運(yùn)用運(yùn)算律的討論

1、運(yùn)用運(yùn)算律的討論蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)第62 頁(yè)“試一試”有這樣一道題 : 你能用簡(jiǎn)便算法計(jì)算嗎?(2)5 372=5237=1037=370。對(duì)其運(yùn)用的運(yùn)算律是乘法交換律還是乘法交換律和乘法結(jié)合律, 一些學(xué)生和教師產(chǎn)生分歧 , 下課后老師們?cè)谵k公室內(nèi)你一言我一語(yǔ)的爭(zhēng)論起來(lái)。爭(zhēng)論半天, 大致分為三種觀點(diǎn):一、運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律(1) 算式 5372中的乘數(shù) 37 和 2 先交換了位置 , 然后 5 和2 結(jié)合。認(rèn)為乘法結(jié)合律的核心是誰(shuí)與誰(shuí)結(jié)合后使計(jì)算簡(jiǎn)便。(2) 蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)教師教學(xué)用書(shū) ( 以下簡(jiǎn)稱“教參” ) 第 138 頁(yè)針對(duì)該題有這樣的敘述 : 對(duì)于5372,

2、“要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到: 僅僅應(yīng)用乘法結(jié)合律, 還不能使計(jì)算簡(jiǎn)便 , 還得先應(yīng)用乘法交換律交換乘數(shù)5 與 37( 或 37與 2) 的位置 , 再應(yīng)用乘法結(jié)合律, 才可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。 ”教參的意思應(yīng)為 : 先應(yīng)用乘法交換律交換乘數(shù)5 與 37 的位置 ,即:5 372=37(5 2)=3710=370或交換乘數(shù)37 與 2 的位置 , 即:5 372=5237=1037=370。所以交換乘數(shù)37與 2 的位置的算法是運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律。二、 5372=52 37 時(shí)只運(yùn)用了乘法交換律,5 372=(52) 37 時(shí)運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律算式 5372 中乘數(shù) 37 與 2 交換位置后

3、按運(yùn)算順序就應(yīng)該第 1頁(yè)先 算 5 與 2 的 , 運(yùn)算 序沒(méi) 生 化, 乘法 合律的核心是改 算式的運(yùn)算 序。5372=(5 2) 37 添加了小括號(hào) , 合律的重要 志是小括號(hào)的 用( 小學(xué)教材完全解 江 版四年 數(shù)學(xué)上冊(cè)/ 吉林人民出版社/ 劉慧主 第93頁(yè) ) 。三、只運(yùn)用了乘法交 律(1) 算式 5372 中乘數(shù) 37 與 2 交 位置后按運(yùn)算 序就 先 算 5 與 2 的 , 運(yùn)算 序沒(méi) 生 化 , 乘法交 律的本 是乘數(shù)的位置 生 化而運(yùn)算 序不 ; 乘法 合律的核心乘數(shù)的位置不 而算式的運(yùn)算 序改 。 5372 中交 乘數(shù) 37 與 2 的位置后 5237, 然后按運(yùn)算 序脫式

4、 算“ =1037=370”。(2) 小學(xué) 元測(cè)試 AB卷 教版四年 上冊(cè) ( 振生主 /青海人民出版社) 第 41 填空 5: 把符合要求的算式序號(hào)填在括號(hào)里。 (20+40)+60=20+(40+60)859=598a+125+75=125+75+a 40+(60+b)=(40+60)+b 用了加法交 律的是( 用了加法 合律的是( 用了乘法交 律的是 ( 用了乘法 合律的是( ) 。其中和中的乘數(shù)( 加數(shù) ) 交 位置 , 參考答案是 用了乘 ( 加 ) 法交 律 , 而不是 用了乘 ( 加 ) 法交 律和 合律。老 爭(zhēng) 后 第二種 點(diǎn) 憑加與不加括號(hào)判斷是否 用 合律的 點(diǎn)不可取 ,

