第9講自相關(guān)檢驗(yàn)

1、第9講自相關(guān)檢驗(yàn)9.1非自相關(guān)假定由第2章知回歸模型的假定條件之一是(9.1)這里主要是指Cov(ui,uj) = E(uiUj) = 0,(i, j T, i j),即誤差項(xiàng)ut的取值在時(shí)間上是相互無(wú)關(guān)的。稱誤差項(xiàng)ut非自相關(guān)。如果Cov (ui,uj ) 0, (i j)則稱誤差項(xiàng)ut存在自相關(guān)。自相關(guān)又稱序列相關(guān)。原指一隨機(jī)變量在時(shí)間上與其滯后項(xiàng)之間的相關(guān)?；貧w模型中隨機(jī)誤差項(xiàng) ut與其滯后項(xiàng)的相關(guān)關(guān)系。自相關(guān)也是相關(guān)關(guān)系的一種。9.2 階自相關(guān)通常假定誤差項(xiàng)的自相關(guān)是線性的。因計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中自相關(guān)的最常見(jiàn)形式是一階自回歸形式，所以下面重點(diǎn)討論誤差項(xiàng)的線性一階自回歸形式，即ut= iut

2、-i +vt (9.2)其中1是自回歸系數(shù)，vt是隨機(jī)誤差項(xiàng)。vt滿足通常假設(shè)。依據(jù)普通最小二乘法公式，模型(9.2 )中1的估計(jì)公式是，UM 1t 22ut 1t 2(yt y)(xt X)(Xt X)2(9.3)其中T是樣本容量。若把 ut, u t-1看作兩個(gè)變量，則它們的相關(guān)系數(shù)是Tut ut 1t 2(r =：心 y)2T11(yt y)(xt x)T2t 1(x X)(9.4)TT對(duì)于大樣本顯然有2 2 utut 1 (9.5)t 2t 2把上關(guān)系式代入(9.4)式得Tutut 1=a?(9.6)t 2 T2 ut 1t 2因而對(duì)于總體參數(shù)有=1,即一階自回歸形式的自回歸系數(shù)等于該

3、二個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)。因此原回歸模型中誤差項(xiàng)ut的一階自回歸形式(見(jiàn)模型(9.2)可表示為，ut= ut-1 + vt.(9.7)的取值范圍是-1 , 1。當(dāng) 0時(shí)，稱ut存在正自相關(guān)；當(dāng) 0時(shí)，稱ut存在負(fù)自相關(guān)。 當(dāng) =0時(shí)，稱ut不存在自相關(guān)。圖9.1 a, c, e,分別給出具有正自相關(guān)，負(fù)自相關(guān)和非自相 關(guān)的三個(gè)序列。為便于理解時(shí)間序列的正負(fù)自相關(guān)特征，圖9.1 b, d, f,分別給出圖9.1 a, c, e,中變量對(duì)其一階滯后變量的散點(diǎn)圖。正負(fù)自相關(guān)以及非自相關(guān)性展現(xiàn)的更為明了。0-2U(-1)-4-2非自相關(guān)的散點(diǎn)圖b.60-2-410 20 30 - 40 50 60 70 8

4、0 90 10o-2-4-6 _-6X(-1)IIIiI-4-2024d.正自相關(guān)的散點(diǎn)圖c.正自相關(guān)的序列圖-2-4-6e.負(fù)自相關(guān)的序列圖X(-1)-6-4-20246f.負(fù)自相關(guān)的散點(diǎn)圖圖9.1時(shí)間序列及其自相關(guān)散點(diǎn)圖可以證明當(dāng)回歸模型的誤差項(xiàng)Ut存在一階自回歸形式時(shí)，Cov(Ui,Uj) 0。同理也可證明當(dāng)S存在高階自回歸形式時(shí)，仍有Cov(ui,uj) 0。注意：(1)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的自相關(guān)主要表現(xiàn)為正自相關(guān)。 據(jù)中。(2)自相關(guān)多發(fā)生于時(shí)間序列數(shù)9.3自相關(guān)的來(lái)源與后果誤差項(xiàng)存在自相關(guān)，主要有如下幾個(gè)原因。(1) 模型的數(shù)學(xué)形式不妥。若所用的數(shù)學(xué)模型與變量間的真實(shí)關(guān)系不一致，誤差項(xiàng)常表

