證券投資理論綜述

1、作業(yè)一：對香港長江實業(yè)期權(quán)定價的實證分析1、理論基礎(chǔ)本文主要用 Black-Scholes期權(quán)定價模型，該模型認為，只有股價的當前值與未來的預(yù)測有關(guān)；變量過去的歷史與演變方式與未來的預(yù)測不相關(guān)。模型表明，期權(quán)價格的決定非常復(fù)雜，合約期限、股票現(xiàn)價、無風(fēng)險資產(chǎn)的利率水平以及交割價格等都會影響期權(quán)價格。1.1 B-S 定價模型的假設(shè)股票價格行為服從對數(shù)正態(tài)分布模式；在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的； 市場無摩擦， 即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割；金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得( 該假設(shè)后被放棄 ) ；該期權(quán)是歐式期權(quán)， 即在期權(quán)到期前不可實施。不存在無風(fēng)險套

2、利機會； 證券交易是持續(xù)的；投資者能夠以無風(fēng)險利率借貸。1.1 B-S 定價公式的推導(dǎo)It o 過程： dxa( x, t)b( x, t )dz 。B-S 期權(quán)定價模型中：dSSdtSdz (1)dSdtdz(2)S(1)式離散形式：Stztt (3)S即S N (S,t )S設(shè)變量 G 為股價 S 與時間 t 的函數(shù)，即 GG (S, t) ，由泰勒公式：GGSGt12 G S 22 GS t12 Gt 2. (4)St2S 2S t2t 2其中SS tS zS tSt得S22 S2 2 t0(t )。由于服從正態(tài)分布，故E ( 2 ) D( ) E 2 ( ) 1知 2t 的期望值為t

3、2 。當 t 趨于 0時， 2t 為非隨機項，且當t 趨于 0 時，其值等于2 S2t 。將上述結(jié)果代入 (4)式，且令S 和 t 趨于 0，得到 G 微分形式：dG( GSG12 G2 S2 )dtGSdz (5)St2S2S2令 Gln S ，得： dG()dtdz 。222 的一般化維納過程。這表明 G 遵循恒定的漂移率為2，方差率為設(shè) t0 時刻 G 的值為 ln S0 ， t1時刻 G 的值為 ln ST 。其中 ST 是 T 時刻的股票價格，因此在 T 期間 G 的變化為： ln STln S0 。從而有：2ln STln S0 N (2)T,T 2ln ST N ln S0(2)

4、T ,T TT2T()dtdzd ln ST0002T2()(T0)(ZTZ 0 )ln S022ln STln S0()TZ T( ZT1 T )22() Tt T STS0e222E S T E S 0 e(2()TS 0 e2e2()TS 0 e2e) Tt T() TtT22S 0 eE ex T1x 22dxe22 T1( xx T) 222dxe2(2)T(T) 2(22 T) Te 2S 0 e TS 0 e2e2S 0 e22(2) Tt TT2D ST E S0 eS0 e2222 (2)TtT 2T() TtT TE ee2 e2eS02 (2) T(2) T222T x2

5、 T2x TT eE ( e) e2 eE (e) eS0又因為：E e 2T x e 2T x1x 2e2 dx22 2T1( x 2T) 222Tee2dxe2所以原等式等于：222S 02 e2 T ()2e() Te 2TeT 2 e 2 T2 T2 e2S 02 e 2 T e2 Te 2 T2 e 2 T S 02 e 2 T e2 T1 當 S 給定時 ST 服從對數(shù)正態(tài)分布，且有2T ()TtE ( S T )S 0 e2E t S 0 e2T (2)tTS 0 eT2S 0 e2 T e2 T1 D ( S T )E S 0 eS T N (2ln) T ,T S21S T2

