行程問題歸納

1、1、為什么說行程問題可以說是難度最大的奧數(shù)專題？類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個類型重點不一，因此沒有一個關(guān)鍵點可以抓題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理靜態(tài)知識容易學(xué)，動態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力跨度大： 從三年級到六年級都要學(xué)行程四年的跨度， 需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來加深理解、夯實基礎(chǔ)2、那么想要學(xué)好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？要訣一 ：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是學(xué)透基本公式要訣二 ：無規(guī)律的題目有攻略 ，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法）3、行程模塊中包含哪些知識點，有何解題技巧？例題講解？行程問題包含多人行程、 二次相遇、 多次相遇、 火

2、車過橋、 流水行船、環(huán)形跑道、鐘面行程、走走停停、接送問題、發(fā)車問題、電梯行程等-可編輯修改-更新目錄： 多人行程的要點及解題技巧 例題及答案（一） 二次相遇的要點及解題技巧 例題及答案（一） 追及問題的要點及解題技巧 例題及答案（一） 火車過橋的要點及解題技巧 例題及答案（一） 流水行船的要點及解題技巧 例題及答案（一） 環(huán)形跑道的要點及解題技巧 例題及答案（一） 鐘面行程的要點及解題技巧 例題及答案（一） 走走停停的要點及解題技巧 例題及答案（一） 接送問題的要點及解題技巧 例題及答案（一） 發(fā)車問題的要點及解題技巧 例題及答案（一） 電梯行程的要點及解題技巧例題及答案（二）例題及答案（二

3、）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（一）獵狗追兔的要點及解題技巧例題及答案（一）平均速度的要點及解題技巧例題及答案（一）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）奧數(shù)行程：多人行程的要點及解題技巧行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關(guān)系”這三個量是：路程（sb速度（v）、時間（t）三個關(guān)系：1.簡單行程：路程=速度x時間2相遇問題：路程和=速度和x時間3.追擊問題：路程差=速度差x時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關(guān)系， 就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。如“多

4、人行程問題” ，實際 最常見的是“三人行程”例：有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40 米，乙每分鐘走 38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后 3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？分析： 這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“ 3 分鐘”的時間。第一個相遇：在3 分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（ 40+36）x 3=228 （米）第一個追擊： 這 228米是由于在開始到甲、 乙相遇的時間里， 乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為 22

5、8+ （38-36）=114 （分鐘）第二個相遇：在114 分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38） x 114=8892 （米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題， 使解題思路更加清晰?？傊?，行程問題是重點，也是難點，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個量”之間的“三個關(guān)系” ，解決行程問題并非難事！奧數(shù)行程：多人行程例題及答案（一）多人行程-這類問題主要涉及的人數(shù)為3 人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻， 第三個人的位置， 解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。例 1.甲乙丙三人同時從東村去西村，甲騎自行車每小時比乙快12

6、公里， 比丙快 15公里， 甲行 3.5小時到達(dá)西村后立刻返回。 在距西村30公里處和乙相聚，問：丙行了多長時間和甲相遇？答案一：設(shè)乙每小時行x公里，則甲為x+12,丙為x-15+12=x-33.5*12=（x+12）*2x=9 甲為 21 公里，丙為 6公里，21*3.5*2/（21+6） =5.44 小時丙行了 5.44 小時和甲相遇答案二：在距西村 30公里處和乙相聚，則甲比乙多走60公里，而甲騎自行車每小時比乙快12公里，所以，甲乙相聚時所用時間是60/12=5 小時，所以甲從西村到和乙相聚用了5-3.5=1.5小時，所以，甲速是：30/1.5=20 公里 / 小時，所以，丙速是：20

7、-15=5公里 / 小時，東村到西村的距離是： 20*3.5=70公里，所以，甲丙相遇時間是： （2*70）/（20+5）=5.6 小時例 2.難度：高難度甲、乙、丙三輛車同時從a 地出發(fā)到 b 地去，甲、乙兩車的速度分別為 60千米時和 48千米時。 有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6 時、 7 時、 8 時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度?！窘獯稹拷忸}思路： （多人相遇問題要轉(zhuǎn)化成兩兩之間的問題， 咱們的相遇和追擊公式也是研究的兩者。另外 st 圖也是很關(guān)鍵）第一步：當(dāng)甲經(jīng)過6 小時與卡車相遇時，乙也走了 6 小時，甲比乙多走了 660-486=72千米； （這也是現(xiàn)在乙車與卡

