圓中的“知二求一法”

1、圓中的“知二求一法”垂徑定理不僅是證明線段相等、角相等、弧相等的重要依據(jù)， 而且還為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù)，我們在學(xué)習(xí)這部分知識時，要注意理解垂徑定理的理論基礎(chǔ)： 教材中通過對一 張圓形紙片沿著一條直徑對折， 直徑兩側(cè)的兩個半圓能夠完全重 合這一事實，指出：“圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直 線都是它的對稱軸”，然后利用圓的軸對稱性探究得出了垂徑定 理，因此，圓的軸對稱性是垂徑定理的理論依據(jù)。由垂徑定理的 得出，使學(xué)生的認(rèn)識從感性到理性，從具體到抽象，有助于培養(yǎng) 學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，通過對垂徑定理的教學(xué)，對學(xué)生滲透類比， 轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，方程，建模等數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生實驗,

2、 觀察，猜想，抽象，概括，推理等邏輯思維能力和識圖能力。垂徑定理在具體運用中具有一定的靈活性。 對于在垂徑定理 這類題中為什么添加“半徑”這條輔助線的引導(dǎo)應(yīng)該非常具體， 應(yīng)該做到讓學(xué)生“不僅知其然，還要知其所以然”。 口：一些問 題的圖形或條件中沒有出現(xiàn)“垂直于弦的直徑”，而是出現(xiàn)“垂直于弦的半徑或圓心到弦的距離”，此時也可以利用垂徑定理。 在解決圓中有關(guān)弦、弧等問題時，若沒有給出“垂直于弦的直徑 或半徑、圓心到弦的距離”，通常是過圓心作弦的垂線段或直徑、 半徑，構(gòu)造出利用垂徑定理的條件。垂徑定理告訴我們：垂直于弦的直徑平分弦， 且平分弦所對的兩條弧。如圖 1v AB是直徑，ABL CD-CM

3、=DMAO =AD = ,=BD該定理中出現(xiàn)了以下四個量：直徑 AB弦長CD弦心距OM 和弓形的高AM在用垂徑定理解決圓中的計算問題時，其實大 部分都是圍繞這四個量展開的，而這四個量之間又有如下關(guān)系： 弦心距與弓形的高的和等于半徑， 直徑的二分之一是半徑，若直 徑垂直于弦，則垂足是弦的中點，連接圓心和弦的一個端點，就 會出現(xiàn)直角三角形，而在直角三角形中，已知任意兩條邊長，可 以求出第三邊，所以只要已知上述四個量中的任意兩個量一定能 求出其余的量，我把它歸納為圓中的“知二求一法”。 此時需要 把垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合起來計算弦長、半徑、弦心距、 弓形的高等問題，這就需要構(gòu)造直角三角形（注意該

4、直角三角形 一定是由半徑，弦心距和弦構(gòu)成的），在教學(xué)中，一定要教會學(xué) 生如何添加輔助線，（ 1）如果見到弦心距和弦，那么直接連接 半徑就構(gòu)成直角三角形（如例 1）；（ 2）如果就知道一條弦長 的題目，就要把半徑和弦心距都做出來，構(gòu)造直角三角形（如例 2）；（3）如果只知道弓形的高和弦長，就要把弓形的高延長至 圓心，再連接半徑構(gòu)造直角三角形（如例 3），下面我以幾道例 題來展示以上圓中的“知二求一法”：例1如圖1,已知在00中，弦CD的長為8厘米，圓心O到CD的距離為3厘米，求00的半徑。思路分析：這是已知弦長和弦心距求圓的半徑問題。解：連結(jié)0C過0作OMLCD垂足為 M,由垂徑定理，得 點M是

5、CD的中點，?tCM=BM=0.5CD=4在 Rt?SCOM中,根據(jù)勾股定理有 0C=5厘 米/.OO的半徑為5厘米。這是已知弦長和弦心距求圓的半徑問題。例 2：如圖 1 所示4是一條水平鋪設(shè)的直徑為 2 米的通水管道橫截面4 其水面高寬為 1.6 米4求這條管道中水的最大深度是 多少？思路分析：審題后首先要讓學(xué)生明確該“管道中水的最大深 度”的含義4 其實轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言就是指“弓形的高”4 那么這 道題就是已知半徑和弦長求弓形的高的問題。解:如圖，最大深度即為AM的長度，設(shè)圓心為Q作OMLCD 于點M,交O0于點A,由垂徑定理，得 CM=0.5CD=0.8 （米）。 在Rt?SCOM中，由勾股定理，得 0M= 12-0.82=0.6 （米）。以 AM=OA-OM=1- 0.6=0.4（米）。這是已知弦長