函數(shù)、導(dǎo)數(shù)“任意、存在”型問題歸納

1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)任意性和存在性問題探究 導(dǎo)學(xué)語 函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題是高考試題中占比重最大的題型，前期所學(xué)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)圖像切線、函數(shù)單調(diào)性、 函數(shù)極值最值等問題的方法，僅可稱之為解決這類問題的“戰(zhàn)術(shù)”，若要更有效地徹底解決此類問題還必 須研究“戰(zhàn)略”，因為此類問題是函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合全稱命題和特稱命題形成的綜合性題目常用戰(zhàn)略思想如下: 題型分類解析 一單一函數(shù)單一“任意”型 戰(zhàn)略思想一：“* A, an(K)f(x)恒成立”等價于“當(dāng)A時，a (蘭)f (x)max ” ；f(x)上限- “* 2 A, a (f (x)恒成立”等價于“當(dāng)x壬A時，a c (勻f (x) min ” .f(x)下限丨 _ 2 例

2、1 :已知二次函數(shù) f (x)二ax x，若- x 0,1時，恒有| f (x) I- 1，求實數(shù)a的取值范圍 解：；| f (x)匡 1，-1 _ax2 2 一1 一 x 二 ax 二1 一 x ； 當(dāng)x = 0時，不等式顯然成立，二 a R. 當(dāng) 0 ：x 乞1 時，由 一1 xax2 而(2 - ) min =0,二 aE0. x x 11 11 - a 2 - xxxx 11 又(一 一)max =-2, a_-2,. _2_a_0 , xx 乞 1 -X 得: -可編輯修改- 綜上得a的范圍是a -2,0. 二單一函數(shù)單一“存在”型 f(x)上限 a f(x)下限 戰(zhàn)略思想二：“ x

3、A，使得a(_)f(x)成立”等價于“當(dāng)x A時，a (-)f(x)min ”; “ x A，使得 aOf(x)成立”等價于“當(dāng) x A時，a ： (_)f (x)max” _ 2 例2.已知函數(shù)f (x) = aln x x ( a R),若存在x 1,e,使得f (x) _ (a 2)x成立，求實數(shù)a的 取值范圍. 解析：f(x)_(a 2)x= a(x-I nx)_x2_2x / x1,e , I nx _1 _x且等號不能同時取，所以In x :x，即x -In x 0, 2 2 因而 a _x-xx 1,e, x - In x， 令 g(x)二 x2 -2x x -In x x 1,

4、e, 又 g (x) (x -1)(x2 -2ln x) (x In x)2 當(dāng) x 1,e時，x 1 _0,l n xE1 , x 221 nx 0 , 從而g (x) -0 (僅當(dāng)x=1時取等號)，所以g(x)在1,e上為增函數(shù), 故g(x)的最小值為g(1) - -1，所以a的取值范圍是-1/:) 三單一函數(shù)雙“任意”型 y 戰(zhàn)略思想三：- x R，都有f(xi) _ f (x) _ f(X2) = f(xj, f(X2)分別是 f (x)的最小值和最大值，|為一x2 | min是同時出現(xiàn)最大值和最小值的最短區(qū)間 TT V -tt 例3.已知函數(shù)f(x)=2si)，若對- xR，都有f(

5、xj空f (x)乞f(X2)成立，則|Xi-X2 2 5 的最小值為 解對任意x R,不等式f (xj _ f(X)_ f (X2)恒成立, f (X), f (x2)分別是f (x)的最小值和最大值 對于函數(shù)y=sinx，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是n即半個周期 i x i 又函數(shù)f(x)=2si n)的周期為4,.|xi-X2|的最小值為2. 25 戰(zhàn)略思想四：-Xi，X2 A, f(X1 X2)LLd成立 2 2 ：=f (x)在A上是上凸函數(shù)：=f(x)乞0 2 例 4. 在 y =2x, y =log22x,y =x , y =cosx這四個函數(shù)中，當(dāng) 0 ： x： x2

6、: 1 時，使 fQ X2)!1邑！恒成立的函數(shù)的個數(shù)是() 2 2 A.0B.1C.2D.3 解：本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件f (彳 互).丄兇 心“的函數(shù)，應(yīng)是凸函 2 2 數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知 y =log22x符合題意; 戰(zhàn)略思想五： -x1,x A, f(xf (X2) 0成立=f(x)在 A 上是增函數(shù) 捲_x2 例5已知函數(shù)f(x)定義域為-1,1, f(1) = 1，若m,n -1,1, m 5 = 0時，都有 0，若f(x)弐t2 -2at 1對所有-1,1, a- -1,1恒成立，求實數(shù)t取值范圍. m n 解：任取_1三禺：x2三 1，貝卩 f (xj_ f