5、現(xiàn)出自相關(guān)。比如平均成本與產(chǎn)量呈拋物線關(guān)系，當(dāng)用線性回歸模型擬合時(shí)，誤差項(xiàng)必存在自相關(guān)。圖9.2慣性。大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都存在自相關(guān)。其本期值往往受滯后值影響。突出特征就是 慣性與低靈敏度。如國(guó)民生產(chǎn)總值，固定資產(chǎn)投資，國(guó)民消費(fèi)，物價(jià)指數(shù)等隨時(shí)間緩慢地變化，從而建立模型時(shí)導(dǎo)致誤差項(xiàng)自相關(guān)?；貧w模型中略去了帶有自相關(guān)的重要解釋變量。若丟掉了應(yīng)該列入模型的帶有自相關(guān)的 重要解釋變量，那么它的影響必然歸并到誤差項(xiàng)Ut中，從而使誤差項(xiàng)呈現(xiàn)自相關(guān)。當(dāng)然略去多個(gè)帶有自相關(guān)的解釋變量，也許因互相抵消并不使誤差項(xiàng)呈現(xiàn)自相關(guān)。當(dāng)誤差項(xiàng)Ut存在自相關(guān)時(shí)，模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)量仍具有無(wú)偏性，但不具有有效 性。(3

6、)有可能低估誤差項(xiàng) ut的方差。低估回歸參數(shù)估計(jì)量的方差，等于夸大了回歸參數(shù)的?抽樣精度(t=一 1)，過(guò)高的估計(jì)統(tǒng)計(jì)量t的值，從而把不重要的解釋變量保留?J (xt X)2在模型里，使顯著性檢驗(yàn)失去意義。9.4自相關(guān)檢驗(yàn)下面介紹三種判別與檢驗(yàn)方法。(1) 圖示法圖示法就是依據(jù)殘差 ?t對(duì)時(shí)間t的序列圖作出判斷。由于殘差U?是對(duì)誤差項(xiàng)ut的估計(jì)，所以盡管誤差項(xiàng)ut觀測(cè)不到，但可以通過(guò) ?t的變化判斷ut是否存在自相關(guān)。圖示法的具體步驟是，(1)用給定的樣本估計(jì)回歸模型，計(jì)算殘差 u?, (t = 1,2, T), 繪制殘差圖；(2)分析殘差圖。若殘差圖與圖 9.1 a類(lèi)似，則說(shuō)明ut不存在自相

7、關(guān)；若與圖 9.1c類(lèi)似，則說(shuō)明ut存在正自相關(guān)；若與圖 9.1e類(lèi)似，則說(shuō)明ut存在負(fù)自相關(guān)。經(jīng)濟(jì)變量由于存在慣性，不可能表現(xiàn)出如圖9.1 e那樣的震蕩式變化。其變化形式常與圖9.1中a相類(lèi)似，所以經(jīng)濟(jì)變量的變化常表現(xiàn)為正自相關(guān)。(2) DW (Durbin-Watson )檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)是J.Durbin, G.S. Watson于1950, 1951年提出的。它是利用殘差 ?構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)量推斷誤差項(xiàng)ut是否存在自相關(guān)。使用 DW檢驗(yàn)，應(yīng)首先滿足如下三個(gè)條件。（1）誤差項(xiàng)5的自相關(guān)為一階自回歸形式。（2）因變量的滯后值yt-i不能在回歸模型中作解釋變量。（3）樣本容量應(yīng)充分大（T 15） D

