiàn)的點數(shù)。討論第一次出現(xiàn)的點數(shù)以及兩次出現(xiàn)點數(shù)的最小值請根據(jù)問題1）給出隨機試驗E的樣本空間 門；（2）引入二維隨機變量 X,Y，并寫出值域0）。例2為分析一個年級的成績分

7、布，引入隨機變量j,數(shù)學為優(yōu)；j,語文為優(yōu);XY =0,數(shù)學不為優(yōu)0,語文不為優(yōu)已知數(shù)學為優(yōu)的占0.2，語文為優(yōu)的占0.1，都為優(yōu)的占0.08。求(1) X,Y的聯(lián)合分布律；(2) X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)；(3)概率P(X Y)。例3把一顆骰子獨立地上拋兩次，設X表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，丫表示兩次出現(xiàn)點數(shù)的最小值.試求:(1) X與Y的聯(lián)合分布律;(2) P(X -Y)與P(X2 Y： 8).例4設二維隨機變量 X,Y的密度函數(shù)為f x,y 二cy2,0,0 ： x ： 2y,0 ： y ： 1; 其他.計算(1)常數(shù)c ；( 2)聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y );( 3)概率P(|X|Y)。授課序

8、號02教 學 基 本 指 標教學課題第三章第二節(jié)常用的二維隨機變量課的類型新知識課教學方法:講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維均勻分布教學難點二維均勻分布的概率求解冋題4. TV、二t幼r 士扌高教版、浙大版概率論與梳理統(tǒng)計作業(yè)布置課后習題參考教材大綱要求掌握二維均勻分布了解 二維正態(tài)分布的密度函數(shù)教 學 基 本 內(nèi) 容、基本概念：1、二維均勻分布設二維隨機變量X，丫的聯(lián)合密度函數(shù)為x, y G；其余.!1f x, y = G的面積I0其中G是xoy平面上的某個區(qū)域。則稱X,Y服從區(qū)域G上的二維均勻分布。2.二維正態(tài)分布N ：,1,丄2,二2，打，t如果X,Y的

9、聯(lián)合密度函數(shù)為2二*12 exP2(1-P2)2 “ x_：1x 叫 y2. y_,2-12一二叮x, y叮二,則稱I ,JJX,Y服從二維正態(tài)分布，并記為 X,Y LI N叫，2,二12,；打，.其中：八黑込：一 ：，；丁1,6 0 ,；1。二主要例題：例1設二維隨機變量X,Y服從區(qū)域G上的均勻分布，G二Qx, y): 0 ： x ： 1且0 ： y ： 2x1(1)寫出X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)；(2)計算概率P Y乞X 。授課序號03教 學 基 本 指 標教學課題第三章第三節(jié)邊緣分布課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)

10、的計算 兩個隨機變量相互獨立的判別方法教學難點二維隨機變量的邊緣分布函數(shù) 的計算參考教材高教版、浙大版概率論與梳理統(tǒng)計作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)的定義及計算 熟練兩個隨機變量相互獨立的定義及判別方法 了解 n個隨機變量相互獨立的定義及判別方法 理解隨即變量獨立的概念掌握隨機變量獨立的判斷方法教學基本內(nèi)容、基本概念：1. 邊緣分布函數(shù)設二維隨機變量(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)為 F (x, y )，稱FX(x)=P(X蘭x)=P(X蘭x,丫蘭母)=F(x,xc為X的邊緣分布函數(shù)；稱FY(y)=P (丫蘭 y)=P(X 蘭垃，丫蘭 y)=F(+，y),Acyc+為Y的邊緣

11、分布函數(shù)。其中m(|j在一維情形下表示長度，在二維情形下表示面積，在一維情形下表示體積。2. 二維離散型隨機變量的邊緣分布律設二維離散型隨機變量(X,Y )的聯(lián)合分布律為P(x =人,丫 =bj)=卩耳，i,j=1,2川，稱概率/ 、P(X=Xj)=P X =片，1丫 = y)=送P(X=Xj,Y = yj) = W Rj為隨機變量X的邊緣分布律，記為Q， 1 j 丿 j j并有卩丄=P(X)=送pi=1,2川。稱概率P(Y =bj X j =1,2,IH )為隨機變量丫的邊緣分布律，記為iPLj，并有 PLj = P (丫 = 6 )=為 pij , j = 1,2,川。j3. 二維連續(xù)型隨

