自動(dòng)控制原理 胡壽松 第五版 第七章 非線性系統(tǒng)

1、內(nèi)容提要內(nèi)容提要 7.1 7.1 典型非線性特性典型非線性特性 7.2 7.2 描述函數(shù)描述函數(shù) 7.3 7.3 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 前面幾章討論的都是線性系統(tǒng)，實(shí)際上所有的實(shí)前面幾章討論的都是線性系統(tǒng)，實(shí)際上所有的實(shí) 際系統(tǒng)都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具際系統(tǒng)都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具 有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，就稱作有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，就稱作，因此嚴(yán)格的，因此嚴(yán)格的 說所有系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。說所有系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。 在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的 靜特性曲線，不是一條直線，則稱為靜特性曲線，不是一條直線，則稱為。

2、如果。如果 這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類 非線性為非線性為。為簡化對問題的分析，通常將這。為簡化對問題的分析，通常將這 些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為 。 7.1.1 典型非線性特性的種類典型非線性特性的種類 飽和特性的靜特性曲線如圖飽和特性的靜特性曲線如圖7-1所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)所示，其數(shù)學(xué)表達(dá) 式為式為 式中，式中，a為線性區(qū)寬度；為線性區(qū)寬度；k為線性區(qū)斜率。飽和為線性區(qū)斜率。飽和 特性的特性的是：輸入信號超過某一范圍后，輸出不是：輸入信號超過某一范圍后，輸出不 再隨輸入的

3、變化而變化，而是保持在某一常值上。再隨輸入的變化而變化，而是保持在某一常值上。 飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，常見的調(diào)節(jié)飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，常見的調(diào)節(jié) 器就具有飽和特性。器就具有飽和特性。 y x k a -a 0 圖圖7-1 飽和特性飽和特性 m -m , ,| , m xa ykx xa m xa 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 0,| (), (), xa yk xaxa k xaxa y x k a -a 0 圖圖7-2 死區(qū)特性死區(qū)特性 死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，在死區(qū)內(nèi)雖有輸入信號，但其輸死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，在死區(qū)內(nèi)雖有輸入信號，但其輸 出為零，其靜持性關(guān)系如圖出為零，其靜持

4、性關(guān)系如圖7-2所示。所示。 若引入符號函數(shù)若引入符號函數(shù) 01 01 x x signx , , a a x x asignxxk y )( 0 死區(qū)小時(shí)，可忽略；大時(shí)，死區(qū)小時(shí)，可忽略；大時(shí)， 需考慮。工程中，為抗干擾，需考慮。工程中，為抗干擾， 有時(shí)故意引入。比如操舵系有時(shí)故意引入。比如操舵系 統(tǒng)。統(tǒng)。 3 滯環(huán)特性滯環(huán)特性 滯環(huán)特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是滯環(huán)特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是 在輸入在輸入-輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。其靜特性曲線如圖輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。其靜特性曲線如圖7-3 所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 0 0 y y bs

5、ignx xasignxk y ) ( 這類特性，當(dāng)輸入信號小于間隙這類特性，當(dāng)輸入信號小于間隙a時(shí)，輸出不變。當(dāng)時(shí)，輸出不變。當(dāng)xa 時(shí)，輸出線性變化；輸入反向時(shí)，輸出保持在方向發(fā)生變時(shí)，輸出線性變化；輸入反向時(shí)，輸出保持在方向發(fā)生變 化時(shí)的輸出值上，直到變化化時(shí)的輸出值上，直到變化2a后，才再線性變化。后，才再線性變化。 例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動(dòng)中的間隙等。例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動(dòng)中的間隙等。 y x 圖圖7-3 滯環(huán)特性滯環(huán)特性 0 b -b a -a 繼電器非線性特性一般可用圖繼電器非線性特性一般可用圖7-47-4表示，不僅包含死表示，不僅包含死 區(qū)，而且還具有

