常用算法設(shè)計方法

1、常用算法設(shè)計方法常用算法設(shè)計方法要使計算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計一個算法，然后再根據(jù)算法 編寫程序。計算機(jī)程序要對問題的每個對象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量 用來描述問題的對象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個重要方面。算法是問題求解過程的精確描述，一個算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。 指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計算機(jī)按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能 在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對此輸入數(shù)據(jù)無解。通常求解一個問題可能會有多種算

2、法可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡單性 和易理解性。其次是算法所需要的存儲空間少和執(zhí)行更快等。算法設(shè)計是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡潔的形式設(shè)計和藐視算法，在算法設(shè)計時又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。一、迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法。設(shè)方程為f(x)=O，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：(1) 選一個方程的近似根，賦給變量xO；(2) 將xO的值保存于變量x1,然后計算g(x1)，并將結(jié)果存于變量xO；(3)

3、 當(dāng)xO與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟(2)的計算。若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的xO就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根xO=初始近似根；do x1=xO ；xO=g(x1) ；/*按特定的方程計算新的近似根*/ while ( fabs(xO-x1)Epsilon) ；printf(方程的近似根是n”，xO)；迭代算法也常用于求方程組的根，令X= (xO，x1，xn-1 )設(shè)方程組為：xi=gi(X)(I=0，1,，n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程組的根 for (

4、i=0;in;i+)xi=初始近似根；do for (i=0;in;i+)y【i=x【i；for (i=0;in;i+)x【i=gi(X);for (delta=0.0,i=0;idelta)delta=fabs(yi-xi)； while (deltaEpsilon) ；for (i=0;in;i+)printf( “變量 x%d的近似根是 f, I , xi);printf( “ n”)；具體使用迭代法求根時應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：(1) 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；(2

5、) 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導(dǎo)致迭代失敗。二、窮舉搜索法窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。【問題】將A、B、C、D、E、F這六個變量排成如圖所示的三角形，這六個變量分別取1，6上的整數(shù),且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個解。程序引入變量a、b、c、d、e、f,并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測試由 它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸 出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，

6、程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序?！境绦?】# include void main() int a,b,c,d,e,f;for (a=1;a=6;a+)for (b=1;b=6;b+)if (b=a) continue;for (c=1;c=6;c+)if (c=a)|(c=b) continue;for (d=1;d=6;d+)if (d=a)|(d=b)|(d=c) continue;for (e=1;e=6;e+)if (e=a)|(e=b)|(e=c)|(e=d) continue;f=21-(a+b+c+d+e);if (a+b+c=c+d+e)&(a+b+c=e+f+a)

7、printf( “ %6d,a);printf(“ 4d%4d ,b,f);printf(“ %2d%4d%4d ,c,d,e);scanf( “ *c” );按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9個變量排成三角形，每條邊有4個變量的情況，程序的循環(huán)重數(shù)就要相應(yīng)改變。對一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個排列看作一個長整數(shù)，則所有排列對應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個整數(shù)，從對應(yīng)最小的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每 個排列對應(yīng)的每個整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個排列找出對應(yīng)數(shù)列的下一個排列可在當(dāng)前 排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來實現(xiàn)。倘若

8、當(dāng)前排列為1，2，4，6，5, 3，并令其對應(yīng)的長整數(shù)為124653。要尋找比長整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一個數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某 個數(shù)字比它前一個數(shù)字大時，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說明還有對應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個排列。為了得到排列124653的下一個排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個數(shù)字，比如數(shù)字5,與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考察過程中第一個比 4大的數(shù)字。5與4交換后，

9、得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況 下，還應(yīng)選擇對應(yīng)最小整數(shù)的那個排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6, 4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2, 5，3, 4，6，這才是排列1，2，4, 6，5, 3的下一個排列。按以上想法編寫的程序如下?！境绦?】# include # define SIDE_N 3# define LENGTH 3# define VARIABLES 6int A,B,C,D,E,F;int *pt=&A,&B,&C,&D,&E,&F;int *sideSIDE_NLENGTH=&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A;i

10、nt side_totalSIDE_N;main int i,j,t,equal;for (j=0;jV ARIABLES;j+)*ptj=j+1;while(1) for (i=0;iSIDE_N;i+) for (t=j=O;jLENGTH;j+)t+=*sideij;side_totali=t;for (equal=1,i=0;equal&iSIDE_N-1;i+)if (side_totali!=side_totali+1 equal=0;if (equal) for (i=1;i0;j-)if (*ptj*ptj-1) break;if (j=0) break;for (i=VARI