8、車的距離）第二步：接上一步，乙與卡車接著走 1 小時相遇，所以卡車的速度為 72-481=24第三步：綜上整體看問題可以求出全程為：（ 60+24） 6=504或（ 48+24） 7=504第四步：收官之戰(zhàn)：5048-24=39（千米）注意事項：畫圖時，要標(biāo)上時間，并且多人要同時標(biāo)，以防思路錯亂！例 3.難度：高難度李華步行以每小時4 千米的速度從學(xué)校出發(fā)到 20.4千米外的冬令營報到。 0.5 小時后，營地老師聞訊前來迎接，每小時比李華多走 1.2千米， 又經(jīng)過了 1.5小時， 張明從學(xué)校騎車去營地報到。結(jié)果3人同時在途中某地相遇。問：張明每小時行駛多少千米？【解答】老師出發(fā)時和李華相距20

9、.4-4x 0.5=18.4千米，再過18.4+(4+4+1.2) =2小時相遇，相遇地點距學(xué)校2x4+2=10千米，張明行駛的時間為0.5小時，因此張明的速度為10+ 0.5=20千米/時。奧數(shù)行程：多人行程例題及答案(二)行程問題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個模塊，在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見到行程問題的身影。 多人行程-這類問題主要涉及的人數(shù)為 3 人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻， 第三個人的位置， 解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。例1.ab兩地相距30千米，甲乙丙三人同時從 a到b,而且要求同時到達(dá)。現(xiàn)在有兩輛自行車，但不許帶人，但可以將自

10、行車放在中途某處， 后來的人可以接著騎。 已知騎自行車的平均速度為每小時 20 千米，甲步行的速度是每小時 5 千米，乙和丙每小時4 千米，那么三人需要多少小時可以同時到達(dá)？【解答】因為乙丙步行速度相等，所以他們兩人步行路程和騎車路程應(yīng)該是相等的。對于甲因為他步行速度快一些，所以騎車路 程少一點，步行路程多一些。現(xiàn)在考慮甲和乙丙步行路程的距離。甲多步行1千米要用1/5 小時，乙多騎車1千米用1/20小時,甲多用1/5-1/20=3/20小時。甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小時。，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/ （3/20=1/3.這樣設(shè)乙丙步行路程為3份，甲步行

11、4份。如下圖安排：33i1-1丙放車 乙放/車 4這樣甲騎車行騎車的3/5,步行2/5.所以時間為：30*3/5/20+30*2/5/5=3.3 小時。例2.有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走 40米，乙每 分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙 相遇。問：這個花圃的周長是多少米？【解答】這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）x 3=228 （米）第一個追擊： 這 228米是由于在開

12、始到甲、 乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228+ （38-36） =114 （分鐘）第二個相遇：在114 分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38） x 114=8892 （米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰?？傊?行程問題是重點， 也是難點， 更是鍛煉思維的好工具。只要理解好 “三個量” 之間的 “三個關(guān)系” ， 解決行程問題并非難事！-可編輯修改-奧數(shù)行程：二次相遇的要點及解題技巧一、概念：兩個運動物體作相向運動或在環(huán)形跑道上作背向運動，隨著時間的發(fā)展，必然面對面地相遇，這類

13、問題叫做相遇問題。二、特點：它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題。三、類型：相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。四、三者的基本關(guān)系及公式：它們的基本關(guān)系式如下：總路程二（甲速+乙速）x相遇時間相遇時間=總路程+ （甲速+乙速）另一個速度= 甲乙速度和-已知的一個速度奧數(shù)行程：二次相遇例題及答案（一）答題思路點撥：甲從a 地出發(fā)，乙從b 地出發(fā)相向而行，兩人在 c 地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到 b 地后返回，乙繼續(xù)走到 a 地后返回， 第二次在 d 地相遇。一般知道ac 和 ad 的距離， 主要抓住第二次相遇時走的路程是第一次

14、相遇時走的路程的兩倍。例 1.甲乙兩車同時從a、 b 兩地相向而行，在距b 地 54 千米處相遇，它們各自到達(dá)對方車站后立即返回，在距a 地 42 千米處相-可編輯修改-遇。請問a 、 b 兩地相距多少千米？a.120b.100c.90d.80【解答】a 。解析：設(shè)兩地相距x 千米，由題可知，第一次相遇兩車共走了 x,第二次相遇兩車共走了 2x,由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即 54x2=x-54+42,得出 x=120。例2.兩汽車同時從a、b兩地相向而行，在離a城52千米處相遇，到達(dá)對方城市后立即以原速沿原路返回，在離a 城 44 千米處相遇。兩