12、機變量的邊緣密度函數(shù)設二維連續(xù)型隨機變量 (X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y)，則X的邊緣密度函數(shù)為bofx(x)= Jf (x, y)dy。Y的邊緣密度函數(shù)為fY y 二f x,y dx。_oO4. 隨機變量的獨立性設X,Y為二維隨機變量，若對任意x, y R，都有F x,y 二 Fx x Fy y成立，則稱隨機變量 X與Y相互獨立。其中F x,y為X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)x x和FY y分別為X和 丫的邊緣分布函數(shù)。5、多維隨機變量設X1JH,Xn為n維隨機變量，若對任意 xi,|(,xR，都有n尸以,川兀)=口 FXi(x)i 二成立，則稱隨機變量Xi川，Xn相互獨立。其中F

13、(Xi,|(,Xn)為Xi,川，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)，人為Xj的 邊緣分布函數(shù)，i =1,2,|,n。當XiJ|,Xn為離散型隨機變量時，隨機變量Xi,|,Xn相互獨立的充要條件是對任意的,i = 1,2,| |l,n，都有nP Xi = X | 11 , Xn = xn = 一P(Xi = XjiT成立，其中P Xi =Xi,IH,Xn =Xn為Xi,川，Xn的聯(lián)合密度函數(shù)，P(Xi二Xj為Xi的邊緣密度函數(shù)，i 72川，n。當 Xi,川,Xn為連續(xù)型隨機變量時，隨機變量Xi，|(,Xn相互獨立的充要條件是在f (Xi , |l(,Xn), fx。)，fxn(Xn)的一切公共連續(xù)點上nf (X

14、il|,Xn)fx。)成立。其中f(Xi，Xn)為(Xi,|j|,Xn )的聯(lián)合密度函數(shù)，fxjXi )為Xi的邊緣密度函數(shù)i=i,2川,n。、定理2 2 2 21、 如果 x,y Un叫2,門，二2，則x|_|n叫,g ,y_ n七,；2，即二維正態(tài)分布的邊緣分 布還是正態(tài)分布。2、 設 X,Y為二維離散型隨機變量，那么， X與丫相互獨立的充分必要條件為對任意的i, j = 1,2,| 1| , 都有Pj =Pi!_P_j成立。其中pj，i,j -1,2|為X,Y的聯(lián)合分布律，Pi，1,2,川和pj，j -1,21分別為X和丫 的邊緣分布律。3、 若X,Y為二維連續(xù)型隨機變量，那么，X與丫相

15、互獨立的充分必要條件為在f x,y，fX x及fY y的一切公共連續(xù)點上都有f x,y = fx x LfY y，成立。其中f x, y為X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)，fX x和fY y分別為X和丫的邊緣密度函數(shù)與丫的邊緣密 度函數(shù)。4、 設X,Y Un叫廠匕匚12,打，那么，X與丫相互獨立的充分必要條件為 =0 o三、主要例題: 例1設二維隨機變量 X,Y的密度函數(shù)為； 2cy , 0x2y,0y 1; f x，八 0,其他.分別計算X與丫的邊緣分布函數(shù)。例2把一顆骰子獨立地上拋兩次，設X表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，丫表示兩次出現(xiàn)點數(shù)的最小值 計算X與丫的邊 緣分布律。例3設二維隨機變量X , 丫的密度函

16、數(shù)為f X,y 二產(chǎn) 2cy0,0 ： x 2y,0 ： y ： 1; 其他.計算(1) X的邊緣密度函數(shù);(2) 丫的邊緣密度函數(shù)。(3) X與丫是否相互獨立？為什么?例 4 已知(X,Y)|_| N (1,2,4,9,0.3 )，求 Z =/X 十3 的密度函數(shù) fz(z)。例5設二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為0100.40.410.10.1（1 ）求X的邊緣分布律與Y的邊緣分布律；（2）X與Y是否相互獨立，為什么？授課序號04教 學 基 本 指 標教學課題第三章第四節(jié)條件分布課的類型新知識課教學方法:講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維隨機變量的條件分

17、布律、條件密度函數(shù)以及 條件分布函數(shù)的定義及計算教學難點條件密度函數(shù)的計算4. TV、二t幼r 士扌高教版、浙大版概率論與梳理統(tǒng)計作業(yè)布置課后習題參考教材大綱要求掌握二維隨機變量的條件分布律、條件密度函數(shù)以及條件分布函數(shù)的定義及計算教 學 基 本 內(nèi) 容、基本概念：1. 二維離散型隨機變量的條件分布律設二維離散型隨機變量X，丫的聯(lián)合分布律為pij，i, 1,21。當yj i I Y時，在給定條件Y=y下X的條件分布律為P(X=XiY=yj),i=1,2,3HI。Pj記在給定條件Y = y j ?下的隨機變量X為X 丫 = yj，其值域記為Y.=：Xi : Pj = 0,i = 1,2,川，滿足