6、ln N (2,)TST由 t 0 與 t 1 之 復(fù)利年收益 ：1ST。TlnS得：2N(2,) 。T由 (1)式 dSSdt Sdz ， f是依 于 S 的衍生 券的價格，有df(fSf12 f2 S 2 ) dtfS d z(6)St2S 2S其離散形式：f(fSf12 f2 S 2 ) tfS z (7)St2S 2S(6)、(7)式遵循的 程相同，即z 相同。B-S 微分方程的推 構(gòu)造如下 券投 合： 出一份衍生 券， 入f 份股票 。S 券投 合的價 ：ff S(8)S考 化， 券 合的價 化 ：fS (9)fS將 (6)、(7)、(8)代入 (9)式得：(f12 f 2 S2 )

7、 t (10)t2S 2設(shè) r 是無 收益率， rt將方程 (7)、 (10)代入上式得：( f12 f2 S2 ) tr ff Stt2S 2S即：frSf12 f2 S 2 )rf(11)tS2S 2 不同基 券 S 定 的不同衍生 券，方程(11)有不同的解，所得到的特定衍生 券取決于使用的 界條件。歐式看 期 ， 界條件 ：fmax( XST ,0)歐式看跌期 ， 界條件 ：fmax(X ST ,0) 投 者都是 中性的，從而 券的 期收益率都是無 利率r 。根據(jù) 中性定價理 ， 歐式看 期 到期日的期望 ：Emax( STX ,0) 。歐 式 看 漲 期 權(quán) 價 格 C 以 無 風(fēng)

8、險 利 率 r貼 現(xiàn) 的 結(jié) 果 ：c e r ( T t ) Emax( STX ,0) 。在 中性的條件下，將替成 r ， 股價 數(shù)：2ln ST N ln S0(r)T ,T ，2記21ln S0( r)T , 1T2得ln ST N( 1,1) 。E max ( STX ), 0X （ yX） g St( y ) dy1(lny11 ) 2（ yX）e22dyX21 y令 Sln yt ，et( t1 )2X(t1 )2原式 = ln X.e2 122dtln X2e22dt111t22 ( 12) t ( 12)2111e212ln X221t 22 ( 112 ) t ( 1112

9、2e2e1lnX2設(shè)t(112 )12111原式e2lnX(112)122lnX(1112 1eN (1 t ( 12)2111ee2dt1221lnX2lnX(211121 )e1N12112dt12 ) 2dt2e2 d21) )ln(S ) ( r0.5 2 )TS0 erT.N X SerT.N ( d 1 )TX 1 N ( ln X1 ) X .N (ln X1 )11lnS( r0 .52 )TX . N XT X . N ( d 2 )S( r2) Tln(S ) (r0.5 2 )T其中： d 1ln( )0 .5， d 2Xd1TXTTc e rT .Emax( STX ,

10、0)e rT SerT N (d1 )XN (d 2 )SN(d1 ) Xe rT N (d2 )根據(jù)歐式看漲期權(quán) c 與看跌期權(quán) p 之間的平價關(guān)系，得：cXe rT歐式看跌期權(quán)的價值為：pcXXerT歐式看漲期權(quán)的價值為：pSXe rT .N (d 2 )S.N (d1 )pSN ( d 1 )Xer TN ( d 2 )2、數(shù)據(jù)樣本的介紹與分析數(shù)據(jù)選取的是恒生指數(shù)中所占權(quán)重最大的長江實業(yè) (00001)以及相關(guān)權(quán)證。長江實業(yè)是一間地產(chǎn)發(fā)展及策略性投資公司，為香港規(guī)模最大的地產(chǎn)發(fā)展商之一，在香港擁有一系列的住宅及工商物業(yè)。在香港的每十二個私有住宅單位中，便有一個由長實發(fā)展。長江實業(yè) (00

11、001)的市值，每口交易量，相關(guān)權(quán)證的流通量和交易量，每股收益等數(shù)據(jù)均居于香港市場的前列， 且處于房地產(chǎn)板塊這樣一個高波動的板塊，對于我們所要進行的研究具有相當大的代表性。首先計算數(shù)據(jù)樣本的收益率，計算公式為： S ln( pt / pt 1 ) ，得到的部分數(shù)據(jù)如下表。日期開盤價最 高 價最 低 價收盤價收益率成交額( 元)( 元)( 元 )( 元 )( 百 萬元)2012-12-28118.7119.5118.3118.9221.212012-12-31118.21191181190.000840689159.662013-1-2119.3121.9118.7121.80.02325686