15、城市相距（ ）千米a.200b.150c.120d.100【解答】 d 。解析：第一次相遇時兩車共走一個全程，第二次相遇時兩車共走了兩個全程，從a 城出發(fā)的汽車在第二次相遇時走了 52x 2=104千米，從b城出發(fā)的汽車走了 52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96） +2=100千米。繞圈問題：例3.在一個圓形跑道上，甲從 a點、乙從b點同時出發(fā)反向而行， 8 分鐘后兩人相遇，再過6 分鐘甲到 b 點，又過 10 分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（ ）？a 24分鐘 b 26分鐘 c 28分鐘 d 30分鐘【解答】co解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了 6+10=16

16、 分鐘。也就是說，兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了 8 分鐘，所以兩人共走半圈，即從a 到 b 是半圈，甲從a到b用了 8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14x 2=28分鐘。也是一個倍數(shù)關(guān)系。奧數(shù)行程：二次相遇例題及答案（二）例 1.兩輛汽車同時從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行 56千米，另一輛汽車每小時行63千米，經(jīng)過4 小時后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級程度）【解答】兩輛汽車從同時相對開出到相遇各行4 小時。一輛汽車的速度乘以它行駛的時間， 就是它行駛的路程； 另一輛汽車的速度乘以它行駛的時間， 就是這輛汽車行駛的路程。 兩車行駛路程之和，就是兩地距離。5

17、6x 4=224 （千米）63x 4=252 （千米）224+252=476（千米）綜合算式：56x 4+63x 4=224+252=476（千米）答：甲乙兩地相距476千米。例 2.兩列火車同時從相距480 千米的兩個城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時行駛40千米，乙車每小時行駛42千米。 5 小時后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度）解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車 5 小時共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5 小時共行的路程，所得就是兩車的距離。480-（40+42） x5=480-82x 5=480-410=70（千米）答： 5 小時后兩列火車相距70 千米。例 3

18、.兩列火車從甲、乙兩地同時出發(fā)對面開來，第一列火車每小時行駛60 千米，第二列火車每小時行駛55 千米。兩車相遇時，第一列火車比第二列火車多行了 20 千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級程度）解：兩車相遇時，兩車的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時比第二列火車多行（ 60-55）千米。由此可求出兩車相遇的時間，進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。（60+55） x 20- （60-55）= 115x20+ 5=460（千米）答：甲、乙兩地間的距離為 460千米。奧數(shù)行程：追及問題的要點及解題技巧一、多人相遇追及問題的概念及公式多人相遇追及問題，即在同一直線上

19、， 3 個或 3 個以上的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞 這一條基本關(guān)系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解。二、多次相遇追及問題的解題思路所有行程問題都是圍繞 這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜， 但只要抓住這個公式， 逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解多次相遇與全程的關(guān)系1.兩地相向出發(fā)：第 1次相遇，共走1個全程；第 2次相遇，共走3個全程；第 3次相遇，共走5個全程；第

20、 n 次相遇，共走2n-1 個全程；注意：除了第 1 次，剩下的次與次之間都是2 個全程。即甲第 1 次如果走了 n 米，以后每次都走2n 米。2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個全程；第2次相遇，共走4個全程；第3次相遇，共走6個全程；第 n 次相遇，共走2n 個全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差奧數(shù)行程：追及問題例題及答案（一）例 1.一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的 3倍， 每個隔 10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔 20 分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)

21、一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？a.10b.8c.6d.4【解答】我們知道這個題目出現(xiàn)了 2 個情況，就是（ 1）汽車與騎自行車的人的追擊問題，（ 2）汽車與行人的追擊問題追擊問題中的一個顯著的公式就是路程差=速度差x時間 我們知道這里的 2 個追擊情況的路程差都是汽車的間隔發(fā)車距離。 是相等的。 因為我們要求的是關(guān)于時間所以可以將汽車的間隔距離看作單位1.那么根據(jù)追擊公式(1)(v 汽車v 步行)=1/10(2)(v 汽車一3v 步行)=1/20(1)x 3(2)=2v汽車=3/10-1/20很快速的就能解得 v汽車=1/8 答案顯而易見是8例 2.小明在商場的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方

