概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第五章 二維隨機(jī)變量及其分布

1、第五章二維隨機(jī)變量及其分布第五章二維隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量 第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 第四節(jié)邊緣分布第四節(jié)邊緣分布 第五節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性第五節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 一、二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量 如果由兩個(gè)變量所組成的有序數(shù)組如果由兩個(gè)變量所組成的有序數(shù)組 （），它的取值是隨著試驗(yàn)結(jié)果而），它的取值是隨著試驗(yàn)結(jié)果而 確定的，則稱（確定的，則稱（）為二維隨機(jī)變量，）為二維隨機(jī)變量， 稱（稱（）的取值規(guī)律為二

2、維分布。）的取值規(guī)律為二維分布。 二維隨機(jī)變量的分布函二維隨機(jī)變量的分布函 數(shù)數(shù) 二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)設(shè)( () )是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量，( () ) r r2 2, , 則稱則稱f(x,y)=pf(x,y)=p x,x, yy為為( () )的的分分 布函數(shù)布函數(shù)，或，或與與的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì) 三、分布函數(shù)的性質(zhì)三、分布函數(shù)的性質(zhì) （1 1）對(duì)于任意）對(duì)于任意x,y x,y r r，有有00f(x,y)1f(x,y)1。 （2 2）f(x,y)f(x,y)關(guān)于關(guān)于x x（或或y y）單調(diào)不減。單調(diào)不減。

3、（3 3）f(x,y)f(x,y)關(guān)于關(guān)于x x（或或y y）右連續(xù)。右連續(xù)。 （4 4）f(-,-)f(-,-)0 0，f(+,+)f(+,+)1 1 f(-,y) f(-,y)0 0，f(x,-)f(x,-)0 0 （5 5）對(duì)于任意）對(duì)于任意x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2有有 p(xp(x1 1xx2 2,y,y1 1 yy2 2) ) =f( =f(x x2 2, ,y y2 2)- f()- f(x x2 2, ,y y1 1)- f()- f(x x1 1, ,y y2 2)+ f()+ f(x x1 1, ,y y1 1) )例題 例題1 1 例題例題1 1 設(shè)設(shè)

4、()的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 f(x,y)=a(b+f(x,y)=a(b+arctanxarctanx)(c+)(c+arctanyarctany) )，其中其中 x,yx,y r r。求常數(shù)求常數(shù)a a，b b，c c。 解：解： backback )arctan)(arctan(lim),(limycxbayxf y x y x 1) 2 )( 2 ( cba )arctan)(arctan(lim),(limycxbayxf xx 0)arctan)( 2 (ycba )arctan)(arctan(lim),(limycxbayxf yy 0) 2 )(arctan( cxba

5、 2 1 22 acb 第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 如果二維隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量( () )所有可能取所有可能取 的數(shù)組是有限或可列的，并且以確定的概的數(shù)組是有限或可列的，并且以確定的概 率取各個(gè)不同的數(shù)組，則稱率取各個(gè)不同的數(shù)組，則稱( () )為二元為二元 離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量。 ( () )分布律分布律 ( () )的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律 y1yj x1p11p1j xipi1pij 設(shè)設(shè)( () )的所有可能取值為的所有可能取值為( (x xi i, ,y yj j) )， 其中其中i,j=1,2,i,j=1,

6、2,稱稱 為為( ()的的聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布，也簡(jiǎn)稱，也簡(jiǎn)稱概率分布概率分布。 （1 1）00p pij ij1 1 （2 2）i ij j p pijij=1 =1 , 2 , 1,),(jipyxp ijji 例題例題2 2 例題例題2 2 一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,21,2,2。 從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫粡倪@袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫?球。設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取到的可能性相同。球。設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取到的可能性相同。 以以,分別記第一次和第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)分別記第一次和第二次取得

7、的球上標(biāo)有的數(shù) 字。字。 求（求（1 1）( (,),)的分布律的分布律 （2 2）p p( () 解解: (1): (1) backback 1/31/32 1/301 21 p p( (=1,=1)=1,=1)= p p( (=1,=2)=1,=2)= p(=1)p(=1|=1)=0p(=1)p(=1|=1)=0 p(=1)p(=2|=1)=1/3p(=1)p(=2|=1)=1/3 。 例題例題2 2 一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,21,2,2。 從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫粡倪@袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫?球。

8、設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取到的可能性相同。球。設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取到的可能性相同。 以以,分別記第一次和第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)分別記第一次和第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù) 字。字。 求（求（1 1）( (,),)的分布律的分布律 （2 2）p p( () 解解: (2): (2) backback 1/31/32 1/301 21 p p( () =p=p( (=1,=1)+p=1,=1)+p( (=2,=1)+ p=2,=1)+ p( (=2,=2) =2/3=2,=2) =2/3 第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量 設(shè)設(shè)( ()