6、滯環(huán)特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：區(qū)，而且還具有滯環(huán)特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： y x 圖圖7-4 繼電器特性繼電器特性 0 ama -a -ma b -b 0 0 0 0 0 0 xmaxa xaxma ax xmaxa xaxma b b bsignxy , , , , (1)若若a0，稱這種特性為，稱這種特性為 ，如圖，如圖7-5 （a）所示）所示. (2)若若m=1，其靜特性如圖，其靜特性如圖7-5(b)所示，所示， 則稱為則稱為. (3)若若m-1，則稱為，則稱為， 如圖如圖7-5(c)所示。所示。 圖圖7-5 三種繼電器特性三種繼電器特性 （a）理想繼電器特性）理想繼電器特性 （b）死區(qū)繼電器

7、特性（）死區(qū)繼電器特性（c）滯環(huán)繼電器特性）滯環(huán)繼電器特性 y x0 b -b (a) y x 圖圖7-4 繼電器特性繼電器特性 0 ama -a -ma b -b y x a -a 0 -b b (b) y x a-a 0 -b b (c) 非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)最本質(zhì)的區(qū)別為：由非非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)最本質(zhì)的區(qū)別為：由非 線性微分方程描述，線性微分方程描述，故在非線，故在非線 性系統(tǒng)中將出現(xiàn)一些線性系統(tǒng)見不到的現(xiàn)象，兩性系統(tǒng)中將出現(xiàn)一些線性系統(tǒng)見不到的現(xiàn)象，兩 者之間有著不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。者之間有著不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 上述介紹的是一些典型特性。實(shí)際中的非線性還上述介紹的是一些典型特性。實(shí)際中的非

8、線性還 有好多復(fù)雜的情況，有些是它們的組合；還有一有好多復(fù)雜的情況，有些是它們的組合；還有一 些很難用一般的函數(shù)來描述，可以稱為不規(guī)則非些很難用一般的函數(shù)來描述，可以稱為不規(guī)則非 線性。線性。 （1）時(shí)域響應(yīng)曲線形狀與輸入信號的大小和系統(tǒng)初始條件有關(guān)。）時(shí)域響應(yīng)曲線形狀與輸入信號的大小和系統(tǒng)初始條件有關(guān)。 而線性系統(tǒng)與之無關(guān)。而線性系統(tǒng)與之無關(guān)。 （2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性也與輸入信號的大小和系統(tǒng)初始條件有關(guān)，如）系統(tǒng)的穩(wěn)定性也與輸入信號的大小和系統(tǒng)初始條件有關(guān)，如 小偏差時(shí)是穩(wěn)定的，大偏差時(shí)是不穩(wěn)定的。而線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅小偏差時(shí)是穩(wěn)定的，大偏差時(shí)是不穩(wěn)定的。而線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅 取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和

9、參數(shù)。取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。 （3）頻率響應(yīng)與線性系統(tǒng)不同。對于線性系統(tǒng)，輸入是正弦函數(shù)）頻率響應(yīng)與線性系統(tǒng)不同。對于線性系統(tǒng)，輸入是正弦函數(shù) 時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出也是同頻率的正弦函數(shù)，可以用頻率特性來描述；時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出也是同頻率的正弦函數(shù)，可以用頻率特性來描述； 而非線性系統(tǒng)輸出是非正弦周期函數(shù)。而非線性系統(tǒng)輸出是非正弦周期函數(shù)。 7.1.3 非線性系統(tǒng)的分析方法非線性系統(tǒng)的分析方法 非線性的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，大多數(shù)尚非線性的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，大多數(shù)尚 無法直接求解。到目前為止，非線性系統(tǒng)的研究還不成無法直接求解。到目前為止，非線性系統(tǒng)的研究還不成 熟，結(jié)論不能像線性系統(tǒng)那樣具