22、向向上，小芳則從二樓到一樓。 已知小明的速度是小芳的2 倍。 小明用了 2 分鐘到達(dá)二樓， 小芳用了 8 分鐘到達(dá)一樓。 如果我們把一個箱子放在一樓的第一個階梯上問多長時間可以到達(dá)二樓？【解答】跟上面一題一樣。這個題目也是 2 個行程問題的比較( 1)小明跟扶梯之間是方向相同(1)(v小明+ v扶梯)=1/2( 2)小芳跟扶梯的方向相反(2)(v小芳一v扶梯)=1/8(1)-2x (2)=3v扶梯=1/4可見扶梯速度是1/12答案就顯而易 見了?？偨Y(jié)： 在多個行程問題模型存在的時候。 我們利用其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消?？梢院茌p松的一步求得結(jié)果！-可編輯修改-奧數(shù)行程：追及問題例題

23、及答案（二）例1.上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后， 爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即 回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是 8千米。問這時是幾點幾分？國,也.衣法熱小照i爸爸【i*-hv、飛家4千米6-4千米圖 27-1【解答】先畫出示意圖圖37-1如下（圖37-1中a點表示爸 爸第一次追上小明的地方，b點表示他第二次追上小明的地方）。從 圖37-1上看出，在相 同時間（從第一次追上到第二次追上）內(nèi)，小 明從a點到b點，行完（8-4=） 4千米；爸爸先從a點到家，再從家 到b點，行完（8+4=） 12千米?？梢?， 爸爸的速度是

24、小明的（12 + 4=） 3倍。從而，行完同樣多的路程（比如從家到 a點），小明所 用的時間就是爸爸的3倍。圖 37-1由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在a點追上，所以，小明從家到a點比爸爸多用8分鐘。這樣可以算出，小明從家到 a所 用的時間為8+ (3-1) x 3=12 (分)8+ (3-1) x3xx2=24 (分)例2.a、b兩地間有條公路，甲從a地出發(fā)，步行到b地， 乙騎摩托車從b地出發(fā)，不停地往返于 a、b兩地之間，他們同時出 發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：當(dāng) 甲到達(dá)b地時，乙追上甲幾次？甲一4hi?1_&!：e1 i乙第一次相遇第一次追上【

25、解答】由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間， 乙在100-80=20 （分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段 fa的長度再加上 線段ae的長度，即等于甲在（80+100）分鐘內(nèi)所走的路程，因此， 乙的速度是甲的9倍（ = 180+20）,則bf的長為af的9倍，所以， 甲從a至u b,共需走80x （1+9） =800 （分鐘），乙第一次追上甲時， 所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個ab全程.從第一次追 上甲 時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個ab全程，因此，追及時間也變?yōu)?00分鐘，所以，在甲從a到b的800分鐘內(nèi)，乙共有 4次追上甲，即在第100分 鐘，300分鐘，500分鐘和

26、700分鐘.奧數(shù)行程：火車過橋的要點及解題技巧一、什么是過橋問題？火車過橋問題是行程問題的一種，也有路程、速度與時間之 間的數(shù)量關(guān)系，同時還涉及車長、橋長等問題?；緮?shù)量關(guān)系是火車 速度x時間=車長+橋長-可編輯修改-二、關(guān)于火車過橋問題的三種題型：（ 1）基本題型：這類問題需要注意兩點：火車車長記入總路程；重點是車尾：火車與人擦肩而過，即車尾離人而去。如： 火車通過一條長1140米的橋梁用了 50秒， 火車穿過 1980米的隧道用了 80秒，求這列火車的速度和車長。 （過橋問題）一列火車通過800 米的橋需 55 秒，通過 500 米的隧道需40秒。 問該列車與另一列長384、 每秒鐘行 1

27、8米的列車迎面錯車需要多少秒鐘？（火車相遇）（ 2）錯車或者超車：看哪輛車經(jīng)過，路程和或差就是哪輛車的車長如：快、慢兩列火車相向而行，快車的車長是 50米，慢車的車長是 80 米，快車的速度是慢車的 2 倍，如果坐在慢車的人見快車駛過窗口的時間是5 秒， 那么， 坐在快車的人見慢車駛過窗口的時間是多少？（ 3）綜合題：用車長求出速度；雖然不知道總路程，但是可以求出某兩個時刻間兩人或車之間的路程關(guān)系如：鐵路旁有一條小路，一列長為 110米的火車以每小時30千米的速度向南駛?cè)ィ?8 點時追上向南行走的一名軍人， 15秒后離他而去， 8 點 6 分迎面遇到一個向北走的農(nóng)民， 12 秒后離開這個農(nóng)民。