8、W檢驗(yàn)步驟如下。給出假設(shè)Ho: = 0（ut不存在自相關(guān)）Hi：0 （ut存在一階自相關(guān)）用殘差值u?t計(jì)算統(tǒng)計(jì)量DW。Ut 1)2(9.8)其中分子是殘差的一階差分平方和,分母是殘差平方和。把上式展開(kāi),DW =TT2 2UtUt 12t 2t 2t 2TTU?Ui 1(9.9)因?yàn)橛蠺Ut2t 2Ut2l?2Tu?2,(9.10)T(?tDW = t 2 tu?t2t 1代入（9.9）式，T22?t 12t 2DW t1-=2 (1 -U?t12t 2TUM 1t 2utt 2)=2 (1 - ?).21(9.11)因?yàn)榈娜≈捣秶?1, 1，所以DW統(tǒng)計(jì)量的取值范圍是0, 4。與DW值的對(duì)

9、應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表9.1。表9.1與DW值的對(duì)應(yīng)關(guān)系及意義DWut的表現(xiàn)=0DW = 2ut非自相關(guān)=1DW = 0ut完全正自相關(guān)=-1DW = 4ut完全負(fù)自相關(guān)0 10 DW 2ut有某種程度的正自相關(guān)-1 02 DW 2(n),拒絕 Ho;(4) 直接擬合檢驗(yàn)法回歸檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是，(1)適合于任何形式的自相關(guān)檢驗(yàn)，(2)若結(jié)論是存在自相關(guān)，則同時(shí)能提供出自相關(guān)的具體形式與參數(shù)的估計(jì)值。缺點(diǎn)是計(jì)算量大?；貧w檢驗(yàn)法的步驟如下： 用給定樣本估計(jì)模型并計(jì)算殘差?t。 對(duì)殘差序列 u , (t = 1 ,2 ,-T ),用普通最小二乘法進(jìn)行不同形式的回歸擬合。如I? =?t -1 + vUt =1 ?t

10、 -1 +2 Ut + vtUt = Ut-12 + V tUt = , Ut 1 + vt(3)對(duì)上述各種擬合形式進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，從而確定誤差項(xiàng)ut存在哪一種形式的自相關(guān)。9.5克服自相關(guān)如果模型的誤差項(xiàng)存在自相關(guān)，首先應(yīng)分析產(chǎn)生自相關(guān)的原因。如果自相關(guān)是由于錯(cuò)誤地設(shè)定模型的數(shù)學(xué)形式所致，那么就應(yīng)當(dāng)修改模型的數(shù)學(xué)形式。怎樣查明自相關(guān)是由于模型數(shù)學(xué)形式不妥造成的？一種方法是用殘差U?對(duì)解釋變量的較高次幕進(jìn)行回歸，然后對(duì)新的殘差作DW檢驗(yàn)，如果此時(shí)自相關(guān)消失，則說(shuō)明模型的數(shù)學(xué)形式不妥。如果自相關(guān)是由于模型中省略了重要解釋變量造成的，那么解決辦法就是找出略去的解釋變量，把它做為重要解釋變量列入模型

11、。怎樣查明自相關(guān)是由于略去重要解釋變量引起 的？ 一種方法是用殘差 Ut對(duì)那些可能影響因變量但又未列入模型的解釋變量回歸，并作顯 著性檢驗(yàn)，從而確定該解釋變量的重要性。如果是重要解釋變量，應(yīng)該列入模型。只有當(dāng)以上兩種引起自相關(guān)的原因都消除后，才能認(rèn)為誤差項(xiàng)ut “真正”存在自相關(guān)。在這種情況下，解決辦法是變換原回歸模型，使變換后的隨機(jī)誤差項(xiàng)消除自相關(guān)，進(jìn)而利用普通最小二乘法估計(jì)回歸參數(shù)。這種變換方法稱作廣義最小二乘法。下面介紹這種方法。設(shè)原回歸模型是yt=0 +1X1 t+2 x2 t+ - + k X k t + ut(t = 1,2,),(9.16)其中ut具有一階自回歸形式ut=ut-1