7、(x2)= f以1)一f 以2)(x x2), f (x ) f (x ) 由已知 1-0，又捲-x2 ： 0 , f (xj - f (x2) ： 0 , X| -X2 即f (X)在-1,1上為增函數(shù) f(1)=1 , X. _1,1,恒有 f(x)叮； 要使 f(x)乞 t2-2at 1 對所有 X -1,1, a -1,1恒成立， 2 2 即要t -2at1 _1恒成立，故t -2at _0恒成立， 令 g(a)二2at t ,只須 g(-1) _0且 g(1)_0, 解得t -1 |-一卜：1，：.1 土 aO x1 -x2-十 a 蘭 1 評注 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y = f

8、 (x)圖像上任意兩點P(x1, y1),Q(x2, y2)連線的斜率 k二丫2 _力(捲=X2 )的取值范圍，就是曲線上任一點切線的斜率(如果有的話)的范圍，利用這個結(jié)論，可 x2 _捲 以解決形如| f (xj - f (x2)匡m |為一x2 11或| f (xj - f (x2) |_ m | X)-x2 | (m0)型的不等式恒成立問題 四雙函數(shù)“任意” + “存在”型: 戰(zhàn)略思想八: X1 代 X2 B，使得 f(Xj_g(X2)成立=f (X)min - g(x)min ； X1A, -X2 B，使得 f(Xjg(X2)成立=f(X)max - g(X)max 2 2 例 9已知

9、函數(shù) f (x) = 2x 5ln x , g(x)二 x - mx 4，若存在 x (0,1)，對任意 x 1,2, x 總有f (為)_ g (x2)成立，求實數(shù) m的取值范圍. 解析：題意等價于 f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于g(x)在1,2上的最大值 2 2x2 5x +21 f (x)2 ，由 f (x) =0 得，x 或 x = 2, x2 1 1 當(dāng) x (0,)時，f (x)0,當(dāng) x ( ,1)時 f (x) ：0, 2 2 1 所以在(0, 1 ) 上, f(x)max =f () - -3 5ln 2. 2 又g(x)在1,2上的最大值為maxg(1),g(2)

10、，所以有 1 f(2)-g(1) f(1)-g (2) 2 -3 5ln 2 5 - m -3 5ln 2 _8 -2m m _8 -5ln 2 1 m (115ln 2) 所以實數(shù)m的取值范圍是 m-8-5ln 2. 戰(zhàn)略思想九：“一 x 1 ,函數(shù)g(x) =x3 -3a2x-2a .若對于任意x0,1，總存在x 0,1,使得 f(xj =g(x0)成立，求a的取值范圍. 解析： 2 5255 (1) f (x) = -X2x，令 f (x) 0 ,即 x2x 0 ,解得： x 1, 當(dāng) 0,1時，g (x) 0 , g(x)單調(diào)遞減, 當(dāng) x 0,1時，g(x) g(1),g(0)，即

11、g(x) -3a2 -2a 1, -2a, 又對于任意x 0,1，總存在x 0,1, 使得 f(xj =g(x0)成立=-4,-3-3a2 -2a 1, -2a, ro ，解得: -3a -2a 1 -4 -3 -2a 1 _ a 例 11.已知函數(shù) f(x)=lnx-ax1(a R)； x 1 (1) 當(dāng)a 時，討論f (x)的單調(diào)性； 2 1 (2)設(shè) g(x) =x2 -2bx 4，當(dāng) a 時，若對 一(0, 2) ,x 1,2,使 f (xj 一 g(X2)，求實數(shù) 4 b的取值范圍； 解：(1)(解答過程略去，只給出結(jié)論) 當(dāng)a 0時，函數(shù)f(x)在(0,1 )上單調(diào)遞減，在(1,

12、+8)上單調(diào)遞增； 1 當(dāng)a= 時，函數(shù)f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞減； 2 111 當(dāng)0a g(X2)” 等價于 1 “g(x)在1,2上的最小值不大于 f(x) 在(0,2 )上的最小值f(1)=(探) 2 2 2 又 g(x)=(x b) +4 b , x 1,2,所以 當(dāng)b0,此時與(探)矛盾； 當(dāng)b 1,2時，因為g(x) min=4 b20，同樣與(探)矛盾； 當(dāng) b( 2, +R)時，因為g(x) min=g(2)=8 4b. 1 17 解不等式8 4b. 2 8 17 綜上，b的取值范圍是乂，+ R). 8 五雙函數(shù)“任意”+ “任意”型 戰(zhàn)略思想十：-為 A, -X2，B