28、問軍人與農(nóng)民何時相遇？奧數(shù)行程：火車過橋的例題及答案（一）例 1.一列火車長150米，每秒鐘行19米。全車通過長800米的大橋，需要多少時間？【解答】列車過橋，就是從車頭上橋到車尾離橋止。車尾經(jīng)過的距離 = 車長 +橋長，車尾行駛這段路程所用的時間用車長與橋長和除以車速。解：（800+150） + 19=50 （秒）答：全車通過長800米的大橋，需要50秒。例 2.一列火車長200米，以每秒8米的速度通過一條隧道，從車頭進(jìn)洞到車尾離洞，一共用了 40秒。這條隧道長多少米？【解答】先求出車長與隧道長的和，然后求出隧道長。火車從車頭進(jìn)洞到車尾離洞，共走車長+隧道長。這段路程是以每秒8米的速度行了

29、40秒。解：（1）火車40秒所行路程：8x40=320 （米）（ 2）隧道長度：320-200=120（米）答：這條隧道長120米。例 3.一列火車長119米，它以每秒15米的速度行駛，小華以每秒 2 米的速度從對面走來，經(jīng)過幾秒鐘后火車從小華身邊通過？【解答】本題是求火車車頭與小華相遇時到車尾與小華相遇時經(jīng)過的時間。依題意，必須要知道火車車頭與小華相遇時，車尾與小華的距離、火車與小華的速度和。解： （ 1）火車與小華的速度和： 15+2=17（米 /秒）(2)相距距離就是一個火車車長：119米(3)經(jīng)過時間：119+ 17=7 (秒)答：經(jīng)過 7 秒鐘后火車從小華身邊通過。奧數(shù)行程：火車過橋

30、的例題及答案(二)例 1.某列車通過250米長的隧道用 25秒，通過 210米的鐵橋用 23 秒，該列車與另一列長320米，速度為每小時行64.8千米的火車錯車時需要( )秒?！窘獯稹炕疖囘^橋問題公式：(車長 +橋長 )/ 火車車速 =火車過橋時間速度為每小時行64.8千米的火車，每秒的速度為18米/秒，某列車通過250米長的隧道用25秒， 通過210米的鐵橋用23秒，則該火車車速為：(250-210)/(25-23)=20米/ 秒路程差除以時間差等于火車車速.該火車車長為：20*25-250=250米( )或 20*23-210=250米( )所以該列車與另一列長320 米，速度為每小時行6

31、4.8千米的火車錯車時需要的時間為(320+250)/(18+20)=15(秒)例2.一列火車長160m,勻速行駛，首先用26s的時間通過甲隧道(即從車頭進(jìn)入口到車尾離開口為止)，行駛了 100km后又用16s的時間通過乙隧道，到達(dá)了某車站，總行程100.352km求甲、乙隧道的長？xm那么乙隧道的長度是(100.352-100) (單位是千米！) *1000-x=(352-x)那么(x+160)/26=(352-x+160)/16解出x = 256那么乙隧道的長度是 352-256=96火車過橋問題的基本公式(火車的長度+橋的長度)/時間=速度例 3.甲、乙兩人分別沿鐵軌反向而行，此時，一列

32、火車勻速地向甲迎面駛來，列車在甲身旁開過，用了 15 秒，然后在乙身旁開過，用了 17 秒，已知兩人的步行速度都是3.6千米 / 小時，這列火車有多長？【解答】從題意得知，甲與火車是一個相遇問題，兩者行駛路程的和是火車的長.乙與火車是一個追及問題，兩者行駛路程的差是火車的長，因此，先設(shè)這列火車的速度為x米/秒，兩人的步行速度 3.6千米/小時=1米/秒，所以根據(jù)甲與火車相遇計算火車的長為(15% + 1x15)米，根據(jù)乙與火車追及計算火車的長為(17匯1x17冰，兩種 運算結(jié)果火車的長不變，列得方程為15/ 書 x 15= 17匯1x17解得：x =16故火車的長為17x 16-1x 17=