10、有普遍意義，一般要針熟，結(jié)論不能像線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針 對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及初始條件等具體情況進(jìn)行分析。對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及初始條件等具體情況進(jìn)行分析。 工程上常用的方法有以下幾種：工程上常用的方法有以下幾種： （1）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性）：是一種頻域分析法，描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性）：是一種頻域分析法， 實(shí)質(zhì)上是應(yīng)用實(shí)質(zhì)上是應(yīng)用的方法，將非線性特性線性化，的方法，將非線性特性線性化， 然后用頻域法的結(jié)論來研究非線性系統(tǒng)，它是線性理論然后用頻域法的結(jié)論來研究非線性系統(tǒng)，它是線性理論 中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不受系統(tǒng)階次的限中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不受系統(tǒng)階次的限

11、制。制。 （2）相平面法（本質(zhì)非線性）：圖解法。通過在相平）相平面法（本質(zhì)非線性）：圖解法。通過在相平 面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下 的解。是一種時(shí)域分析法，僅適用于一階和二階系統(tǒng)。的解。是一種時(shí)域分析法，僅適用于一階和二階系統(tǒng)。 （3）計(jì)算機(jī)求解法：用計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方）計(jì)算機(jī)求解法：用計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方 程，對于分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的。程，對于分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的。 7.2 描述函數(shù)描述函數(shù) 1.描述函數(shù)的應(yīng)用條件描述函數(shù)的應(yīng)用條件 （1）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成）非線性

12、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)n和和 一個(gè)線性部分一個(gè)線性部分g(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖7-6所示。所示。 是非線性系統(tǒng)的一種近似分析方法。首先利用描是非線性系統(tǒng)的一種近似分析方法。首先利用描 述函數(shù)將非線性元件述函數(shù)將非線性元件線性化線性化，然后利用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng)，然后利用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng) 進(jìn)行分析。它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不進(jìn)行分析。它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不 受系統(tǒng)階次的限制。受系統(tǒng)階次的限制。 xy ng(s) r(t)=0 c(t) 圖圖7-6 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 + - （2

13、）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對稱的，即）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對稱的，即 y(x)=-y(-x)，以保證非線性元件在正弦信號作用下的輸出不包，以保證非線性元件在正弦信號作用下的輸出不包 含直流分量。含直流分量。 （3）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性。能較好的濾）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性。能較好的濾 除非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入下輸出中的高次諧波，于是可以認(rèn)除非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入下輸出中的高次諧波，于是可以認(rèn) 為在閉環(huán)通道中只有基波分量在流通，此時(shí)應(yīng)用描述函數(shù)法為在閉環(huán)通道中只有基波分量在流通，此時(shí)應(yīng)用描述函數(shù)法 所得的分析結(jié)果才是比較準(zhǔn)確的。所得的分析結(jié)果才是比

14、較準(zhǔn)確的。 對于圖對于圖7-6所示的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入所示的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入 信號是正弦信號：信號是正弦信號： 則其輸出一般為周期性的非正弦信號，可以展成傅氏級數(shù)：則其輸出一般為周期性的非正弦信號，可以展成傅氏級數(shù)： ( )sinx tat 若系統(tǒng)滿足上述第二個(gè)條件，則有若系統(tǒng)滿足上述第二個(gè)條件，則有a0=0 由于在傅氏級數(shù)中n越大,諧波分量的頻率越高，an，bn 越小。此時(shí)若系統(tǒng)又滿足第三個(gè)條件，則高次諧波分量又 進(jìn)一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含 基波分量，即 0 1 ( )(cossin) nn n y taan tbn t 2 0 2

15、0 1 ( ) cos 1 ( ) sin n n ay tntdt by tntdt 類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元件把非線性元件 穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的相量比定義為非線穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的相量比定義為非線 性環(huán)節(jié)的性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)描述函數(shù)，用，用來表示，即來表示，即 11111 2 1 0 2 1 0 22 111 1 1 1 ( )( )cossinsin() 1 ( )cos 1 ( )sin yab arctan y ty tatbtyt ay ttdt by ttdt a b 式中 由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的