12、2548.882013-1-3121.5121.9120.1120.4-0.011560822563.922013-1-4121.2121.3120.1120.90.004144225318.972013-1-7121.7123.7120.9123.50.021277398720.112013-1-8123.2123.7121.6122.4-0.008946786378.082013-1-9123.8124.8122.8124.70.018616483454.952013-1-10125.9127.2124.4127.10.019063326863.982013-1-11126.5127125

13、.5125.9-0.009486237476.062.1 收益率的單位根檢驗對長江實業(yè)區(qū)域行情數(shù)據(jù)的收益率進行單位根檢驗，其檢驗結(jié)如下表所示由此可見，長江實業(yè)股票收益率序列在99%的置信水平水平上拒絕單位根假設(shè)，收益率序列不存在單位根，收益率序列是平穩(wěn)的。2.2 正態(tài)性檢驗用 eviews 對收益率進行處理，分析收益率的正態(tài)性，并得出收益率的相關(guān)統(tǒng)計量。具體結(jié)果如下所示。運用 eviews 軟件計算收益率的均值、方差、標準差等統(tǒng)計量，所得結(jié)果如下表所示。SMean-0.002304Median-0.000891Maximum0.036572Minimum-0.027961Std. Dev.0.

14、013314Skewness0.253316Kurtosis3.895573Jarque-Bera1.411637Probability0.493704Sum-0.073713Sum Sq. Dev.0.005496Observations32可以看出收益率的方差不變，這滿足傳統(tǒng)的 B-S 模型中的要求。對每日收盤價取自然對數(shù)，并分析其是否符合正態(tài)分布，得到的相關(guān)圖表如下所示：從上圖中可以看出，股票價格基本服從對數(shù)正態(tài)分布，滿足傳統(tǒng)B-S 條件。2.3 無風(fēng)險利率的確定無風(fēng)險利率是指投資者能夠按此利率進行無風(fēng)險借貸的利率，在推導(dǎo)權(quán)證定價模型時我們假定無風(fēng)險利率為常數(shù)。在實際定價過程中， 無風(fēng)險

15、利率隨權(quán)證的期限而變化， 因此在確定具體無風(fēng)險利率的時候，理論界存在一定的分歧， 根據(jù)香港市場的實際情況， 一般采用的是銀行同業(yè)拆借利率為無風(fēng)險利率。所以，我們采用 12個月的同業(yè)拆借利率 1.049%作為無風(fēng)險利率，并將其轉(zhuǎn)化成連續(xù)復(fù)利為1n(1+1.049%)=1.04%。2.4 波動率的計算影響權(quán)證定價的主要因素應(yīng)該是股票的預(yù)期波動率。股票價格波動率被定義為股票收益率 ( 股票價格變動比例 ) 的標準差，它反映了股票價格的 “發(fā)散”程度。從理論上講權(quán)證的價格受權(quán)證存續(xù)期間標的股票波動率的影響， 波動率增加會給權(quán)證持有者帶來更多的獲利機會， 權(quán)證的價格就會上升； 但是，事后的波動率事前并不

16、能準確得知。 在實際操作中一個常用的方法是用標的股票歷史的波動率來替代將來派生證券存續(xù)期標的股票的波動率。本文采用 2012年 12-31 日至 2013年 7-3 日的每日收盤價計算歷史波動率。 計算方 法 ： 設(shè) rtln( xt/ xt 1 ) 為 t 時 刻 的 收 益 率 ， 其 標 準 差 估 計 為1n2S 252 ，計算結(jié)果為：21.14%S( rir )，其年化波動率為n 1 i 12.5 模型權(quán)證的理論定價的計算我們使用 B-S 模型來計算權(quán)證的理論價格。B-S 的定價公式為：c SN (d1 )Xe rT N (d2 )ln( S )(r0.5 2 )TXd1Tln( S