12、 + vt其中Vt滿足通常的假定條件，把上式代入(9.16)式,yt =0 +1 X1 t + 2x2 t + +0Xk t +ut-1 + Vt求模型(9.16)的(t- 1)期關(guān)系式，并在兩側(cè)同乘yt -1=0 +1X1 t-1 +2X2 t -1 + +kxk t- 1 +Ut - 1用(9.16 )式與上式相減得yt -yt-1=o(1 - ) +1(x1t -X1 t-1)+ +k(xk t-xk t -1) +vt(9.17)令yt* = yt - yt -1 ,xj t* = xj t - xj t - 1, j = 1 , 2 , k 0* = 0 (1 -),則模型(9.17

13、)表示如下，yt* =0*+1X1t*+2 x2 t*+kxk t*+vt( t = 2,3 , T (9.18)上述變換稱作廣義差分變換。上式中的誤差項(xiàng) Vt是非自相關(guān)的，滿足假定條件，所以可對(duì)上式應(yīng)用最小二乘法估計(jì)回歸參數(shù)。所得估計(jì)量具有最佳線性無(wú)偏性。上式中的1就是原模型(9.16)中的 1k,而 0*與模型(9.16)中的0有如下關(guān)系，0* =0(1 - ),0 = 0*/ (1 - )(9.19)注意：（1）對(duì)（9.16）式進(jìn)行OLS估計(jì)得到的0, 1,，k的估計(jì)量稱作普通最小二乘估計(jì)量; 對(duì)（9.18）式進(jìn)行OLS估計(jì)得到的0, 1,，k的估計(jì)量稱作廣義最小二乘估計(jì)量。（3）當(dāng)誤差

14、項(xiàng)ut的自相關(guān)具有高階自回歸形式時(shí)，仍可用與上述相類(lèi)似的方法進(jìn)行廣 義差分變換。比如 ut 具有二階自回歸形式，Ut =1 Ut- 1 +2Ut -2 + Vt ,則變換過(guò)程應(yīng)首先求出原模型（t-1）期與（t-2）期的兩個(gè)關(guān)系式，然后利用與上述相類(lèi)似 的變換方法建立符合假定條件的廣義差分模型。若ut具有k階自回歸形式，則首先求k個(gè)不同滯后期的關(guān)系式，然后通過(guò)廣義差分變換使模型的誤差項(xiàng)符合假定條件。需要注意的是對(duì)二階自回歸形式，作廣義差分變換后，要損失兩個(gè)觀測(cè)值；對(duì)k階自回歸形式，作廣義差分變換后，將損失 k 個(gè)觀測(cè)值。（4）當(dāng)用廣義差分變量回歸的結(jié)果中仍存在自相關(guān)時(shí)，可以對(duì)廣義差分變量繼續(xù)進(jìn)行

15、 廣義差分直至回歸模型中不存在自相關(guān)為止。值。下面介紹三種估計(jì)9.6自相關(guān)系數(shù)的估計(jì) 上一節(jié)介紹了解決自相關(guān)的方法。這種方法的應(yīng)用還有賴于知道 的方法。（1） 用 DW 統(tǒng)計(jì)量估計(jì) 。由（1.17）式， DW = 2 （1 - ?），得?= 1-（DW / 2）首先利用殘差U?求出DW統(tǒng)計(jì)量的值，然后利用上式求出自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。注意： 用此法時(shí)樣本容量不宜過(guò)小。此法不適用于動(dòng)態(tài)模型即被解釋變量滯后項(xiàng)做解釋變量的模型）（2）用殘差進(jìn)行自回歸的方法估計(jì) （特別對(duì)高階自回歸形式）9.7案例分析?！景咐?1】（）天津市城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)與人均可支配收入的關(guān)系改革開(kāi)放（ 19782000）以來(lái)，天津市