16、定義可以看出：由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出： (1) 描述函數(shù)描述函數(shù)線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念 便可以把一個(gè)非線性元件近似地看作一個(gè)線性元件，因此又叫做便可以把一個(gè)非線性元件近似地看作一個(gè)線性元件，因此又叫做 。線性系統(tǒng)頻率法的推廣。線性系統(tǒng)頻率法的推廣。 （2）描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對基波正弦量基波正弦量的傳遞能力。的傳遞能力。一般一般 來說，它應(yīng)該是輸入信號來說，它應(yīng)該是輸入信號的函數(shù)，但對于絕大多數(shù)的的函數(shù)，但對于絕大多數(shù)的 實(shí)際非線性元件，由于不包括儲(chǔ)能元件，它們的輸出僅是幅值的實(shí)際非線性元件，由

17、于不包括儲(chǔ)能元件，它們的輸出僅是幅值的 函數(shù)，與頻率無關(guān)，故常用函數(shù)，與頻率無關(guān)，故常用表示。表示。 7.2.2 7.2.2 描述函數(shù)的求法描述函數(shù)的求法 描述函數(shù)可以從定義式描述函數(shù)可以從定義式(7-15)出發(fā)求得，一般步驟出發(fā)求得，一般步驟 是：是： 1 22 11 11 1 ab ( )arctan j ya n ae aab (1) 首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸 出波形出波形y(t) ，并寫出輸出波形，并寫出輸出波形y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 (2) 利用傅氏級數(shù)求出利用傅氏級數(shù)求出y(t)的基波分量。的基波分量

18、。 (3) 將求得的基波分量代入定義式將求得的基波分量代入定義式(7-15)，即得，即得n(a). 下面計(jì)算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。下面計(jì)算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。 當(dāng)輸入為當(dāng)輸入為x(t)asint時(shí)，理想繼電器特性的輸出波時(shí)，理想繼電器特性的輸出波 形如圖形如圖7-7所示：所示： 1 22 11 11 1 ab ( )arctan j ya n ae aab y x 0 m 圖圖7-7 理想繼電器特性的輸出波形理想繼電器特性的輸出波形 t 0 x 2 0ym x 0ym x t y 0 2 m - -m 由于輸出周期方波信號是奇函數(shù)，則傅氏級數(shù)由于輸出周期方波信號是奇函數(shù)，則傅

19、氏級數(shù) 中的直流分量與基波偶函數(shù)分量的系數(shù)為零中的直流分量與基波偶函數(shù)分量的系數(shù)為零 a0a1=0 而基波奇函數(shù)分量的系數(shù)為：而基波奇函數(shù)分量的系數(shù)為： 2 1 00 0 12 ( )sin( )sin 24 sin() by ttdty ttdt m mtdt t y 0 2 m 故理想繼電器特性的描述函數(shù)為故理想繼電器特性的描述函數(shù)為 即即 n(a)的相位角為零度的相位角為零度,幅值是輸入正弦信號幅值是輸入正弦信號a的函數(shù)的函數(shù). 1 1 4 () ym na aa 當(dāng)輸入為當(dāng)輸入為x(t)asint，飽，飽 和特性的輸出波形如圖和特性的輸出波形如圖7-8所示。所示。 1 4 ( )sin

20、 m ytt yy x x 0 0 0 2 2 m 圖圖7-8 飽和特性的輸出波形飽和特性的輸出波形 a k 1 t t , ,| , mxa ykxxa mxa 1 a a aaarcsinsin 11 式中式中1=arcsin(a/a) 由式（由式（7-15）可得飽和特性的描述函數(shù)為）可得飽和特性的描述函數(shù)為 2 1 2 ( )arcsin1 () bkaaa n a aaaa 2 2 0 2 0 2 0 1 1 2 44 21 1 1 )(arcsin )(sin)(sin )(sin)()(sin)( a a a a a aka ttdkattdka ttdtyttdtyb 顯然其輸出