33、255米奧數(shù)行程：流水行船的要點及解題技巧一、什么叫流水行船問題船在水中航行時，除了自身的速度外，還受到水流的影響，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和行程，研究水流速度與船只自身速度的相互作用問題，叫作流水行船問題。二、流水行船問題中有哪三個基本量？流水行船問題是行程問題中的一種， 因此行程問題中的速度、時間、路程三個基本量之間的關(guān)系在這里也當(dāng)然適用三、流水行船問題中的三個基本量之間有何關(guān)系？流水行船問題還有以下兩個基本公式：順?biāo)俣?船速+水速， （ 1）逆水速度=船速-水速.（ 2）這里， 船速是指船本身的速度， 也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程

34、.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系，由公式（ l ）可以得到：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速。由公式（2）可以得到：水速 =船速-逆水速度，船速 =逆水速度 +水速。這就是說， 只要知道了船在靜水中的速度， 船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（ 1）和公式（2） ，相加和相減就可以得到：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）+ 2,水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+ 2。奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（一）例 1.一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭

35、逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了 12 小時。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的 2 倍， 水流速度是每小時2 千米， 從甲港到乙港相距 18 千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ）a.44千米 b.48千米 c.30千米 d.36千米【答案】a。解析：順流速度逆流速度=2 x水流速度， 又順流速度二2 x逆流速度，可知順流速度=4 x水流速度=8千米/時, 逆流速度=2 x水流速度=4千米/時。設(shè)甲、丙兩港間距離為x千米， 可列方程 x + 8+ （x 18） +4=12 解得 x=44。例 2.一艘輪船在兩碼頭之間航行。如果順?biāo)叫行?小時，如果逆水航行需11 小時。已知水速為每小時3 千米，那

36、么兩碼頭之間的距離是多少千米？a.180b.185c.190d.176【答案】do解析：設(shè)全程為s,那么順?biāo)俣葹?，逆水速度為，由（順?biāo)俣?逆水速度） /2= 水速，知道 =6 ，得出 s=176【知識點撥】我們知道，船順?biāo)叫袝r，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)， 同時整個水面又按水流動的速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)叫械膶嶋H速度（簡稱順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮停矗喉標(biāo)俣?=船速 +水速同理：逆水速度=船速-水速可推知：船速= （順?biāo)俣?逆水速度） /2 ；水速 = （順?biāo)俣?-逆水速度） /2-可編輯修改-奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（二）例 1.甲、乙兩港間的水路長2

37、08 千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?8 小時到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13 小時到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度?！痉治觥扛鶕?jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍嫠俣龋?而順?biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)量關(guān)系， 用路程分別除以順?biāo)?逆水所行時間求出。解：順?biāo)俣龋?08+ 8=26 （千米/小時）逆水速度：208+ 13=16 （千米/小時）船速：（26+16） +2=21 （千米/小時）水速：（26-16） +2=5 （千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21 千米，水流速度每小時5千米。例 2.某船在靜水中的速度是每小時15千米， 它從

38、上游甲地開往下游乙地共花去了 8 小時， 水速每小時3 千米， 問從乙地返回甲地需要多少時間？【分析】要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/ 小時） ，甲乙兩地路程：18x 8=144 （千米），-可編輯修改-從乙地到甲地的逆水速度：15 3=12（千米/ 小時） ，返回時逆行用的時間：144+ 12= 12 （小時）。答：從乙地返回甲地需要12 小時。例 3.甲、乙兩港相距360 千米，一輪船往返兩港需35 小時，逆流航行比順流航行多花了 5 小時 .現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時 12千米，這機(jī)帆

39、船往返兩港要多少小時？【分析】要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35 小時與 5 小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間 .并能進(jìn)一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎(chǔ)上再用和差問題解法求出水速。解：輪船逆流航行的時間：（35+5） +2=20 （小時），順流航行的時間：（35-5） +2=15 （小時），輪船逆流速度：360+ 20=18 （千米/小時），順流速度：360+ 15=24 （千米/小時），水速：（2418） +2=3 （千米/小時），帆船的順流速度：12+ 3=15 （千米/小時），帆船的逆水速

40、度：12 3=9（千米/ 小時） ，帆船往返兩港所用時間：360+ 15+ 360+ 9=24+40=64 （小時）。答：機(jī)帆船往返兩港要 64 小時。奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的要點及解題技巧一、什么是環(huán)形跑道問題？環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。 是多人（一般至少 兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是 看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確 合理的線段圖進(jìn)行分析。二、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間x速度和路程差=追及時間x速度差三、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每 合走一圈相遇一次