9、 )的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為f(x ,y),f(x ,y),若存在非負(fù)可若存在非負(fù)可 積函數(shù)積函數(shù)f(x,y)f(x,y)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,yx,y 有有 則稱則稱( () )為為二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y) f(x,y) 為為( () )的的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)（聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)) ) 。 xy dvduvufyxf),(),( 聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì) 二、聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)二、聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì) ),( ),(f ),(),()4( ),(),()3( 1),()2( 0),() 1 ( 2 yxf yx yx yxfy

10、xf dxdyyxfdp dxdyyxf yxf d 的邊續(xù)點(diǎn)處有為連續(xù)函數(shù)，且在 例題例題3 3 例題例題3 3 1.1.設(shè)設(shè)( () )的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 求（求（1 1）常數(shù)）常數(shù)c c （2 2）p p( () 解：（解：（1 1） 其它0 0, 0 ),( )42( yxce yxf yx 例題例題3 3續(xù)續(xù) dxdyyxf),( 00 )42( dxdyce yx 1 8 00 42 c dyecedx yx c=8c=8 例題例題3 3 1.1.設(shè)設(shè)( () )的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 求（求（1 1）常數(shù)）常數(shù)c c （2 2）p p( () 解：（解：（

11、2 2） 其它0 0, 0 ),( )42( yxce yxf yx 例題例題3 3續(xù)續(xù) yx dxdyyxfp),()( 00 )42( 8 x yx dyedx dxee xyx 0 0 42 4 1 8 3/222 0 6 0 2 dxedxe xx 例題例題3 3續(xù)續(xù) 2.2.設(shè)設(shè)( (，)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 求（求（1 1）常數(shù)）常數(shù)k k 解解（1 1） 其他, 0 , 10 ,0, ),( yyxkxy yxf y = x 1 0 x y 10,0),(yyxyxd 1),( dxdyyxf 1 82 1 0 2 1 00 k dy y yk kxydxdykxyd

12、xdy y d 8k (2) ) 1(p x+y=1 y = x 1 0 x y 0.5 x+y=1 y = x 1 0 x y 1 5 . 01 1 8 8 y y yx xydxdy xydxdy . 6/ 5 y = x 1 0 x y 0.5 )5 . 0( p 5 . 0 0 1 5 . 0 8 8 x x xydydx xydxdy .16/7 （3 3）f(x,y)=p(f(x,y)=p(x,x,y)y) 42 0 1 422 0 4 0 28),(1) 28),(1) 8),(0) 0),(0) 10)2 xxxydydxyxfyiv xyxxydydxyxfyxiii yxy

13、dydxyxfxyii yxfyi x x x xy x yy x 若 0),(, 0) 1yxfx若 1),(1) 8),(10) 0),(0) 1)3 4 0 yxfyiii yxydydxyxfyii yxfyi x yy x 若 f (x,y) = 0, x 0 或 y 0 y4 , 0 x 1, 0 y x ， 或x 1, 0 y 1， 2x2y2y4, 0 x 1, x y 1， 2x2x4 , 0 x 0，-1p(2 2 ) ) （3 3）( () ) 在平面上的落點(diǎn)到在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng) y 軸距離小于軸距離小于0.30.3的的 概率。概率。 解解：（：（1 1） backbac

14、k 其他, 0 10 ,0, 2 ),( xxy yxf 例題例題4 4 ( ()u(g)u(g)，g=0yxg=0yx，0 x 1 0 x 1 求（求（1 1）f( x, y )f( x, y ) （2 2）p(p(2 2 ) ) （3 3）( () ) 在平面上的落點(diǎn)到在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng) y 軸距離小于軸距離小于0.30.3的的 概率。概率。 解解：（：（2 2） backback y=x 1 0 x y 1 g y = x2 1 0 2 2 2 2 x x xy dydx dxdy . 3/ 1 )( 2 p 例題例題4 4 ( ()u(g)u(g)，g=0yxg=0yx，0 x 1 0

15、 x 1 求（求（1 1）f( x, y )f( x, y ) （2 2）p(p(2 2 ) ) （3 3）( () ) 在平面上的落點(diǎn)到在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng) y 軸距離小于軸距離小于0.30.3的的 概率。概率。 解解：（：（3 3） backback 3 . 03 . 0 2 ) 3 . 03 . 0() 3 . 0|(| x dxdy pp 09. 0 2/1 )3 . 0( 2 1 2 y = x 1 0 x y 1 0.3 第四節(jié)邊緣分布第四節(jié)邊緣分布 一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù) 設(shè)設(shè)f(x,y)f(x,y)為為( ()的聯(lián)合分布函數(shù)，的聯(lián)合分布函數(shù)， 關(guān)于關(guān)于的邊緣分布函數(shù)的邊

16、緣分布函數(shù) p p( (x)=px)=p( (x,+)=fx,+)=f (x), (x),其中其中x xr r 關(guān)于關(guān)于的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù) p p( (y)=py)=p( (+,y)=f+,y)=f (y), (y),其中其中y yr r 例題例題5 5 ),(limyxf y ),(limyxf x 例題例題5 5 設(shè)設(shè)( ()的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 求求f f (x) (x)和和f f (y) (y)。 解：解： )arctan 2 )(arctan 2 ( 1 ),( 2 yxyxf 邊緣分布律邊緣分布律 )()(xpxf ),(xp ),(limyxp y xxyx

