浮點數(shù)的表示和基本運算

1、浮點數(shù)的表示和基本運算1浮點數(shù)的表示通常，我們可以用下面的格式來表示浮點數(shù)SP其中S是符號位，P是階碼，M是尾數(shù)對于IBM-PC而言，單精度浮點數(shù)是32位（即4字節(jié)）的，雙精度浮點數(shù)是64位（即8字節(jié)）的。兩者的S, P, M所占的位數(shù)以及表示方法由下表可知SPM表示公式偏移量1823(-1)S*2 (P-127)*1.M12711152(-1)S*2 (P-1023) *1.M1023以單精度浮點數(shù)為例，可以得到其二進(jìn)制的表示格式如下S (第31位)P (30位到23位)W（22位到0位）其中S是符號位，只有0和1,分別表示正負(fù)；P是階碼，通常使用移碼表示（移碼和補(bǔ)碼只有符號位相反，其余都一

2、樣。對于正數(shù)而言，原碼，反碼和補(bǔ)碼都一樣；對于負(fù)數(shù)而言，補(bǔ)碼就是其絕對值的原碼全部取反，然后加1） 為了簡單起見，本文都只討論單精度浮點數(shù)，雙精度浮點數(shù)也是用一樣的方式存儲 和表示的。2浮點數(shù)的表示約定單精度浮點數(shù)和雙精度浮點數(shù)都是用IEEE754標(biāo)準(zhǔn)定義的，其中有一些特殊約定。(1) 當(dāng) P = 0, M 二 0 時，表示 0。(2) 當(dāng)P二255, M二0時，表示無窮大，用符號位來確定是正無窮大還是負(fù)無 窮大。(3) 當(dāng) F 二 255, M !二 0 時，表示 NaN (Not a Number,不是一個數(shù))。當(dāng)我們使用Net Framework的時候，我們通常會用到下面三個常量Cons

3、ole. WriteLine(float. MaxValue); / 3. 402823E+38Console. WriteLine(float. MinValue);/-3. 402823E+38Console. WriteLine(float. Epsilon);/1.401298E-45如果我們把它們轉(zhuǎn)換成雙精度類型，它們的值如下Console. WriteLine(Convert ToDouble(float MaxValue); /3. 40282346638529E+38Console. WriteLine(Convert ToDouble(float MinValue);/- 3

4、.40282346638529E+38/1.401Console. WriteLine(Convert. ToDouble(float. Epsilon);29846432482E-45那么這些值是如何求出來的呢？根據(jù)上面的約定，我們可以知道階碼P的最大值是11111110 (這個值是254,因為2亦用于特殊的約定，那么對于可以精確表示的數(shù)來說，254就是最大的階碼T)。尾數(shù)的最大值是uiiio那么這個最大值就是：0 11111110 lllllo也就是 2(254-127)* (1. 11111)2= 2127* (1+1-2-23) = 3. 40282346638529E+38從上面的雙

5、精度表示可以看出，兩者是一致的。最小的數(shù)自然就是-3.40282346638329E+38。對于最接近于0的數(shù)，根據(jù)IEEE754的約定，為了擴(kuò)大對0值附近數(shù)據(jù)的表示能 力，取階碼P二-126,尾數(shù)M二(0. 00001)2 o此時該數(shù)的二進(jìn)制表示為：0 00000000 00001也就是 2-126* 2-23= 2-149 = 1. 40129846432482E-45。這個數(shù)字和上面的 Epsilon是一致的。如果我們要精確表示最接近于0的數(shù)字，它應(yīng)該是0 00000001 00000也就是：2-126* (1+0)=1.229E-38。3浮點數(shù)的精度問題 浮點數(shù)以有限的32bit長度來