21、信號也是奇函數(shù)，因此顯然其輸出信號也是奇函數(shù)，因此a0=a1=0，而，而 y 0 2 t 1 tbtysin)( 11 由上式可見，飽和特性的由上式可見，飽和特性的n(a)也是輸入正弦信號幅值也是輸入正弦信號幅值a的函的函 數(shù)。這說明飽和特性等效于一個(gè)變系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，當(dāng)數(shù)。這說明飽和特性等效于一個(gè)變系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，當(dāng)aa時(shí)，時(shí)， 比例系數(shù)總小于比例系數(shù)總小于k. p291表表7-1列出了常見的非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)列出了常見的非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)n(a)以及相應(yīng)以及相應(yīng) 的負(fù)倒特性曲線的負(fù)倒特性曲線-1/n(a)，供分析時(shí)參考。，供分析時(shí)參考。理想繼電特性理想繼電特性，死區(qū)繼死區(qū)繼 電特性電特

22、性，飽和特性，死區(qū)特性，飽和特性，死區(qū)特性！ 7.2.3 7.2.3 組合非線性特性的描述函數(shù)組合非線性特性的描述函數(shù) 以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非線性特性，以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非線性特性， 完全可以利用這種方法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此完全可以利用這種方法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此 時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡單非線性特性的組時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡單非線性特性的組 合，即合，即，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出 復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。復(fù)雜非線件特件的描

23、述函數(shù)。 2 1 2 ( )arcsin1 () bkaaa n a aaaa 設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是 ，即它們的描述函數(shù)都是，即它們的描述函數(shù)都是，如圖，如圖7-9所示。所示。 n1 n2 + + x(t) y12(t) y1(t) 圖圖7-9 兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián) y11(t) 當(dāng)輸入為當(dāng)輸入為x( t)asint時(shí)，則兩個(gè)環(huán)節(jié)輸出的時(shí)，則兩個(gè)環(huán)節(jié)輸出的分別為輸分別為輸 入信號乘以各自的描述函數(shù)，即入信號乘以各自的描述函數(shù)，即 21 211 212 111 nnn tannty tanty tanty sin)(

24、)( sin)( sin)( 例例7.1 下圖為一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)下圖為一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù) n(a). 具有死區(qū)的非線性特性的并聯(lián)分解具有死區(qū)的非線性特性的并聯(lián)分解 0 0 m k x y + + x k 0 m y 解：解：可見，該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器可見，該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器 特性和一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為特性和一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為 若兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，如下圖所示，其總的描述函若兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，如下圖所示，其總的描述函 數(shù)數(shù)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。 )(a

25、rcsin )(arcsin)( a aa km a k k aaa k aa m an 2 2 2 1 242 1 2 2 1 4 n1n2 x y n y x z 21 nnn 必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性等效的非線性 特性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。 例例7-2 求圖求圖7-12所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù) n(a)。 y z 0 2 1 k2=2 x y 10 k=2 2 2 -2-1 10 k=2 x 2 2 -1 10 k=

26、2 x 2 2 -2 y y 10 k1=1 x z 2 解；這是一個(gè)死區(qū)特性和一個(gè)飽和特性相串聯(lián)。解；這是一個(gè)死區(qū)特性和一個(gè)飽和特性相串聯(lián)。 根據(jù)各串聯(lián)環(huán)節(jié)輸入輸出之間的關(guān)系，可以等效為根據(jù)各串聯(lián)環(huán)節(jié)輸入輸出之間的關(guān)系，可以等效為 一個(gè)一個(gè)的非線性特性。的非線性特性。 為求得這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)，為求得這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)，又可將其又可將其 分解為兩個(gè)具有完全相同線性區(qū)斜率分解為兩個(gè)具有完全相同線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬和不同死區(qū)寬 度死區(qū)特性的并聯(lián)相減，故總的描述函數(shù)為：度死區(qū)特性的并聯(lián)相減，故總的描述函數(shù)為： )()()(arcsinarcsin )(arcsin )(