17、f y )arctan 2 ( 1 ),(lim yyyxf x )arctan 2 ( 1 ),(lim 同理 二、（離散型）邊緣分布律二、（離散型）邊緣分布律 設(shè)設(shè)( ()的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 p p( (=x xi i,=,=y yj j)=)=p pij ij（ （i,j=1,2,i,j=1,2,） 關(guān)于關(guān)于的邊緣分布律的邊緣分布律 p p( (=x xi i)= p)= p( (=x xi i,+)=,+)=j jp pij ij =p =pi. i. 關(guān)于關(guān)于的邊緣分布律的邊緣分布律 p p( (=y yj j)= p)= p( (+,=+,=y yj j)=)=i ip

18、pij ij =p =p.j .j 例題例題6 6 例題例題6 6 箱子裝有箱子裝有1010件產(chǎn)品，其中件產(chǎn)品，其中2 2件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品 （不放回），共?。ú环呕兀?，共取2 2次。次。 求（求（1 1）( ()的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律 （2 2）關(guān)于）關(guān)于的邊緣分布律的邊緣分布律 解：解： （1 1） 第二次取出次品 第二次取出正品 第一次取出次品 第一次取出正品 1 0 1 0 1p.j 1 0 pi.10 9 7 10 8 9 2 10 8 10 8 9 8 10 2 9 1 10 2 10 2 10 8 10 2 例題例題6 6 箱子裝有箱子

19、裝有1010件產(chǎn)品，其中件產(chǎn)品，其中2 2件為次品。每次從中任取一件件為次品。每次從中任取一件 產(chǎn)品（不放回），共取產(chǎn)品（不放回），共取2 2次。次。 求（求（1 1）( ()的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律 （2 2）關(guān)于）關(guān)于的邊緣分布律的邊緣分布律 解解: (2): (2) 第二次取出次品 第二次取出正品 第一次取出次品 第一次取出正品 1 0 1 0 邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù) 01 p 8/10 2/10 三、（連續(xù)型）邊緣密度函數(shù)三、（連續(xù)型）邊緣密度函數(shù) 設(shè)設(shè)( () )的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(x,y)f(x,y)， 關(guān)于關(guān)于的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù) 關(guān)于關(guān)于的邊緣密度函數(shù)

20、的邊緣密度函數(shù) )(),( ),()( rxdxdyyxf xpxf x )(),()(rxdyyxfxf 例題例題7 7 例題例題7 7 1.(1.()u(g)u(g) ，g g0 x1,|y|x,0 x1,|y|x, 求（求（1 1）f(x,y)f(x,y) （2 2）f f (x) (x) （3 3）f f (y) (y) 解：（解：（1 1） backback 其他0 |101 ),( xyx yxf 例題例題7 7 1.(1.()u(g)u(g) ，g g0 x1,|y|x,0 x1,|y|x, 求（求（1 1）f(x,y)f(x,y) （2 2）f f (x) (x) （3 3）f

21、 f (y) (y) 解：（解：（2 2） backback dyyxfxf),()( 其他 其他 0 102 0 101xxxdy x x 例題例題7 7 1.(1.()u(g)u(g) ，g g0 x1,|y|x,0 x1,|y|x, 求（求（1 1）f(x,y)f(x,y) （2 2）f f (x) (x) （3 3）f f (y) (y) 解：（解：（3 3） backback dxyxfyf),()( 其他 其他 0 011 101 0 011 101 1 1 yy yy ydx ydx y y 例題例題7 7 2. 2. () n(1,2,12,22; )， 則（1 1）f f (

22、x) (x) n(1,12) （2 2）f f (y (y） n(2,22) 解：略 backback 一、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（二維）一、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（二維） r.v.r.v.，如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的x x和和y y， p p( (x,y)=px,y)=p( (xx）p p（y)y)，即，即， f(x,y)=ff(x,y)=f (x)f (x)f (y) (y)，則稱則稱和和獨(dú)立。獨(dú)立。 離散型：離散型：和和獨(dú)立獨(dú)立p pij ij=p =pi i p pj j(i,j=1, (i,j=1,) ) 連續(xù)型：連續(xù)型：和和獨(dú)立獨(dú)立f(x,y)= f(x,y)= f f (x)f (x)f (y) (y) 例題例題8 8 第五節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性第五節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 例題例題8 8 1.1.（）的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律 證明證明與與獨(dú)立。獨(dú)立。 證明： -102 02/201/202/20 12/201/202/20 24/202/204/20 012 p1/4 1/4 2/4 -102 p2/5 1/5 2/5 因?yàn)閜ij=pi.*p.j，所以與與獨(dú)立獨(dú)立 例題例題8 8續(xù)續(xù) 2.2.（）的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 證明證明與與獨(dú)立。獨(dú)立。 證明：證明： )arctan 2 )(arctan 2 ( 1 ),(