6、反映無限的實數(shù)集合，因此大多數(shù)情況下都是一個近 似值。同時，對于浮點數(shù)的運算還同時伴有誤差擴(kuò)散現(xiàn)象。特定精度下看似相等的 兩個浮點數(shù)可能并不相等，因為它們的最小有效位數(shù)不同。山于浮點數(shù)可能無法精確近似于十進(jìn)制數(shù)，如果使用十進(jìn)制數(shù)，則使用浮點數(shù)的數(shù) 學(xué)或比較運算可能不會產(chǎn)生相同的結(jié)果。如果涉及浮點數(shù)，值可能不往返。值的往返是指，某個運算將原始浮點數(shù)轉(zhuǎn)換為另 一種格式，而反向運算乂將轉(zhuǎn)換后的格式轉(zhuǎn)換回浮點數(shù)，且最終浮點數(shù)與原始浮點 數(shù)相等。由于一個或多個最低有效位可能在轉(zhuǎn)換中丟失或更改，往返可能會失敗。4將浮點數(shù)表示為二進(jìn)制4.1無小數(shù)的浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制表示首先，我們用一個不帶小數(shù)的浮點數(shù)來說明

7、如何將一個浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制表示。 假設(shè)要轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)是45678. Ofo在處理這種不帶小數(shù)的浮點數(shù)時，直接將整數(shù)部分轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制表示：0.0,這時要加上一位默認(rèn)的1 (這是因為按照浮點數(shù)規(guī)格化的要求，尾數(shù)必須化 成1.M的格式)，那么可以表示成：10.0。然后將小數(shù)點向左移，一直移到離最高位只有1位，也就是1.0, 共移動了 16 位，我們知道，左移位表示乘法，右移位表示除法。所以原數(shù)就等于這樣：1.0 * (216 )。現(xiàn)在尾數(shù)和指數(shù)都出來了。因為最高位的1是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)加上去的，只是為了滿足規(guī)格化的要求，這時候需要把這個1去掉。尾數(shù)的二進(jìn)制就變成了： 0。最后在尾數(shù)的后面補(bǔ)0, 直到補(bǔ)夠23

8、位，就是：00000o再回來看指數(shù)，根據(jù)前面的定義，P-127二16,那么P二143,表示成二進(jìn)制就是： lOOOllllo45678. Of這個數(shù)是正的，所以符號位是0,那么我們按照前面講的格式把它拼起 來，就是：0 10001111 00000c這就是45678. Of這個數(shù)的二進(jìn)制表示，如果我們要得到16進(jìn)制的表示，非常簡 單，我們只需要把這個二進(jìn)制串4個一組，轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制數(shù)就可以了。但是要注 意的是x86架構(gòu)的CPU都是Little Endian的（也就是低位字節(jié)在前，高位字節(jié)在 后），所以在實際內(nèi)存中該數(shù)字是按上面二進(jìn)制串的倒序存儲的。要知道CPU是不 是little endian

9、的也很容易。BitConverter. IsLittleEndian;4.2含小數(shù)的浮點數(shù)表示為二進(jìn)制對于含小數(shù)的浮點數(shù)，會有精度的問題，下面舉例說明。假設(shè)要轉(zhuǎn)換的小數(shù)為123. 456f o對于這種帶小數(shù)的就需要把整數(shù)部和小數(shù)部分開處理。對于整數(shù)部分的處理不再贅 述，直接化成二進(jìn)制為：100100011c小數(shù)部份的處理比較麻煩一些，我們知道， 使用二進(jìn)制表示只有0和1,那么對于小數(shù)就只能用下面的方式來表示：al*2l+a2*22+a3*2-3+an*2-n其中di等數(shù)可以是0或者1,從理論上將，使用這種表示方法可以表示一個有限 的小數(shù)。但是尾數(shù)只能有23位，那么就必然會帶來精度的問題。在很多

10、情況下，我們只能近似地表示小數(shù)。來看0.456這個十進(jìn)制純小數(shù)，該如何 表示成二進(jìn)制呢？ 一般說來，我們可以通過乘以2的方法來表示。首先，把這個數(shù)字乘以2,小于1,所以第一位為0,然后再乘以2,大于1,所以 第二位為1,將這個數(shù)字減去1,再乘以2,這樣循環(huán)下去，直到這個數(shù)字等于0 為止。在很多情況下，我們得到的二進(jìn)制數(shù)字都大于23位，多于23位的就要舍去。舍入 原則是0舍1入。通過這樣的辦法，我們可以得到二進(jìn)制表示：1111011. Olo現(xiàn)在開始向左移小數(shù)點，一共移了 6位，這時候尾數(shù)為：1.11001,階碼為6加上 127得131,二進(jìn)制表示為：10000101,那么總的二進(jìn)制表示為：0