11、ABLES-1;i=j;i-)if (*pti*pti-1) break;t=*ptj-1;* ptj-1 =* pti; *pti=t;for (i=VARIABLES-1;ij;i-,j+) t=*ptj; *ptj =* pti; *pti=t;從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個示例來加 以說明?！締栴}】背包問題問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。設(shè)n個物品的重量和價值分別存儲于數(shù)組w和v中，限制重量為tw。考慮一個n元組(x

12、0，x1，xn-1 )，其中xi=0表示第i個物品沒有選取，而xi=1則表示第i個物品被選取。顯然這個n元組等價于一個選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們 只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。顯然，每個分量取值為0或1的n元組的個數(shù)共為2n個。而每個n元組其實對應(yīng)了一個長度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為02n-1。因此，如果把02n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個n元組。【算法】maxv=0;for (i=0;i2n;i+) B0.n-1=0;把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲于數(shù)組B中；temp_w=0;temp_v=

13、0;for (j=0;jn;j+) if (Bj=1) temp_w=temp_w+wj;temp_v=temp_v+vj;if (temp_wmaxv) maxv=temp_v;保存該B數(shù)組；三、遞推法遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時，解或為已知，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾?題規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為 i的解，直至得

14、到規(guī)模為 N的解?！締栴}】階乘計算問題描述：編寫程序，對給定的n (nW 100)，計算并輸出k的階乘k! (k=1，2，n)的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲長整數(shù)，存儲長整數(shù)數(shù)組的每個元素 只存儲長整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a存儲：N=am xi0m-1+am-1 Wm-2+ +a2 X01+a1 100并用a0存儲長整數(shù)N的位數(shù)m，即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個元素存儲k的階乘k!的一位數(shù)字,并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個元素、第三個元素 。例如，5! =120，在數(shù)組中的存儲形式為：3 0 2 1 首元素3表示長整數(shù)是一個3

15、位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1,表示成整數(shù)120。計算階乘k !可采用對已求得的階乘(k-1) !連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知 4! =24，計算5!，可 對原來的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。# include # include # define MAXN 1000 void pnext(int a ,int k) int *b,m=a0,i,j,r,carry;b=(int *) malloc(sizeof(int)* (m+1);for (i=1;i=m;i+)bi=ai;for (j=1;j=k;j+) for (carry=0,i=1;i=m;i+)

16、r=(i0;i-)printf( “ d ,ai);printf( “,);void main() int aMAXN,n,k;printf( “ Eittternumber n: “)；scanf(“ d，&n);a0=1;a1=1;write(a,1);for (k=2;k1 時)。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n) if (n=0) return 0;if (n=1) return 1;if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2);遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題(規(guī)模為n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規(guī)模小于n)的求

17、解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和 fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞 歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了 fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到f

18、ib(n)的結(jié)果。在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng) 某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第 n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至 計算出要求的第n項?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù) 1、2、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=

19、3的所有組合為：(1) 5、4、3(2) 5、4、2(3) 5、4、1(4) 5、3、2(5)5、3、1( 6)5、2、1(7) 4、3、2(8)4、3、1( 9)4、2、1(10) 3、2、1分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(intm,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求 m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放

20、在 ak中，當(dāng)一個組合求出后，才將a中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、k,函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素， 繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。【程序】# include # define MAXN 100int aMAXN;void comb(int m,int k) int i,j;for (i=m;i=k;i-) ak=i;if (k1)comb(i-1,k-1);else for (j=aO;jO;j-)printf( “ %4d ,aj);printf( n”“);voi

21、d main() a0=3;comb(5,3);【問題】背包問題問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。設(shè)n件物品的重量分別為 wO、w1、wn-1，物品的價值分別為 vO、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品 的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option，該方案的總價值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw;至此，若其余物

22、品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值 maxv時，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察 下一個方案。因為當(dāng)方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：（1）考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。按以上思想寫出遞歸算法如下：try（物品

23、i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價值tv） /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if（包含物品i是可以接受的）將物品i包含在當(dāng)前方案中；if （in-1）try（i+1,tw+ 物品 i 的重量,tv）;else/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存；恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性 */if （不包含物品i僅是可男考慮的）if （in-1）try（i+1,tw,tv-物品 i 的價值）；else/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存；為了

24、理解上述算法，特舉以下實例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價值見表：物品0 12 3重量5 3 2 1價值4 4 3 1并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進(jìn)一步找更好 的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并 去考察下一個分支。按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：【程序】# include # define N 100 double limitW,totV ,maxV;int optionN,copN;struct double weight;double value;aN;int n;void find(

25、int i,double tw,double tv) int k;/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if (tw+ai.weight=limitW) copi=1;if (in-1) find(i+1,tw+ai.weight,tv);else for (k=0;kmaxV)if (in-1) find(i+1,tw,tv-ai.value);else for (k=0;kn;k+)optionk=copk;maxv=tv-ai.value;void main() int k;double w,v;printf(輸入物品種數(shù)n”)；scanf(“ d，&n);printf(輸入各物品的

