圓的內接四邊形

1、例圓內接四邊形 ABCD中，/A、/B、/C的度數的比是3 : 2 : 7,求四邊形各內角度數.解：設/ A、/B、/C的度數分別為3x、2x、7x .ABCD 是圓內接四邊形./ A + /C=180。即3x+7x=180 ,x=18 ,zA=3x=54,zB=2x=36 ,=7x=126 ,又ZB+ ZD=180 ,JD=180 一36 144 .說明：鞏固性質；方程思想的應用.例如圖，已知AD是ABC的外角/ EAC的平分線，AD與三角形ABC的外接圓相交于 D .求證：DB=DC .ABC分析：要證 DB=DC，只要證/ BCD= ZCBD，充分利用條件和圓周角的定理以及圓內接四邊形的

2、性質，即可解決.說明：角相等的靈活轉換，利用圓內接四邊形的性質作橋梁.例 如圖， ABC是等邊三角形，D是EC上任一點，求證： DB+DC=DA .分析：要證明一條線段等于兩條線段的和，往往可以“截長”和“補短”法，本題兩種方法 都可以證明.證明： 延長DB至點E,使BE=DC，連AE.在AEB 和ADC 中，BE=DC .ABC是等邊三角形. AB=AC .四邊形ABDC是O O的內接四邊形,zABE= ZACD .念EB也zADC .zAEB= ZADC= /ABC .vzADE= ZACB ,又 vZABC= ZACB = 60 ,zAEB= ZADE=60 .念ED是等邊三角形， AD

3、=DE=DB+BE .BE=DC ,.DB+DC=DA .說明：本例利用“截長”和“補短”法證明培養(yǎng)學生“角相等的靈活轉換”能力在圓中,圓心角、圓周角、圓內接四邊形的性質構成了角度相當轉換的一個體系，應重視.例 如圖，ABCD是O O的內接四邊形，AH CD，如果HAD 30，那么 B ()A. 90 B. 120 C. 135 D. 150 說明：“圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角”這個定理很重要，要正確運用例 如圖，AD是 ABC外角 EAC的平分線，AD與ABC外接O 0交于點D, N為BC延長線上一點，且CN CD,DN 交O 0 于點 M.求證：（1） DB

4、 DC ;分析：（1）由于DB與DC是同一三角形的兩邊,要證二者相等就應先證明它們的對角(2) DC2 CM DN .-可編輯修改-相等，這可由圓周角定理與圓內接四邊形的基本性質得到：（2 ）欲證乘積式2DC CMDC CMDC CM DN.,只須證比例式，也即，這只須要證明 DCMDN DCDN CNs DNC即可說明：本題重在考查圓周角與圓內接四邊形的基本性質和利用相似三角形證明比例線段的基本思維方法例 如圖，已知四邊形 ABCD是圓內接四邊形， EB是O 0的直徑，且EBAD , AD與BC的延長線相交于F.求證：FBBCDC說明：本題考查圓內接四邊形性質的應用，解題關鍵是輔助線構造AC

5、B而使解題陷入困境或ABC ,再證ABC s FDC .易錯點是不易想到證FCD出現錯誤.例 如圖，AB是O O的直徑，弦（非直徑） CD AB , P是O O上不同于C,D的任一點（ 1）當點P在劣弧CD上運動時，APC與 APD的關系如何？請證明你的結論;（2）當點P在優(yōu)弧CD上運動時，APC與 APD的關系如何?請證明你的結論（不要討論 P點與A點重合的情形）分析：利用在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理來解決選擇題1 在圓的內接四邊形 ABCD中， A和它的對角 C的度數的比為1:2，那么 A為（）A. 30 B. 60 C. 90 C. 120 2 四邊形ABCD內接于圓，

6、A、B、 C、 D的度數依次可以是（）A. 1: 2: 3: 4 B. 6: 7: 8: 9 C. 4: 1: 3: 2 D . 14 : 3: 1 : 123. 四邊形ABCD內接于圓，A、 B、 C、 D的度數比依次可以是（）A. 1:2:3:4 B. 4: 2:3:1C. 4:3:1:2 D. 4:1:3:24.如圖，四邊形 ABCD內接于O O , BOD 110，那么 BCD的度數為（）C.55 D. 705.如圖，O 01與O 02交于A、B兩點，且O 02過O 01的圓心01，若 M40，則 N等于（）A. 40B. 80C.100D. 706. 圓內接平行四邊形- -定是（）（