17、 ) (r - 0.52 )TXd1Td2T從公式中可以看出，期權(quán)價格僅依賴于股票價格的波動率、無風(fēng)險利率r、期權(quán)的到期時間 T、執(zhí)行價格 X 、股票的時價 S。具體的，長實法巴四零一購還有六個月到期，因此： T=0.5，S=0.056，X=0.054，無風(fēng)險利率為 1.04%，波動率為21.14%。ln( 0.056 / 0.054) (0.01040.5 0.21142 ) 0.5所以： d10.50.35050.2114ln( 0.056 / 0.054)(0.0104 - 0.50.2114 2 )0.5d20.21140.50.2027Xe-rT0.054 e- 0.0104 0 .

18、50.543查表的 N (0.3505) 0.6368N (0.2027)0.5793N (-0.3505) 0.3632N (-0.2027) 0.4207將上述數(shù)據(jù)代入公式計算得： cSN( d1 )Xe rT N (d2 )0.0438PXe rT N ( d2 ) SN ( d1 ) 0.2081作業(yè)二：購買十只股票的最優(yōu)投資組合1、理論基礎(chǔ)馬科維茨討論了投資者將一筆資金在給定的持有期進行投資的問題，也就是選擇一個最優(yōu)的證券組合。 由于每種證券 （從而證券組合） 未來的收益率是未知的，因此，不可能做出一個保證獲得最高收益的決策。 盡管可以估計每種證券未來的收益率（期望收益率） ，仍然不

19、能滿足上面的要求，這是因為，基于期望收益率的決策最多只能獲得最高平均收益率（組合的期望收益率） 。正是因為對收益率的不確定性（風(fēng)險）在決策中的關(guān)注，馬柯維茨指出，任何一位投資者在追求“高收益”的同時，還希望“收益盡可能是確定的”。決策目標應(yīng)該有兩個： 第一，“盡可能高的收益率” ；第二，“盡可能低的不確定性 （風(fēng)險）”。1.1 收益與風(fēng)險的度量有關(guān)風(fēng)險和收益的度量， 本文用期望度量收益， 用方差 ( 或標準差 ) 度量風(fēng)險。具體的用歷史數(shù)據(jù)估計期望收益率和方差樣本均值和樣本方差。假設(shè)收益率的概率分布是恒定的， 那么，實際收益率就是來自同一概率分布的抽樣樣本。因而，可以用樣本均值和樣本方差對期望

20、收益率和方差進行估計。假設(shè)從時刻 t 1 到 tn 的實際收益率是 ri (i1,2,., n) ，這就是由收益率的時間序列所構(gòu)成的樣本，則樣本均值和樣本方差為：r1 nrin i 11n2( ri r )2n1 i 11.2 證券之間的關(guān)聯(lián)性 - 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)用 rA , rB 分別表示證券A 和證券 B 的收益率，則其聯(lián)合分布通常表示為：P(r ArAi , rBr Bj )Pij證券 A 和證券 B 的協(xié)方差由下式計算：mncov(rA ,r B )( rAi Er A )(r Bj ErB ) piji 1j 1協(xié)方差反映兩種證券協(xié)同變化的數(shù)量，數(shù)值大小依賴于證券收益率與自身期望收

21、益率的偏離程度。 然而，協(xié)方差的數(shù)值大小并不能完全反映證券間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。為了對相關(guān)程度做出衡量，應(yīng)將上面的偏離程度進行標準化，標準化后的協(xié)方差就是相關(guān)系數(shù)。數(shù)學(xué)公式如下：ABcov(rA ,r B ) ，AB其中，A , B 分別是證券 A 和證券 B 的標準差。1.3 證券投資組合的期望方差計算證券投資組合的方差與期望的確定要計算組合P 的期望收益率和方差，除了要知道證券 A 和 B 的期望收益率和方差外， 還必須知道證券 A 和 B 之間的相關(guān)系數(shù)AB （或協(xié)方差）。計算公式如下：E(rP )WAE( rA )WB E(rB )222222 WAWBABA BPWAAWBB顯然 , 選擇不