41、；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次.這個 等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向；路程差門5介。.55相對（反向）：路隹和話3735-可編輯修改-奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（一）環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人） 多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。 下面通過幾道例題來幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識。例 1.甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點a 背向同時出發(fā)， 8 分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1 米，那么兩人第五次相遇的地

42、點與點 a 沿跑道上的最短路程是多少米？【解答】設(shè)乙的速度是x米/分0.1米/秒=6米/分8x+8x+8x 6=400x 5x=122122x 8+ 400=2.176那么兩人第五次相遇的地點與點 a 沿跑道上的最短路程是176米例 2.二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)， 甲行一圈4 分鐘，乙行一圈 7 分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走10 圈，改反向出發(fā)， 每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。 問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？【解答】 甲走完 10圈走了10*400=4000米他們每擊掌一次，甲 走一 圈 （畫畫 圖 就會明 白 的）， 則 15*400=6000 米總共

43、走 了6000+4000=10000米 10000/400=25分鐘因為甲乙所走時間想同所以乙走了 25/7*400 弋 1428米例 3.林玲在450米長的環(huán)形跑道上跑一圈， 已知他前一半時間每秒跑5 米， 后一半時間每秒跑4 米， 那么他后一半路程跑了多-可編輯修改-少秒？【解答】總共用時為450+（5+4） = 50秒后半程用時=（225-4x50） +5+50 = 55 秒例 4.某人在360米的環(huán)形跑道上跑了一圈， 已知他前一半時間每秒跑5 米， 后一半時間每秒跑4 米， 則他后一半路程跑了多少秒？【解答】 44 秒因為共花了 80 秒的時間（ （ 80/2 ） -360/2 ）/5

44、+80/2=44例 5.一條環(huán)形跑道長400米，小青每分鐘跑260米，小蘭每分鐘跑210米，兩人同時出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇（不用解方程）【解答】小青每分鐘比小蘭多跑50 米一圈是 400 米400/50=8 所以跑 8 分鐘例 6.兩人在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點出發(fā)，小明每秒跑 3 米， 小雅每秒跑4 米，反向而行， 45秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇【解答】（4+3） x 45=315米一一環(huán)形跑道的長（相遇問題求解）315+ （4-3） =315秒一一（追及問題求解）答： 315秒后兩人再次相遇.-可編輯修改-奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（二）環(huán)形跑道問題特殊場

45、地行程問題之一。是多人（一般至少兩人） 多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。 下面通過幾道例題來幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識。例 1.甲、 乙兩人同時從400米的環(huán)形路跑道的一點 a 背向出發(fā)， 8 分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點與a 點沿跑道上的最短距離是（ ） 。a.166 米 b.176米 c.224米 d.234 米【解答】甲、乙兩人三次相遇，共行了三個全程，即是3x400=1200（米）。根據(jù)題意，甲乙兩人的速度和為1200/8=150

46、（米/ 分）因為甲乙兩人的每分速度差為0.1x60=6 （米/分），所以甲的速度為（150+6） /2=78 （米 / 分）甲8分鐘行的路程為78x8=624 （米），離開原點624-400=224米，因為 224400/2， 所以400-224=176（米）即為答案。例 2.乙兩車同時從同一點出發(fā)，沿周長 6 千米的圓形跑道以相反的方向行駛。甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米。 一旦兩車迎面相遇， 則乙車立刻調(diào)頭； 一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第 11 次相遇的地點距離點有多少米？ （每一次甲車追上乙車也看作一次相遇）-可編輯修改-【解答】第一次是一個相

47、遇過程，相遇時間為：6+(65+55)=0.05小時，相遇地點距離a點：55x 0.05=2.75千米.然后乙車調(diào)頭，成為追及過程，追及時間為：6+ (65-55)=0.6小時，乙車在此過程 中走的路程為：55x 0.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時距離 a 點 3-2.75=0.25千米此時甲車調(diào)頭，又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離a 點 0.25+2.75=3千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據(jù)上面的計算，乙車又要走5 圈又 3 千米，所以此時兩車又重新回到了 a 點， 并且行駛的方向與最開始相同 所以， 每 4 次相遇為一個周期，而11 + 4=2-3,所以第11次相