27、arcsin)( 1 1 1 12 1 2124 1 2 2 1 2 2 22 2222 2111 a aaaaaa aaa k aaa k an 習(xí)題：求圖示習(xí)題：求圖示3個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特 性，并求其描述函數(shù)，其中性，并求其描述函數(shù)，其中mh。 l描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的定義 l描述函數(shù)的求法描述函數(shù)的求法 l組合非線性特性的描述函數(shù)組合非線性特性的描述函數(shù) 7.3 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通 過描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可看作一個(gè)線過描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可看作一個(gè)線 性

28、環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)， 于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法進(jìn)行分于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法進(jìn)行分 析。析。 這種方法只能用于分析這種方法只能用于分析 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。 7.3.1 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足7.2節(jié)所要求的節(jié)所要求的 描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用 描述函數(shù)描述函數(shù)n(a)來表示，而線性部分可用傳遞函來表示，而線性部分可用傳遞函 g(s)或頻率特性或頻率特性g(j)表示，

29、如圖表示，如圖7-13所示。所示。 x(t)y(t) n(a)g(s) r(t)=0 c(t) 圖圖7-13 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 + - ()()() () ()1()() 1()()0 1 () () cjna gj j rjna gj na gj gj na 由 結(jié) 構(gòu) 圖 可 以 得 到 線 性 化 后 的 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 的 頻 率 特 性 為 而 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 或 x(t)y(t) n(a)g(s) r(t)=0 c(t) 圖圖7-13 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 + - 通過對比會(huì)發(fā)現(xiàn)通過對比會(huì)發(fā)現(xiàn):在線性系統(tǒng)分析中在線性系

30、統(tǒng)分析中 當(dāng)應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，若當(dāng)應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，若 滿足滿足g(j)-1+j0，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。 顯然，式顯然，式(7-22)中的中的-1/n(a)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的(-1，j0)點(diǎn)。點(diǎn)。 區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是一個(gè)點(diǎn)區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是一個(gè)點(diǎn)（-1，j0)。而非線性。而非線性 系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是-1/n(a)曲線。通常又將曲線。通常又將-1/n(a)曲線稱為曲線稱為負(fù)倒負(fù)倒 特性曲線特性曲線。 綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非

31、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 判別方法：判別方法： (1)若若g(s)曲線不包圍曲線不包圍-1n(a)曲線，如圖曲線，如圖7-14(a)所示，所示， 則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2)若若g(s)曲線包圍曲線包圍-1n(a)曲線，如圖曲線，如圖7-14(b)所示，所示， 則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 (3)若若g(s)曲線與曲線與-1n(a)曲線相交，如圖曲線相交，如圖7-14(c)所示，所示， 則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為。 0 im g(jw) -1/n(a) re 0re im g(jw) -1/n(a) im 0 g(jw) -

32、1/n(a) m1 m2 re 圖圖7-14 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (a),(b),(c) 7.3.2 自振蕩的分析與計(jì)算自振蕩的分析與計(jì)算 前已述及，若前已述及，若g(j)曲線與曲線與-1n(a)曲線相交，曲線相交， 則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。 下面從信號的角度進(jìn)一步分析下面從信號的角度進(jìn)一步分析自振蕩產(chǎn)生的自振蕩產(chǎn)生的 條件條件。 x(t)y(t) n(a)g(s) r(t)=0 c(t) 圖圖7-13 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 + - 在圖在圖7-13所示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自振蕩，則意味所示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自振蕩，則意味 著系統(tǒng)

33、中有一個(gè)正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸著系統(tǒng)中有一個(gè)正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸 入信號為入信號為 x(t)=asint 則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為 1( ) | ( )|sin( )y tn aatn a ( ) | () ( )|sin()( )c tg jn a atg jn a ( )0 ( )( ) sin |()( )|sin()( ) |()( )| 1 ()( ) r t x tc t at g jn aatg jn a g jn a g jn a 根據(jù)系統(tǒng)存在自振蕩的假設(shè),故 即 所以 x(t)y(t) n(a)g(s) r(t