26、重量和價值n”)；for (totv=0.0,k=0;kn;k+) scanf(“ 1f%1f”，&w,&v);ak.weight=w;ak.value=v;totV+=V;printf(輸入限制重量n”)；scanf( “ 1f”，&IimitV);maxv=O.O;for (k=0;kn;k+)copk=0;find(0,0.0,totV);for (k=0;kn;k+)if (optionk) printf(“ 4d ,k+1);printf( n 總價值為 n ,maxv);作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生 成所有候選解，而是從

27、每個物品對候選解的影響來形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次 考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量 的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解 中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考 慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值 得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個物品?！境绦颉? include # define N 100double limitW;int copN;

28、struct ele double weight;double value; aN;int k,n;struct int flg;double tw;double tv;twvN;void next(int i,double tw,double tv) twvi.flg=1;twvi.tw=tw;twvi.tv=tv;double find(struct ele *a,int n) int i,k,f;double maxv,tw,tv,totv;maxv=0;for (totv=0.0,k=0;k=0) f=twvi.flg;tw=twvi.tw;tv=twvi.tv;switch(f) c

29、ase 1: twvi.flg+;if (tw+ai.weight=limitW)if (in-1) next(i+1,tw+ai.weight,tv);i+；else maxv=tv;for (k=0;kmaxv)if (in-1) next(i+1,tw,tv-ai.value);i+;else maxv=tv-ai.value;for (k=0;kn;k+)copk=twvk.flg!=0;break;return maxv;void main() double maxv;printf(輸入物品種數(shù)n”)； scanf(“ d，&n);printf(輸入限制重量n”)； scanf( “

30、 1f”，&IimitW);printf(輸入各物品的重量和價值n”)；for (k=0;kn;k+)scanf(“ 1f%1f” ，&ak.weight,&ak.value);maxv=find(a,n);printf( n選中的物品為n”)； for (k=0;kn;k+)if （optionk） printf（“ 4d ,k+1）;printf（ n 總價值為n ,maxv）;五、回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序 逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足 問題規(guī)模要求外，滿足

31、所有其他要求時，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足 包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一 個候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題 P,通常要能表達(dá)為：對于已知的由n元組（x1, x2,，xn）組成的一個狀態(tài)空間E= （x1，x2，xn）l xi Si ，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個分量的一個約束集D,要求E中滿足D的全部約束條件的所有 n元組。其中Si是分量xi的定義域，且|Si|有限， i=1，2，n。我們稱E中滿足D的全部約束

32、條件的任一 n元組為問題P的一個解。解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個解。但顯然，其計算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2,，xi ）滿足D中僅涉及到x1 , x2,，xi的所有約束意味著j （jvi ）元組（x1, x2，xj ） 定也滿足D中僅涉及到 x1, x2，xj的所有約束，i=1 , 2,，n。換句話說，只要存在 OWj ij。因此，對于約束集 D具有完備性的問題P, 旦檢測斷定某個j元組（x1 , x2,，xj ）違反D 中僅涉及x1 , x2,，xj

33、的一個約束，就可以肯定，以（x1, x2,，xj ）為前綴的任何n元組（x1, x2,，xj , xj+1，xn）都不會是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測它們?；厮莘ㄕ?是針對這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T,把在E中求問題P的所有 解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：設(shè)Si中的元素可排成xi（1）, xi（2），xi（mi-1） , |Si| =mi, i=1 , 2,，n。從根開始，讓T的第I層的每一個結(jié)點都有 mi個兒子。這mi個兒子到它們的雙親的邊

34、，按從左到右的次序，分別帶權(quán) xi+1（1） , xi+1（2），xi+1（mi） , i=0 , 1, 2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E 中的一個 n 元組（x1, x2,，xn）對應(yīng)于T中的一個葉子結(jié)點，T的根到這個葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1 , x2,，xn，反之亦然。另外，對于任意的0Wi n -1 , E中n元組（x1, x2,，xn）的一個前綴I元組（x1 , x2,，xi ）對應(yīng)于T中的一個非葉子結(jié)點，T的根到這個非葉子結(jié)點的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1 , x2,，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個n元組的空前綴（），對應(yīng)于T的根。因而，在E中尋找問題P的一

35、個解等價于在T中搜索一個葉子結(jié)點，要求從T的根到該葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個權(quán)x1, x2,，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子 結(jié)點，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i ）、前綴2元組（x1 , x2）、，前綴I元組（x1, x2,，xi ）,，直到i=n為止。在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題 P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個結(jié)點被稱為問題 P的狀態(tài)結(jié) 點；樹T上的任意一個葉子結(jié)點被稱為問題 P的一個解狀態(tài)結(jié)點；樹 T上滿足約束集D的全部約束的任意 一個葉子結(jié)點被稱為問題 P的一個回答狀態(tài)結(jié)點，它對應(yīng)