48、遇的地點與第3次相遇的地點是相同的，與a 點的距離是3000米。奧數(shù)行程：鐘面行程問題的要點及解題技巧一、什么是鐘面行程問題？鐘面行程問題是研究鐘面上的時針和分針關(guān)系的問題， 常 見的有兩種：研究時針、分針成一定角度的問題，包括重合、成一 條直線、成直角或成一定角度；研究有關(guān)時間誤差的問題.在鐘面上每針都沿順時針方向轉(zhuǎn)動， 但因速度不同總是分針追趕時針， 或是分針超越時針的局面， 因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追及問題來解二、鐘面問題有哪幾種類型？第一類是追及問題 (注意時針分針關(guān)系的時候往往有兩種情況） ；第二類是相遇問題（時針分針永遠(yuǎn)不會是相遇的關(guān)系，但是 當(dāng)時針分針與某一刻度夾角相等時，可

49、以求出路程和） ；第三種就是走不準(zhǔn)問題， 這一類問題中最關(guān)鍵的一點： 找到表與現(xiàn)實時間的比例關(guān)系。三、鐘面問題有哪些關(guān)鍵問題？確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；四、解答鐘面問題有哪些基本方法？分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成60 小格，每小格我們稱為 1分格。分針每小時走 60 分格，即一周；而時針只走5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時針每分鐘走112分格。度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是360，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即 6 ，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60 度，即 1/2 度。-可編輯修改-序融嫻hl(1)周角是36c* ,鐘面上有12個大格，肉個大橋是3

50、6c&十12=30. ；有60個工、格，每個小格 是 36q，60-6.(2)時針得小時走一個大格3oa ),所以時鐘每分鐘走3口.小6m b。：分針每小時走6。個 小格.所以分鐘每分鐘走61u)用大將來描述：附轉(zhuǎn)處小理打1火格分針每小時打型火格.可看出分針?biāo)俣葮I(yè)時升速度的12倍.c4)用小格來描述;分針每分鐘行1小格，時針每分鐘行小格.(5)用度來描述：分針陽分鐘行m。度，則分升每分鐘行6度，時針加分鐘行。,3度.-可編輯修改-奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題及答案(一)例 1：從 5 時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線？5 時整時，分針指向正上方，時針指向右下方，此時兩者之間間

51、隔為 25個小格(表面上每個數(shù)字之間為5個小格 )， 如果要成直線，則分針要超過時針 30 個小格，所以在此時間段內(nèi)，分針一共比時針多走了 55個小格。 由每分鐘分針比時針都走11/12 個小格可知，此段時間為 55/(11/12)=60 分鐘， 也就是經(jīng)過60分鐘時針與分針第一次成了直線。例 2：從6 時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合？6 時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為 30個小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0，那么分針要比時針多走30個小格， 此段時間為 30/(11/12)=360/11 分鐘。7 3：在8 時多少分，時針與分針垂直？

52、8 時整時，分針指向正上方，時針指向左下方，兩者之間間隔為 40 個小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個是第一次垂直， 此時兩者間隔為 15個小格(分針落后時針)， 也就是分針比時針多走了25個小格，此段時間為 25/(11/12)=300/11 分鐘；另一次是第二次垂直， 此時兩者間隔仍為 15個小格(但分針超過時針)， 也就是分針比時針多走了 55個小格， 此段時間為 55/(11/12)=60 分鐘， 時間變?yōu)?可編輯修改-9 時，超過了題意的 8 時多少分要求，所以在 8 時 300/11 分時，分針與時針垂直。由上面三個例題可以看出， 求解此類問題（經(jīng)過多少時間，分針與時間成多少夾

53、角）時，采用上述方法是非常方便、簡單、快捷的，解題過程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個關(guān)鍵點就是抓住分針比時針多走了多少個小格， 而不論兩者分別走了多少個小格。-可編輯修改-奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題及答案(二)例 1：從 9 點整開始，經(jīng)過多少分，在幾點鐘，時針與分針第一次成直線？9 時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為 45個小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?30 個小格， 那么分針要比時針多走 15 個小格， 此段時間為 15/(11/12)=180/11 分鐘。例 2： 一個指在九點鐘的時鐘， 分針追上時針需要多少分鐘？10 時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為 45 個小格。如果要分針追上時針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0 個小格 ， 那么分針要 比 時針多走 45 個小格 ， 此段時 間 為 45/(11/12)=540/11 分鐘。11 3：時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線？時針和分針重合，也就是兩者間隔為 0 個小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?30個小格，那么分針要比時針多走 30 個小格，此段時間為 30/(11/12)=360/11 分鐘。-可