22、同的組合權(quán)數(shù) WA ，就可以得到不同的證券組合， 從而得到不同的期望收益率和方差。投資者可以根據(jù)自己的偏好， 選擇符合自己要求的證券組合。1.3 馬柯維茨均值方差模型要使用數(shù)學(xué)模型，就需要對客觀現(xiàn)實進行假設(shè)。雖然社會科學(xué)對條件假設(shè)不像數(shù)學(xué)那樣嚴格，必要的說明還是不可少的，馬柯維茨模型做了下面的假設(shè)。假設(shè) 1：投資收益率的概率分布是已知的；假設(shè) 2：投資風(fēng)險用投資收益率的方差或標準方差標識；假設(shè) 3：影響投資決策的主要因素為期望收益率和風(fēng)險；假設(shè) 4：投資者都遵守占優(yōu)原則；同一風(fēng)險水平下，選擇收益率較高的證券；同一收益率水平下，選擇風(fēng)險較低的證券。理性的投資者總希望風(fēng)險盡量小而收益盡量大，或者收

23、益相等風(fēng)險最小。 收益相同風(fēng)險最小，即在給定的期望收益率下，尋找最小方差的資產(chǎn)組合;風(fēng)險相同收益最大，即在給定的方差下，尋找最大期望收益的資產(chǎn)組合 .以上兩種組合中所有有效組合的集合就稱作 有效前沿 。求最優(yōu)投資組合就是在一定的預(yù)期收益水平下， 求方差最小的組合。 可表示為如下最優(yōu)問題：min1 W VW W 2w RE (r p )s.tw I 1) ，表示 N 個風(fēng)險資產(chǎn)收益率的期望向量，其中， R ( E(r1 ), E(r2 ),., E(rN是已知的。 I 表示每個分量都等于1 的 N 維向量，V 表示 N 個資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣，W表示權(quán)重，前沿證券組合所對應(yīng)收益率E (rP ) ，體

24、現(xiàn)在約束條件中。2. 實證研究2.1 數(shù)據(jù)選擇本文選取中國 A 股中十支股票，分別為：中航動控、滄州明珠、海信電器、太原剛玉、五礦稀土、大康牧業(yè)、新華龍、上海物貿(mào)、大同煤業(yè)、南京熊貓。運用matalb 計算一天之中收益率的均值、收益率的方差，進一步用matlab 計算十只股票的協(xié)方差矩陣、相關(guān)系數(shù)矩陣。2.1.1 十只股票的收益率、收益率標準差ln(pt )在 EXCEL中計算原始數(shù)據(jù)的收益率，計算公式為：pt 1中。將得到的數(shù)據(jù)導(dǎo)入 matlab 中求出每只股票收益率的均值和標準差分別代表該只股票的收益率和收益率標準差。股票收益率 (%)收益率標準差 (%)中航動控 (zh)0.4780.2

25、65滄州明珠 (cz)0.03720.245海信電器 (hx)0.03760.2649太原剛玉 (ty)0.03660.3314五礦稀土 (wk)0.05440.2742新華龍 (xh)0.053160.3029中國建筑 (zg)0.010170.26303中信國安 (zx)0.051490.27055南京熊貓 (nj)0.014640.17907大同煤業(yè) (dt)0.049280.49132.1.2 十只股票的協(xié)方差矩陣在 matlab 中用原始數(shù)據(jù)中的十只股票收益率計算十只股票的協(xié)方差矩陣，所得到的結(jié)果如下表所示：zhczhxtywkxhzgzxnjdtzh0.0728-0.0004-0.