5、在 里括號(hào)加與不加都不改 運(yùn)第 2頁(yè)算順序 , 只起到強(qiáng)調(diào)先算“5 與 2 的積”的作用。堅(jiān)持第一、第三種觀點(diǎn)的老師一時(shí)難分伯仲。就“結(jié)合”的定義 , 現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典 ( 商務(wù)印書(shū)館 / 第 5 版 ) 中這樣解釋 : 動(dòng)詞 , 人或事物間發(fā)生密切聯(lián)系。就“結(jié)合律”而言 , 就是乘數(shù) ( 加數(shù) ) 間發(fā)生密切聯(lián)系。這也是持第一種觀點(diǎn)的教師的理解 : 只要是兩個(gè)乘 ( 加 ) 數(shù)相乘 ( 加) 就是“結(jié)合”。真的是這樣嗎 ?筆者傾向于第三種觀點(diǎn)。關(guān)于乘法( 加法 ) 的交換律和結(jié)合律,教材中雖然沒(méi)有給出具體的文字?jǐn)⑹? 但教參第130 頁(yè)倒數(shù)第二段也指出“加法結(jié)合律涉及到的加數(shù)位置不變, 只是改變

6、了運(yùn)算順序” , 由此可以推及“乘法結(jié)合律涉及到的乘數(shù)位置不變 , 只是改變了運(yùn)算順序”。從算式5372 交換乘數(shù)位置變成5237, 算式的運(yùn)算順序都是從左到右依次計(jì)算 , 運(yùn)算順序沒(méi)有改變。下班后我翻閱發(fā)現(xiàn)西南師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第19 頁(yè)例 3 也有一道類似的例題 :8 9125。 數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)第 48 頁(yè)就明確敘述 : 如果把算式中的125 與 9 交換 , 則是乘法交換律的單獨(dú)應(yīng)用, 如果把算式中的8 與 9 交換 , 則它又是乘法交換律與乘法結(jié)合律的綜合應(yīng)用。即:8 9125=81259=10009=9000是乘法交換律的單獨(dú)應(yīng)用 ,8 9125=9(8 125)=91000=

7、9000才是運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律。第 3頁(yè)由此看來(lái)該算法只應(yīng)用了乘法交換律的觀點(diǎn)是正確的。但我又在網(wǎng)上搜索到人教論壇的一篇帖子, 讀后頓感汗顏 ,自己對(duì)運(yùn)算律理解得多么膚淺! 人教論壇中“枯燈”大師對(duì)一篇帖子的回復(fù)中這樣論述(http:/bbs.pep/viewthread.php?tid=208471):(1) 先要清楚什么是數(shù)學(xué)中的“交換律”。數(shù)學(xué)中的“交換律”是指 : 一種運(yùn)算“ x”和參加運(yùn)算的某集合A 中的任意“兩個(gè)元素” a、 b, 一定有 a*b=b*a, 我們就說(shuō)運(yùn)算“ * ”對(duì)于集合 A 滿足交換律。也就是說(shuō) , 談到“交換律”時(shí), 只是指“兩個(gè)元素參加運(yùn)算”的情況

8、! 所有的數(shù)學(xué)理論書(shū)籍都是這樣表述的, 絕無(wú)例外這可以說(shuō)是數(shù)學(xué)理論表述的一種“約定”。( 在正規(guī)的數(shù)學(xué)理論書(shū)籍中, 是絕對(duì)找不到將abc=acb 也稱為交換律的 )顯然 , 乘法對(duì)于整數(shù)集合滿足交換律; 減法對(duì)于整數(shù)集合不滿足交換律 ; 距陣乘法對(duì)于距陣集合也不滿足交換律。(2) 在 2534=2543 中 , 等號(hào)左邊的 3 和 4 還沒(méi)有進(jìn)行運(yùn)算呢 ( 在 2534中 ,3 只與 25 運(yùn)算 , 其積 75 才與 4 運(yùn)算 ),怎么可以運(yùn)用乘法交換律交換它們的位置呢?顯然 , 正是因?yàn)槌朔ㄟ€滿足結(jié)合律, 才能將 3 和 4 的位置交換過(guò)來(lái):2534=25(3 4)( 運(yùn)用結(jié)合律, 使 3