16、城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)性支出（ CONSUM ），人均可支配收入（INCOME ）以及消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（PRICE）數(shù)據(jù)見(jiàn)下表?，F(xiàn)在研究人均消費(fèi)與人均 可支配收入的關(guān)系。先定義不變價(jià)格（1978=1）的人均消費(fèi)性支出（Yt）和人均可支配收入（Xt）。令Yt = CONSUM / PRICEXt = INCOME / PRICE得散點(diǎn)圖如圖9.5。顯然Yt和Xt服從線性關(guān)系。14 0012 0010 0080 060 040 020 0(1 )估計(jì)線性回歸模型并計(jì)算殘差 用普通最小二乘法求估計(jì)的回歸方程，得結(jié)果如下。Y?= 111.44 + 0.7118 Xt (6.5)(42.1)R2 = 0.9883

17、, s.e. = 32.8, DW = 0.60, T = 23(2) 檢驗(yàn)誤差項(xiàng)ut是否存在自相關(guān)已知 DW = 0.60，若給定=0.05，查附表，dL= 1.26，du= 1.44。因?yàn)?DW = 0.60 1.26,依據(jù)判別規(guī)則，認(rèn)為誤差項(xiàng)ut存在嚴(yán)重的正自相關(guān)。BG( LM )自相關(guān)檢驗(yàn)輔助回歸結(jié)果是i?t = 0.6790 U?-1 + 3.1710 -0.0047Xt + vt (3.9)(0.2)(- 0.4)R2 = 0.43, DW = 2.00LM = T R2 = 23 0.43 = 9.89因?yàn)?0.05(1) = 3.84 , LM = 9.89 3.84，所以BG

18、 ( LM )檢驗(yàn)結(jié)果也說(shuō)明(1)式存在自相關(guān)。(3) 用廣義最小二乘法估計(jì)回歸參數(shù)首先估計(jì)自相關(guān)系數(shù)？。依據(jù)式，=0.70DW0.60=1 -2 2對(duì)原變量做廣義差分變換。GDYt = Yt - 0.70Yt -1GDXt = Xt - 0.70Xt -1以GDYt, GDYt, t = 2,3 ,2廠為樣本再次回歸，得(9.20)GDYt = 45.2489 +0.6782 GDXt(3.7)(20.0) R2 = 0.95, s.e. = 23.2, DW=2.31,(1979-2000)查附表 4, dL= 1.26 , dU = 1.43，因?yàn)?DW = 2.31 (4 -1.43)

19、 = 2.57，依據(jù)判別規(guī)則，已消除自相關(guān)。殘差圖見(jiàn)圖 9.7。?0= ?0* / (1-?) = 45.2489/(1-0.70) = 150.8297則原模型的廣義最小二乘估計(jì)結(jié)果是Y?= 150.8297 + 0.6782 Xt(9.21)用普通最小二乘估計(jì)結(jié)果是Y?= 111.44 + 0.7118 Xt(9.22)(6.5)(42.1)R2 = 0.9883, s.e. = 32.8, DW = 0.60, T = 23（1） 回歸方程（9.20）與（9.22）相比，R2值有所下降。不應(yīng)該因此不相信（ 9.20） 式的結(jié)果。原因是（9.20）式中的變量是廣義差分變量，而不是原變量，所

20、以致使R2值下降。兩個(gè)回歸式所用變量不同，不可直接比較確定系數(shù)R2的值。（2） （9.20）式中的回歸系數(shù)與（9.22）式中的回歸系數(shù)有差別。計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為用 廣義差分變換模型得到的回歸系數(shù)估計(jì)量的特性優(yōu)于誤差項(xiàng)存在自相關(guān)的模型。所以模型（9.20）中的回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性更好，0.6782比0.7118更可信。從實(shí)際情形分析，特別是最近幾年，消費(fèi)的收入邊際系數(shù)0.6782更可信，0.7118偏高。（3） 用EViews生成新變量。假設(shè)已經(jīng)建立關(guān)于 CONSUM，INCOME和PRICE的工 作文件。假設(shè)變量 Yt和Xt分別用Y和X表示，從工作文件主菜單中點(diǎn)擊 Quick鍵，選擇 Gen er