18、分布律的兩條性質：Xi Y = yj )=送-P = 1。 i Pj(1)p(X=XiY=yj)=j0123 川；(2)X=當x flX時，在給定條件X = Xi ?下丫的條件分布律為PjP(Y =yj|X)=竺，j =1,23山PiL記在給定條件x=Xj下的隨機變量Y為y|x =Xi，其值域記為oY|x =yj ： Pij式0, j = 1,2,|l,同理也滿足分布律的兩條性質。2、二維離散型隨機變量的條件分布函數(shù)稱FxY (x|y ) = P(X Ex|y = y )為在給定Y=y條件下X的條件分布函數(shù);稱Fy|x (y|x ) = P(丫蘭y|x =x )為在給定X=x條件下丫的條件分布

19、函數(shù)。若X,Y為二維連續(xù)型隨機變量，且密度函數(shù)為 f x,y，則在給定條件；Y= 下X的條件分布函數(shù) 為XFxY (x y )= ffxY (Xu y )du =打f u, ydu, : x ： fY y在給定= X條件下丫的條件分布函數(shù)為y y f (x, v)Fyx yxJyx vxd八* f x dv，2.二維連續(xù)型隨機變量的條件密度函數(shù)設f x, y為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)，則. f (x, y ) fxY x y在給定 7 = y條件下X的條件密度函數(shù)為，亠 X 畑，其中， fY y 0 ； fY y在給定；X 條件下Y的條件密度函數(shù)為i f (x, y )fYx y x

20、二，-二：:：y ：:，其中，fx X 0.fx (x)二、定理與性質：1，條件密度函數(shù)fXY (x|y )滿足密度函數(shù)的兩條性質2、條件分布函數(shù)FXY(x|y )滿足分布函數(shù)的四條性質三、主要例題:例1把一顆骰子獨立地上拋兩次 ，設X表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，Y表示兩次出現(xiàn)點數(shù)的最小值 求(1)已知 =4發(fā)生條件下X的條件分布律。(2)已知【X = 3發(fā)生條件下Y的條件分布律。 2例2設二維隨機變量X,Y的密度函數(shù)為f x,y = 2y ,0 X 2y, y 10, 其他.(1 )寫出條件x=1下Y的條件值域為YX=1 ；(2)求條件密度函數(shù)fY|x(yh )；(3)求條件密度函數(shù) fYX (y

21、lx ),其中0vxc2 ； (4)求條件分布函數(shù) FYx(y|1 )其中0xv2.授課序號05教 學 基 本 指 標教學課題第三章第五節(jié)二維隨機變量函數(shù)的分布課的類型T新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布相互獨立的隨機變量的最大值最小值分布函數(shù)的 計算教學難點二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分 布函數(shù)計算參考教材高教版、浙大版概率論與梳理統(tǒng)計作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握二維隨機變量函數(shù)分布的計算熟練 相互獨立的隨機變量的最大值最小值分布函數(shù)的計算教 學 基 本 內(nèi) 容、基本概念：1、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布如果二維離散型隨機變

22、量 （X,Y）的聯(lián)合分布律為P X 二q,丫二bj 二i,j =1,2,|,則隨機變量（X,Y）的函數(shù)Z = g X,Y的分布律為P Z = g 冃，bj= Pj,i, j = 1,2J|,且取相同g a,bj值對應的那些概率應合并相加。2、二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設二維連續(xù)型隨機變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為 f x,y，則隨機變量X,Y的二元函數(shù)Z二g X,Y的分布函數(shù)為Fz z 二P Z 注二P g X,Y 二 P X,YDf x, y dxdy,Dz其中，？ X ,Y - DJ是與：g X ,Y - Z等價的隨機事件，而 Dz=： x, y :g x,y乞zf是二維平面上點集（通常是一個區(qū)域或若干個區(qū)域的并集）。貝UZ二g X ,Y的密度函數(shù)為fZ z = FZ z 。二、定理與性質：1、可加性設Xl_Bm, p,YBn, p，且X與Y相