9、和 4 先進(jìn)行運(yùn)算 )第 4頁(yè)=25(4 3)( 因?yàn)? 和 4 進(jìn)行運(yùn)算了 , 所以可以運(yùn)用交換律交換它們的位置)=2543( 運(yùn)用結(jié)合律, 使 25 和 4 先進(jìn)行運(yùn)算 )總之 , 當(dāng)“ x”表示實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算,a 、 b、 c 屬于實(shí)數(shù)集合時(shí) ,a b c 確實(shí)等于 acb。但這決不能只看表面現(xiàn)象、望文生義地說(shuō)是“只運(yùn)用了交換律” , 而是“既運(yùn)用了結(jié)合律 , 又運(yùn)用了交換律”的結(jié)果。因此, 我們可以把“abc=acb”這樣一個(gè)規(guī)律, 說(shuō)成是由結(jié)合律和交換律證明了的一個(gè)“推論”。汗顏之余 , 細(xì)細(xì)回想加 ( 乘 ) 法的交換律 , 都是指兩個(gè)加 ( 乘 )數(shù)交換位置結(jié)果不變, 我只盯住“

10、位置交換”而忽略了“兩個(gè)元素參加運(yùn)算”即加( 乘) 數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是兩個(gè)。像5372=5237是在三個(gè)乘數(shù)之間交換位置, 應(yīng)用的運(yùn)算律不是乘法交換律的推廣而是乘法交換律和結(jié)合律的推廣 ! 進(jìn)一步查閱蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè) ( 教師教學(xué)用書(shū) ( 附錄一 ) 第 232 頁(yè)和 233 頁(yè)也有“從加法 ( 乘法 ) 交換律和結(jié)合律推廣”的論述證實(shí)了我的想法 : 三個(gè)以上的數(shù)相加 ( 乘),任意交換加 ( 乘 ) 數(shù)點(diǎn)位置 , 或者先把其中的任意幾個(gè)結(jié)合成一組相加 ( 乘 ), 再同其他數(shù)相加( 乘 ), 它們的和 ( 積 ) 不變。( 中小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)版)2019 年第 3 期和 7 8 期、2019 年

11、 1 2期也發(fā)表了有關(guān)運(yùn)算律是否可以改進(jìn)的文章, 筆者認(rèn)為一些和我一樣對(duì)此模糊認(rèn)識(shí)的教師之所以“糊涂”, 緣于沒(méi)有認(rèn)第 5頁(yè)清交換律和結(jié)合律的本質(zhì), 沒(méi)有積極探尋相關(guān)知識(shí)的理論背景 , 而不是改變被理論和實(shí)踐斷定為真理的運(yùn)算律。另外 , 筆者認(rèn)為是西南師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)( 數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū) ) 第 48 頁(yè)的論述有誤 , 誤導(dǎo)了我及一部分教師, 應(yīng)該改為 :如果把算式中的125 與 9 交換或 8 與 9 交換 , 是乘法交換律與乘法結(jié)合律的綜合應(yīng)用。思考 :1, 教材和教參對(duì)知識(shí)的解釋?xiě)?yīng)該是明確的。“課標(biāo)”頒布后的各版本實(shí)驗(yàn)教科書(shū)和教學(xué)參考書(shū)對(duì)于知識(shí)的形成過(guò)程與情感、態(tài)度; 價(jià)值觀敘述過(guò)多,

12、 但對(duì)于數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律的呈現(xiàn)“諱莫如深”, 造成了不用說(shuō)學(xué)生對(duì)概念、性質(zhì)、定律等結(jié)論的理解偏差 , 就是一部分教師 ( 特別是剛參加工作的教師 ) 對(duì)一些知識(shí)吃不透 , 對(duì)于一些概念、性質(zhì)、定律的本質(zhì)理解模棱兩可 , 教學(xué)中一味追求生活化、過(guò)程化 , 淡化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的揭示 , 使數(shù)學(xué)課失去了數(shù)學(xué)本色。2. 提高教研教學(xué)水平。我們教師肩負(fù)著培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才的歷史使命 , 提高我們的學(xué)科專業(yè)知識(shí)水平刻不容緩。對(duì)于一些意見(jiàn)和分歧要正本清源 , 多研討、多查閱相關(guān)資料、多請(qǐng)教專家學(xué)者。教學(xué)研究的目的是求真 , 最終是讓學(xué)生獲得更好的發(fā)展 , 尤其是在目前新課程改革的推進(jìn)過(guò)程中 , 多一些積極探索 , 多 +些理第 6頁(yè)性的思考 , 倡導(dǎo)求真務(wù)實(shí)的精神。只有教師把知識(shí)理解正確了、透徹了 , 才能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)