34、)=0 c(t) 圖圖7-13 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 + - 0 im g(jw) -1/n(a) re m2 m1 自振蕩也存在一個(gè)自振蕩也存在一個(gè)問題，因此必須進(jìn)一步研究問題，因此必須進(jìn)一步研究 自振蕩的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)受到擾動(dòng)偏離了原來周期運(yùn)動(dòng)狀自振蕩的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)受到擾動(dòng)偏離了原來周期運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩 狀態(tài)，稱為狀態(tài)，稱為，反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。，反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。 判斷自振蕩的穩(wěn)定性可以從上述定義出發(fā)，采用擾動(dòng)分析判斷自振蕩的穩(wěn)定性可以從上述定義出發(fā)，采用擾動(dòng)分

35、析 的方法。的方法。 以上圖為例，以上圖為例，g (j)與與-1/n(a)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，說明存曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，說明存 在兩個(gè)自振蕩點(diǎn)。對于在兩個(gè)自振蕩點(diǎn)。對于m1點(diǎn)，若受到干擾使振幅點(diǎn)，若受到干擾使振幅a增大，增大， 則工作點(diǎn)將由點(diǎn)則工作點(diǎn)將由點(diǎn)m1移至移至a點(diǎn)。由于此時(shí)點(diǎn)。由于此時(shí)a點(diǎn)不被曲線點(diǎn)不被曲線g(j) 包圍。系統(tǒng)穩(wěn)定，振蕩衰減，振幅包圍。系統(tǒng)穩(wěn)定，振蕩衰減，振幅a自動(dòng)減小，工作點(diǎn)自動(dòng)減小，工作點(diǎn) 將沿將沿-1/n(a)曲線回到曲線回到m1點(diǎn)。反之亦然，所以點(diǎn)。反之亦然，所以m1點(diǎn)是穩(wěn)點(diǎn)是穩(wěn) 定的自振蕩。同樣的方法可以分析點(diǎn)定的自振蕩。同樣的方法可以分析點(diǎn)m2是不穩(wěn)定的振蕩是不穩(wěn)定

36、的振蕩 點(diǎn)。點(diǎn)。 0 im g(jw) -1/n(a) a d b c re m2 m1 按照下述準(zhǔn)則來判斷自振蕩的穩(wěn)定性是極為簡便的：按照下述準(zhǔn)則來判斷自振蕩的穩(wěn)定性是極為簡便的： 0 im g(jw) -1/n(a) a d b c re m2 m1 值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振蕩產(chǎn)生的條件時(shí)可 知，對于穩(wěn)定的自振蕩，計(jì)算所得到的是圖7- 13中非線性環(huán)節(jié)的輸入信號x(t)asint的振幅和頻率，而 不是系統(tǒng)的輸出信號c(t)。 x(t)y(t) n（a）g(s) r(t)=0 c(t) 圖圖7-13 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 + - 對于穩(wěn)定的自振蕩，振幅和頻率是確定的，

37、并可測量得 到。計(jì)算時(shí)，振幅可由曲線的自變量的大小 來確定，而振蕩頻率由曲線的自變量來確定。 對于不穩(wěn)定的自振蕩，由于實(shí)際系統(tǒng)不可避免地存對于不穩(wěn)定的自振蕩，由于實(shí)際系統(tǒng)不可避免地存 在擾動(dòng)，因此這種自振蕩是不可能持續(xù)的，僅是理論上在擾動(dòng)，因此這種自振蕩是不可能持續(xù)的，僅是理論上 的臨界周期運(yùn)動(dòng)，在實(shí)際系統(tǒng)中是測量不到的。的臨界周期運(yùn)動(dòng)，在實(shí)際系統(tǒng)中是測量不到的。 例例7.3 具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖7-15所示，所示， 試確定其自振蕩的幅值和頻率。試確定其自振蕩的幅值和頻率。 解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為 0 1 -1