7、A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7 .已知AB、CD是O O的兩條直徑，則四邊形 ADBC 一定是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D .等腰梯形8、四邊形ABCD內接于圓，則/ A、/B、/C、/D的度數比可以是 （）(A) 1 : 2 : 3 : 4(B) 7 : 5 : 10 : 8(C) 13 : 1 : 5 : 17(D) 1 : 3 : 2 : 4(A ) 50 ( B) 4010、如圖，圓內接四邊形相交于P,對角線AC和P9、若ABCD為圓內接四邊形， AE丄CD于E,/ABC=130。，則zDAE為（ ）（C） 30 （D ） 20 ABCD的一組對邊 AD、BC的延

8、長線BD相交于點Q，則圖中共有相似的三角形(A) 4 對 (B) 3 對(C) 2 對 (D) 1 對11 如圖，在 ABC , AD是高， ABC的外接圓直徑 AE交BC邊于點G,有下列四個結論：（1） AD2 BD CD ； （2） BE2 EG AE ； （3）AE AD AB AC ； （4） AG EG BG CG .其中正確的結論的個數是（）A 1個 B 2個 C 3個 D 4個12 已知：如圖，劣弧 狂二疝，那么 BD的度數是（）A 320 B 160 C 150 D 200 13 .鈍角三角形的外心在（ ）A 三角形內B 三角形外C 三角形的邊上D 上述三種情況都有可能14 圓

9、內接平行四邊形的對角線（）A .互相垂直B .互相垂直平分C.相等D .相等且平分每組對角5, AC 7, BE 3，下15 .如圖，已知四邊形 ABCD是O O的內接四邊形，且AB CD列命題錯誤的是（）A. ABE DCEB . BDA 45C . S四邊形abcd 24.5 D .圖中全等的三角形共有 2對答案:1. B 2 .D 3.C 4. A 5. D 6、A ; 7. A8、C;9、B;10、A. 11. B 12 . B 13 . B 14 . D 15 . D.填空題1. 已知ABCD是圓內接四邊形， 若/A與/C的度數之比是1 : 2 ,則/A的度數是 度.2. 若A ,

10、B, C, D四點共圓，且/ ACD為36。，貝応所對的圓心角的度數是 度.3. 圓內接四邊形相鄰三個內角的比是2 : 1 : 7,則這個四邊形的最大角的度數為度.4. 圓上四點 A、B、C、D，分圓周為四段弧，且=1：2：3：4，則圓內接四邊形ABCD的最大角是5. 圓內接四邊形 ABCD中，若 EBC是 ABC相鄰的一個外角，且EBC 105 ,C 93 ，貝U D ， A ，若 A: B: C 1:2:3，則D ， A 6. 四邊形 ABCD內接于圓， A、 C的度數之比是 5:4， B比 D大30，則A ， D 7. 圓內接梯形是 形，圓內接平行四邊形是 8 圓內接四邊形 ABCD中，

11、如果 A: B: C 2:3:4，那么 D 度.9 在圓內接四邊形 ABCD中， A: B: C 4:3:5，貝U D .10 .如圖，在圓內接四邊形 ABCD中，AB AD, BAD 30 , AC ，則四邊形ABCD的面積為.11 .如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在/的中點A，若BC5，則折痕在 ABC內的部分DE長為答案：1.60 ; 2. 72 ;3.160 ;4.1265. 105 , 87 , 90 , 45 ;6i. 100 , 75 7.等腰,210矩形.8 . 909 .120 10 .a11 . .431、如圖，已知：ABCD為圓內接四邊形,解答題AD : B

12、C=CD : BE; (2 )若 AD : BC=CD2、已知：O O中，直徑 AB垂直弦CD于H , E是CD延長線上一點， AE交O O于F.求 證：/AFC= ZDFE.3 如圖，已知四邊形 ABCD內接于圓，DC、AB的延長線相交于 E,且 CBE DBA , 求證：AD BE EC BD4 .如圖，點A、D在O O上，以點A為圓心的O A交O O于B、C兩點，AD交O A于點E ,交BC于點F，求證:AE2 AF AD5.已知圓內接四邊形,ABCD中，A: B: C 2:5:4，求最小的角。6 .如圖，在 ABC中，AB AC，BD平分 ABC交AC于D， ABD的外接圓交BC于E.

13、求證：AD CE7 如圖，ABC是圓內接正三角形， P為劣弧玉上一點，已知 AB 2-7,PA 6. (1)求證：PB PC PA; (2 )求 PB、PC 的長(PB PC )ABD的外接圓,8 如圖，已知：菱形 ABCD的對角線 AC、BD相交于點O , 是O O 上的一點，連結 AE并延長與 BD 的延長線相交于點F.求證：2 2AC BD 4AE AF .9 .如圖，BC是O O的直徑，ADBC，垂足為D , AB-AF, BF交AD于點E.2(1)求證 AF BE BF ;(2)若 BD 1, AD 2，求 tan DBE 的值.10 已知：如圖，在圓內接四邊形 ABCD中， BAD 60 , ADC 90 , AB的