特征值特征向量的應(yīng)用

1、特征值特征向量的應(yīng)用1)求方陣的高次幕一般說，求矩陣的高次幕比較困難，但若矩陣a可以對角化，即存在可逆矩陣p 使1 .p-ap =diag( i,jl n) =a .其中兀，%,1兒兒是a的全部特征值.且a = pap,，則對任意正整數(shù)k有ak = (pap。)k= (pap-pap-|papj1)=pakp.所以可通過a的相似對角陣來求an 0例1作為計算矩陣高次幕的一個實例，考察如下問題：設(shè)某城市共有3 0萬人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保 持不變，而社會調(diào)查表明：(1)在這30萬就業(yè)人員中，目前約有15萬人從事農(nóng)業(yè)，9萬人從事工業(yè)，6 萬人經(jīng)商；(2)在從農(nóng)人員中，每年約

2、有20%改為從工，10%改為經(jīng)商；(3)在從工 人員中，每年約有20%改為從農(nóng)，10%改為經(jīng)商;(4)在從商人員中，每年約有10% 改為從農(nóng),1 0 %改為從工。現(xiàn)欲預(yù)測一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過多之后，從事各業(yè)人員總 數(shù)之發(fā)展趨勢。解:若用3維向量xi表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知彳5、xo =9，而欲求xx2并考察在n 一日大n的發(fā)展趨勢，引進3階矩陣a=a包j用以刻畫從事這三種職業(yè)人員間的轉(zhuǎn)移，例如:a23 =0.1表明每年有10%的從工人員改去經(jīng)商。于是有0.70.20.1a =0.20.70.1 ,由矩陣乘法得0.10.10.8_12.9、x 1 =atx0

3、= ax 0= 19.9 ,x 2 = a x 1= a2x 011.73、10.23所以 x n = a xn=anx要分析xn就要計算a的n次幕an ,可先將a對角化0.7-兒0.20.1即 a 九e =0.20.7九0.1=(1- z)(0.7- )(0.5)0.10.10.8九特征值為 1=1,2=0.7, ， 3 =0.5分別求出對應(yīng)的特征向量q1,q 2 ,q3 并令 q= q 1 ,q2 ,q3 ,則有 a= qbq 1從而有a n =qbq /，再由 x n =a n x 0 , b=一10：000.700【 00.5,b n一10-000.7n0000.5n可知n 一00一1

4、日由n將趨于0：0010，故知a n將趨于q 0-0010 q，因而0xn將趨于一確定常量x * ,因而x亦必趨于x * ,由x n =ax n，知x*必滿足x*=ax*,故x*是矩陣a屬于特征值4= 1的特征向量，x *t=,t +t +t,均為=3 =30,t =10,照次規(guī)律轉(zhuǎn)移，多年之后,從事這三種職業(yè)的人數(shù)將趨于相等 10萬人。2求方陣a的多項式的行列式的值kk 1設(shè)n階方陣a可對角化，即存在可逆矩陣p使a =pa p一,其中a =diag(兀，九2 jha ),及5 ml 4是a的全部特征值.因此對方陣a的多項式 f(a)=amam +|+aia + ae ,有f(a) =p(am

5、 | aj ae)p.即f( a)| = am am 十 |l + a1a +a()e| =p( axm +| 十 aia 十 a0e )p；=am am + |+aia +ae： = diag( f(一 ), f (一 )j|i, f (?-n)= f()f( 2)111 f( n).例1設(shè)n階實對稱矩陣a滿足a 2 =a,且a的秩為r,試求行列式的值。解：設(shè)ax = kx, x半0,是對應(yīng)于特征值九的特征向量，因為a 2 = a ,則九x = a x =a x=兒x,從而有(九-九)x=0,因為x w 0所以九(九-1)=0,即九=1 或0,又因為a是實對稱矩陣，所以a相似于對角矩陣,a的

6、秩為r,故存在可逆矩 陣p ,使得p,ap= 0 =b，其中er是r階單位矩陣，從而2e-a = 2pp-pbp ,=2e -b =23由特征值與特征向量反求矩陣若矩陣a可對角化，即存在可逆矩陣p使p -1ap= b ,其中b為對角矩陣，則a =pbp 4例1設(shè)3階實對稱矩陣a的特征值為%=-1, % = %=1，對應(yīng)于的特征向量為p 1= 1，求矩陣ao解:因為a是實對稱矩陣，所以a可以對角化，即a有三個線性無關(guān)的特征向量，精品資料，x設(shè)對應(yīng)于九2= 1=1的特征向量為p= x2，它應(yīng)與特征向量p 1正交kx3t即p,pi= 0xi+x2+x3=0,該齊次方程組的基礎(chǔ)解系為 p 2= 00、

7、p 3= 1 ，它們即是對應(yīng)于九2=九3=1的特征向量0 1取 p =(p 1,p 2,p 3 )= 1 01 00 i 11 ,b= 0-0則p,ap= b ,于是0 10 |11 .一 ._a =pbp =10 101 0 i04判斷矩陣是否相似0001/21/21001 0100= 00-10 10 1/2 -1/2_ _0-10_例1下述矩陣是否相似20021a 1=020,a 2=02003_p002011 ,a3=0203_p03_解：矩陣a 1,a 2,a 3的特征值都是1=2(二重)，九2=3，其中a1已是對角陣，所以只需判斷a 2,a 3是否可對角化先考查a 2,對于特征值九

8、1=2，解齊次線性方程組(2e- a 2)x=0得其基礎(chǔ)解系為町=0，由于九 1=2是a2的二重特征值，卻只對應(yīng)于一個特征向量，故a2不可對角化或者說a 2與a 1不相似。再考查a 3,對于特征值=2,解齊次線性方程組(2e- a 3 ,)x=0得基礎(chǔ)解系;對于特征值2=3解齊次線性方程組(3e- a 3,)x=0，得基礎(chǔ)解系由于a 3,有三個線性無關(guān)的特征向量，所以a 3,可對角化，即a 3,與a i相似。5求特殊矩陣的特征值例1設(shè)a為階實對稱矩陣，且a2=2a,又r(a)= r“=a，上=，汽,又因為a2=2a,所以a2，u=2a九=27上，所以九2 二2兒，由此可得 九二2或0,因為a是實對稱矩陣，所以a必能對角化即a sb二 2、.2，且r(a)=r(b),故2的個數(shù)為a的秩數(shù)，即a的特征值為r個20