21、ate Series 功能。這時(shí)會(huì)打開(kāi)一個(gè)生成序列（ Gen erate Seriesby Equation）對(duì)話框。在 對(duì)話框中輸入如下命令（每次只能輸入一個(gè)命令），Y = CONSUM / PRICEX = INCOME / PRICE按OK鍵。變量Y和X將自動(dòng)保存在工作文件中。EViews的OLS估計(jì)方法見(jiàn)第2章。（4） 用EViews進(jìn)行BG （ LM）自相關(guān)檢驗(yàn)。在回歸窗口中點(diǎn)擊 View鍵，選擇Residual Tests/Serial Correlation LM Test 功能，會(huì)彈出一個(gè)設(shè)定滯后期 （Lag Specification ）對(duì)話框。 輸入1,點(diǎn)擊OK鍵，就會(huì)得到

22、LM = T R2 = 9.89的一階自相關(guān)BG （ LM ）檢驗(yàn)結(jié)果?！景咐?】（）天津保費(fèi)收入和人口的回歸關(guān)系（二階廣義差分）1967-1998年天津市的保費(fèi)收入（萬(wàn)元）和人口（萬(wàn)人）散點(diǎn)圖如下。300000Y12 _LOG(Y) a *10-8 _. -6 _* *卓* FX4 _X14200000100000700800900Lnyt = -11.18 + 0.0254 xt(-20.9)(37.2) R2 = 0.9788, s.e. = 0.34, DW = 0.36(1967-1998)模型殘差圖(9.27)式殘差圖對(duì)殘差進(jìn)行二階回歸u?t = 1.186 i? 1 - 0.46

23、7 ?t 2 + vt(6.9)(-2.5)R2 = 0.71, s.e. = 0.19, DW = 1.97 (1969-1998)推導(dǎo)二階自相關(guān)ut= 1Ut -1+ 2Ut -2+ vt的廣義差分變換式。設(shè)模型為yt = 0 + 1 xt + ut(9.23)寫(xiě)出上式的滯后一期、二期表達(dá)式并分別乘1、2：1 yt-1 =1 0 +1 1xt-1+1ut-1(9.24)2 yt-2 =2 0 +2 1Xt-2+2Ut-2(9.25)用以上三式做如下運(yùn)算，yt - 1 yt-1 - 2 yt-2 = 0 - 1 0 - 2 0 + 1 xt - 1 1 xt-1 - 2 1 xt-2 + U

24、t - 1Ut- 1- 2Ut-2(yt - 1 yt-1 - 2 yt-2) = 0 (1- 1 - 2) + 1 (xt - 1 xt-1- 2 xt-2)+ vt(9.26) 作二階廣義差分。GDL nyt = Lnyt -1.186 Lny t-1 +0.467 Ln yt-2GDxt = xt -1.861 xt-1 + 0.467 xt-2廣義最小二乘回歸GDL nyt = -3.246+0.0259 GDxt(9.27)2(-10.0) (17.9)R2 = 0.92, s.e. = 0.19, DW = 1.99 (1969-1998)由(9.23)式，因?yàn)? (1 -1.18

25、6 + 0.467) = -3.2460= -11.55所以，原模型的廣義最小二乘估計(jì)是Lnyt = -11.55 + 0.0259 xt【案例3】（）中國(guó)宏觀消費(fèi)分析下面通過(guò)建立宏觀消費(fèi)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)一步分析我國(guó)消費(fèi)與國(guó)民收入的定量關(guān)系。（以下所用數(shù)據(jù)（1952-2002）均以不變價(jià)格（1952 = 1 ）計(jì)算。）1952-2002年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值與消費(fèi)額散點(diǎn)圖見(jiàn)圖2.1。說(shuō)明消費(fèi)與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值之間存在高度的線性關(guān)系。用CPt表示消費(fèi)額（不變價(jià)格），GDPt表示國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（不變價(jià)格），用1952-2002 年數(shù)據(jù)得消費(fèi)函數(shù)的 OLS估計(jì)結(jié)果如下：CR = 164.0124 + 0.5919 GDPt (9.28)(5.2)(159.9)R2 = 0.998, DW = 0.67, s.e. = 167.