36、于問題 P的一個解?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù) 1、2、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5, r=3的所有組合為：(1) 1、2、3(2)1、2、4(3)1、2、5(4) 1、3、4(5) 1、3、5(6)1、4、5(7) 2、3、4(8) 2、3、5(9)2、4、5(10) 3、4、5則該問題的狀態(tài)空間為：E= (x1, x2, x3 )1 xi S , i=1 ,2,3 其中：S=1 ,2, 3, 4, 5約束集為：x1x2ai，后一個數(shù)字比前一個大；（2）ai-i=n-葉1。按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個數(shù)字1開始。因

37、該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件(1),候選組合改為1, 2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個候選 解，因a2上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解 1，2, 4和1, 2，5。由 于對5不能再作調(diào)整，就要從 a2回溯到a1，這時，a1=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解 1，3, 4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：【程序】# define MAXN 100int aMAXN;voi

38、d comb(int m,int r) int i,j;i=0;ai=1;doif (ai_i=m_r+1 if (i=r-1) for (j=0;j10)內(nèi)的某9個數(shù)字，每個方格填一個整數(shù)，似的所有相鄰兩個方格內(nèi)的兩個整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個要求的各種數(shù)字填法?？捎迷囂桨l(fā)找到問題的解，即從第一個方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正 確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個合理的可填證書，就要回退到 前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個解，將該解輸出， 并調(diào)整第九個的填入的整數(shù)，尋找下一個解。為找

39、到一個滿足要求的9個數(shù)的填法，從還未填一個數(shù)開始，按某種順序(如從小到大的順序)每次在當(dāng) 前位置填入一個整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、 檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個滿足問題要求的解，將解輸出。回溯法找一個解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok)擴(kuò)展；else 調(diào)整；ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性； while (!ok|m!=n)

40、&(m!=0)if (m!=0)輸出解；else輸出無解報告；如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個解。相應(yīng)的算法如下：回溯法找全部解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok) if (m=n)輸出解；調(diào)整；else擴(kuò)展；else 調(diào)整；ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性； while (m!=0);為了確保程序能夠終止，調(diào)整時必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會再次實驗，即要求按某種有許模型生 成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個被檢驗的順序，按這個順序逐一形成候選者并檢驗。從小到大或從大 到小，都是可以采用的方法。如擴(kuò)展時

41、，先在新位置填入整數(shù)1,調(diào)整時，找當(dāng)前候選解中下一個還未被使用過的整數(shù)。將上述擴(kuò)展、調(diào)整、檢驗都編寫成程序，細(xì)節(jié)見以下找全部解的程序?！境绦颉? include # define N 12void write(int a) int i,j;for (i=0;i3;i+) for (j=0;j0;i+)if (m=primesi) return 1;for (i=3;i*i=m;) if (m%i=0) return 0;i+=2;return 1;int checkmatrix 3=-1,0,-1,1,-1,0,-1,1,3,-1,2,4,-1,3,-1,4,6,-1,5,7,-1;int s

42、electnum(int start) intj;for (j=start;j=N;j+)if (bj) return jreturn 0;int check(int pos) int i,j;if (pos=0;i+)if (!isprime(apos+aj)return 0;return 1;int extend(int pos) a+pos=selectnum(1);bapos=0;return pos; int change(int pos) intj;while (pos=0&(j=selectnum(apos+1)=0)bapos-=1;if (pos=0)void main()

43、int i;for (i=1;i=N;i+)bi=1;find();問題】n皇后問題問題描述：求出在一個nxn的棋盤上，放置n個不能互相捕捉的國際象棋皇后”的所有布局。這是來源于國際象棋的一個問題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線4個方向相互捕捉。如圖所示，一個皇后放在棋盤的第4行第3列位置上，則棋盤上凡打“X”位置上的皇后就能與這個皇后相互捕捉。1 2 3 4 5 6 7 8X XXXXXXXX X Q X X X X XX XXX從圖中可以得到以下啟示：一個合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個皇后，且一條斜線上也只有一個皇 后。求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時，就找到了一個解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時配置在第 1行，以后改變時，順次選擇第2行、第3行、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個合理的配置時，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下：輸入棋盤大小值n；m=0;good=1;do if (good)if (m=n)輸出解；改變之，形成下一個候選解；else擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；else改變之，形成下一個候選解；good=檢查當(dāng)前候選解的合理性； while (m!=0);在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用