11、10000101 11001表示成十六進(jìn)制是：42 F6 E9 79由于CPU是Little Endian的，所以在內(nèi)存中表示為：79 E9 F6 42。4. 3將純小數(shù)表示成二進(jìn)制對于純小數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制來說，必須先進(jìn)行規(guī)格化。例如0.0456,我們需要把它 規(guī)格化，變?yōu)?. xxxx * (2n )的形式，要求得純小數(shù)X對應(yīng)的n可用下面的公 式：n = int( 1 + log 2X )0. 0456我們可以表示為1. 4592乘以以2為底的-5次方的幕，即1. 4592 * （ 2-5 ）。轉(zhuǎn)化為這樣形式后，再按照上面處理小數(shù)的方法處理，得到二進(jìn)制表示1. 10001去掉第一個1,得到尾數(shù)

12、10001階碼為：-5 + 127 = 122,二進(jìn)制表示為0 01111010 10001最后轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制11 C7 3A 3D5浮點數(shù)的數(shù)學(xué)運算5. 1浮點數(shù)的加減法設(shè)兩個浮點數(shù)X二Mx*2Ex , Y=My*2Ey實現(xiàn)XY要用如下5步完成：（1）對階操作：小階向大階看齊（2）進(jìn)行尾數(shù)加減運算（3）規(guī)格化處理：尾數(shù)進(jìn)行運算的結(jié)果必須變成規(guī)格化的浮點數(shù)，對于雙符號位（就是使用00表示正數(shù)，11表示負(fù)數(shù)，01表示上溢出，10表示下溢出）的補(bǔ)碼 尾數(shù)來說，就必須是001X X X-X X 或 11OX X X-X X 的形式若不符合上述形式要進(jìn)行左規(guī)或右規(guī)處理。（4）舍入操作：在執(zhí)行對階或右規(guī)

13、操作時常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾 數(shù)數(shù)值進(jìn)行舍入，以確保精度。（5）判結(jié)果的正確性：即檢查階碼是否溢出若階碼下溢（移碼表示是00-0）,要置結(jié)果為機(jī)器0；若階碼上溢（超過了階碼表示的最大值）置溢出標(biāo)志?，F(xiàn)在用一個具體的例子來說明上面的5個步驟例題：假定X=0 .0110011*211, Y=0.1101101*2-10 （此處的數(shù)均為二進(jìn)制）,計算 X+Y；首先，我們要把這兩個數(shù)變成2進(jìn)制表示，對于浮點數(shù)來說，階碼通常用移碼表 示，而尾數(shù)通常用補(bǔ)碼表示。要注意的是T0的移碼是00110X ?。?1 010 *Y?。?0 110 1101101符號位階碼尾數(shù)（1）求階差：| AE | =11010-0110 二0100（2）對階：Y的階碼小，Y的尾數(shù)右移4位Y浮變?yōu)? 1 010 * 1101暫時保存（3）尾數(shù)相加，采用雙符號位的補(bǔ)碼運算00 1100110 +00 000011000 1101100（4）規(guī)格化：滿足規(guī)格化要求（5）舍入處理，采用0舍1入法處理故最終運算結(jié)果的浮點數(shù)格式為：0 1 010 *即 X+Y二+0. 1101101*2105. 2浮點數(shù)的乘除法（1）階碼運算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）即Ex+Ey移二Ex移 + Ey補(bǔ)Ex-Ey移二Ex移 +-Ey補(bǔ)（2）浮點數(shù)的尾數(shù)處理：浮點數(shù)中尾數(shù)乘除法運算結(jié)果要進(jìn)行舍入處理例題:X=0 .0110