26、0011-0.00110.0020.00550.0030.00210.0062-0.0008cz-0.00040.05750.01630.00760.0060.00420.00170.0090.00020.0034hx-0.00110.01630.0710.0040.01410.00410.00280.01150.00050.0089ty-0.00110.00760.0040.11220.02290.01040.00130.00920.00320.0038wk0.0020.0060.01410.02290.07660.00530.00720.02230.00290.0161xh0.00550.

27、00420.00410.01040.00530.09260.00510.0091-0.0009-0.0211zg0.0030.00170.00280.00130.00720.00510.06960.00090.00190.0129zx0.00210.0090.01150.00920.02230.00910.00090.07420.00280.0019nj0.00620.00020.00050.00320.0029-0.00090.00190.00280.03210.0013dt-0.00080.00340.00890.00380.0161-0.02110.01290.00190.00130.2

28、4252.1.3 十只股票的相關(guān)系數(shù)矩陣在 matlab 中運用原始數(shù)據(jù)的收益率計算十只股票的相關(guān)系數(shù)矩陣，計算結(jié)果如下表所示：zhczhxtywkxhzgzxnjdtzh1-0.0054-0.0157-0.0120.0270.06760.04220.02880.1275-0.006cz-0.005410.25490.09470.09050.0570.02660.13810.00370.0288hx-0.01570.254910.04520.19070.050.03970.15780.00950.0681ty-0.0120.09470.045210.24740.10240.01470.1012

29、0.05420.0229wk0.0270.09050.19070.247410.06320.09840.29580.0590.1181xh0.06760.0570.050.10240.063210.0630.1092-0.0162-0.1407zg0.04220.02660.03970.01470.09840.06310.01320.04050.0996zx0.02880.13810.15780.10120.29580.10920.013210.05660.0145nj0.12750.00370.00950.05420.059-0.01620.04050.056610.0142dt-0.006

30、0.02880.06810.02290.1181-0.14070.09960.01450.014212.2 最優(yōu)組合的確定通過以上十只股票的相關(guān)數(shù)據(jù)，分別通過求解最優(yōu)化問題:min1W VW W 2w RE (r p )s.t1w I求出均值 - 方差組合的有效前沿。在給定樣本數(shù)據(jù)相同的情況下，假定不同的期望收益率水平P，利用前面利用 matlab 已求出的各只股票的收益率(R) 、協(xié)方差矩陣 (V) ，使用 matlab 求解最優(yōu)化問題，得到的結(jié)果如下表所示。根據(jù)前面求出的協(xié)方差矩陣， 在 matlab 中求解上述二次規(guī)劃， 求得的結(jié)果如下表所示，具體的matlab程序見附錄。在下表中，最優(yōu)

31、組合（zh）表示在E( r p) r( zh) ；最優(yōu)組合 (E(R) 表示 E ( rp ) 為十支股票的均值收益率下的最優(yōu)組合。股票最優(yōu)組合最優(yōu)組合最優(yōu)組合最優(yōu)組合最優(yōu)組合（zh）（cz）（hx）(ty)(wk)zh0.98480.01670.01760.01540.0545cz0.05150.13390.13390.1340.1307hx0.04890.08750.08750.08760.086ty0.03520.05250.05250.05250.0518wk0.03440.03970.03970.03970.0395xh0.00560.09650.09640.09660.0929zg

32、-0.04890.13080.13060.1310.1238zx0.03460.07250.07240.07250.071nj-0.17250.33390.33350.33460.3142dt0.02640.0360.0360.0360.0356最優(yōu)值3.52E-065.60E-075.60E-075.61E-075.39E-07股票最優(yōu)組合最優(yōu)組合最優(yōu)組最優(yōu)組最優(yōu)組合最優(yōu)組合(xh)(zg)合 (zx)合(nj)(dt)(E(R)zh0.0518-0.04260.0481-0.03280.04320.1157cz0.13090.1390.13130.13810.13170.1255hx0.08610.08990.08630.08950.08650.0836ty0.05190.05360.05190.05340.0520.0507wk0.03950.040.03950.040.03960.0392xh0.09320.1020.09350.10110.0940.0872zg0.12420.14180.12490.140.12580