13、，使得 仁為)-g(X2)成立二f(X)min - g(X)max 149x + c 例12.已知函數(shù)f(x)x3 -x2 -3x ,g(x)，若對任意 332 X1,X2 - -2,2，都有 f (xj ： g(X2)，求 c的范圍. 解：因為對任意的x1,x -2,2，都有f(x) ： g(x2)成立， 2 f(X)max ：g(X)min ,f(X)= X -2x3 , 令 f (x)0得 x 3, x ： -1x 3 或 x v -1 ； f (x) : 0 得 一 1 ： x 3 ； f (x)在-2,-1為增函數(shù)，在-1,2為減函數(shù). 18 + c 3(2)-6 , f (x)ma

14、x =3,. 3 ： , c :： -24. 2 R; 例 13.已知兩個函數(shù) f(x) =8x2 16x -k,g(x) = 2x3 5x2 4x,x -3,3, k (1) 若對-3,3,都有f(x)乞g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍； (2) 若-3,3,使得f(x)g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍； (3) 若對一為公2 -3,3,都有fdJgd?)成立，求實數(shù)k的取值范圍； 32 解：(1)設(shè) h(x)二 g(x) - f (x) = 2x -3x -12x k , (1)中的問題可轉(zhuǎn)化為： X -3,3時，h(x)_0 恒成立，即h( x) min -0. h(x) =6x2 -6

15、x -12 (x -2)(x 1)； 當(dāng)x變化時，h(x),h(x)的變化情況列表如下: X -3 (-3,-1 ) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 r (x ) + 0 0 + h(x) k-45 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) k-9 因為 h(_1) =k 7, h(2)二 k_20,所以，由上表可知h(x)mirl 二 k-45 , 故 k-45 0,得 k 45,即 k 45,+). 小結(jié)：對于閉區(qū)間 I，不等式f(x)k 對x I時恒成立二f(x)maxk 對x I 時恒成立二f(x) mink, x I. 此題常見的錯誤解法：由f(x) maW g(X) min解

16、出k的取值范圍這種解法的錯誤在于條件“ f(X) max Wg(X) min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價 0. (2)根據(jù)題意可知, (2)中的問題等價于 h(x)= g(x) f(x) 0 在 x -3,3 時有解，故h(x)max 由(1)可知h(x) max= k+7，因此 k+7 0, 即卩 k 7,+). (3)根據(jù)題意可知, (3 )中的問題等價于f(x)maxW g(x) min, x -3,3. 由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得，x -3,3時，f(x)max=120 k. 仿照(1),利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x -3,3時，g(x) min= 21. 由 120

17、k 21 得 k 141,即 k 141,+). 說明：這里的X1,X2是兩個互不影響的獨立變量 從上面三個問題的解答過程可以看出，對于一個不等式一定要看清是對“一 X”恒成立，還是“X” 使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量 ,然后再根據(jù)不同的情況采取不 同的等價條件，千萬不要稀里糊涂的去猜 六雙函數(shù)“存在”+ “存在”型 戰(zhàn)略思想一 :-1為 A, Tx2 B，使得 f(Xj-g(X2)成立二 f (X)min - g(X)max ； X1 代 X2 B，使得 f (X1)- g(X2)成立 U f(X)max - g(X)min . x 3 例14 已知函數(shù)f

18、(x)=lx十，1 g(x) = x2 2bx + 4 .若存在 4 4x x (0,2) , x 1,2 ,使 f(xJmg(X2)，求實數(shù) b取值范圍 113 解析；f(x)匚蔦一4? (x-1)(x-3) 4x2 1 f(X)min 二 f -. .f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減, 1 依題意有 f(X)min - g(X)max，所以 9 ( X)max - -又 g (X)=(X - b)2 - F，4 , g(1) -217 從而2，解得b乞17 . g(2)_詩8 戰(zhàn)略思想十二：“A,X2 B，使得f (xj =g(X2)成立”等價于 “ f(x)的值域與g(x)的值域相交非空”. 191 例 15.已知函數(shù) f (x) = x3 (1-a)x2-a(a 2)x(a R) , g(x) x .是否存在實數(shù) a，存 63 在x 1-1,11, X21.0,2 1，使得f(x,) 2ax1 =g(X2)成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在， 說明理由. 191一 1 解析：在0,2 上g x x 是增函數(shù)，故對于 xE .0,2 1, g x,6 . 63I 3 設(shè) h x