38、10 (1)(2)s ss c(t) + _ r(t) 2 4242 44 ( ) 1 ( )4 01/( )0, 1/( )1/( ) ( ) 103010(2) () (1)(2)54(54) m n a aa a n a an aa n an a g s g jj jjj 當(dāng)時(shí)，-當(dāng)時(shí) ，因此-曲線 就是整個(gè)負(fù)實(shí)軸。又由線性部分的傳函 可得 0 im g(j) -1/n(a) re -1 2 () ()-1/( ) im()02/s () re()1.66 1 1.66 ( )4 g j b g jn a g j g j g j a n a 由上式可以畫出曲線，如圖 7-15（ ）所示。

39、由圖知，兩曲線 有一個(gè)交點(diǎn)，且對應(yīng)于該點(diǎn)的自 振蕩是穩(wěn)定的。求與 的交點(diǎn)，令得（rad ） 將其代入的實(shí)部得 所以 0 im g(j) -1/n(a) re -1 由此求得：由此求得：a=2.1，=1.414rad/s (m) (h)01 3 r(t) c(t) 2 ( 1 )(0.5 1 )sss + _ 例例7-4 設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-16(a)所示，圖中死區(qū)繼所示，圖中死區(qū)繼 電器特性的參數(shù)為電器特性的參數(shù)為a=1,b=3. (1)計(jì)算自振蕩的振幅和頻率計(jì)算自振蕩的振幅和頻率. (2)為消除自振蕩，繼電器特性參數(shù)應(yīng)如何調(diào)整為消除自振蕩，繼電器特性參數(shù)應(yīng)如何調(diào)整

40、. 解解：(1) 死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函數(shù)為死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函數(shù)為 1 1 112 1 2 a a a an )( 2 1 4 a h a m an )( 當(dāng)當(dāng)a=1時(shí)，時(shí)，-1/n(a)=-，當(dāng)，當(dāng)a= 時(shí)，時(shí)， -1/n(a)=-。其極。其極 值發(fā)生在值發(fā)生在 處，此時(shí)處，此時(shí) 0 im g(j) -1/n(a) re -/6 （ b） m1 m2 2 1 112 1 a a an )( 62 1 m h an)( 2 a 因此，因此，-1/n(a)是從負(fù)實(shí)軸上是從負(fù)實(shí)軸上-/6至至 -這一段，為清楚起見，用兩條直這一段，為清楚起見，用兩條直 線來表示，如圖所示。線來表示，如圖

41、所示。 由線性部分的傳遞函數(shù)得由線性部分的傳遞函數(shù)得 ).( ).( .)(.( )( 1251250 5012 1251250 3 1501 2 24 2 24 j jjj jg 令令img(j )=0，得，得g(j )曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率 為為 =1.414。將。將 =1.414代入實(shí)部，得該交點(diǎn)為負(fù)實(shí)軸上代入實(shí)部，得該交點(diǎn)為負(fù)實(shí)軸上- 0.66。令。令 660 1 112 2 . a a 解得解得a1=1.11，a2=2.3。不難看出，。不難看出，a2=2.3為穩(wěn)定自振蕩為穩(wěn)定自振蕩 的幅值。因此，系統(tǒng)實(shí)際存在的自振蕩的幅值是的幅值。因此，系統(tǒng)實(shí)際存在的自振蕩的幅值是a=2.3， =1.414rad/s。 0 im g(j) -1/n(a) re -/6 （ b） m1 m2 (2) 為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩，可通過調(diào)整繼電器特性的死為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩，可通過調(diào)整繼電器特性的死 區(qū)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，應(yīng)使區(qū)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，應(yīng)使-1/n(a)的極值小于的極值小于g(j )曲線曲線 與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即 若取若取=2，即調(diào)整為，