45.矩形(提高)知識講解

1、矩形（提高）【學習目標】1. 理解矩形的概念2. 掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理【要點梳理】要點一、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形要點詮釋：矩形定義的兩個要素：是平行四邊形；有一個角是直角即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件要點二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個方面：1. 矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2. 矩形的對角線相等；3. 矩形的四個角都是直角；4. 矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸要點詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分 .（2） 矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直

2、線）.對 稱軸的交點就是對角線的交點（即對稱中心）（3） 矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等； 從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等 .要點三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1. 定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形2. 對角線相等的平行四邊形是矩形 .3. 有三個角是直角的四邊形是矩形 .要點詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判 定平行四邊形是矩形.要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點詮釋：（1 ）

3、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用（2）學過的直角三角形主要性質(zhì)有：直角三角形兩銳角互余；直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；直角三角形中30所對的直角邊等于斜邊的一半.（3） 性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.【典型例題】 類型一、矩形的性質(zhì)1、如圖所示，已知四邊形 ABCD是矩形， PBCD QC都是等邊三角形，且點 P在矩形上方，點 Q在矩形內(nèi).求證：(1) / PBA=Z PCQ= 30; (2)PA = PQ【思路點撥】 矩形的四個內(nèi)角都等于 90,利用條件厶PBC和厶QCD都是等邊三角形， 容易求得/ PBA和/ PC

4、Q度數(shù)；(2)利用 的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進一步證明PABAPQC(SAS,從而證得 PA= PQ【答案與解析】證明：T 四邊形ABCD是矩形，/ABC=Z BCD= 90./ PBHA QCD是等邊三角形，/ PBC=Z PCB=Z QCD= 60,/ PBA=Z ABC-/ PBC= 30,/ PCD=Z BCD-/ PCB= 30./ PCQ=/ QCD- / PCD= 30，故/ PBA=/ PCQ= 30(2) T 四邊形 ABCD是矩形， AB = DC/ PBCHA QCD是等邊三角形， PB = PC, QC= DC= AB./ AB = QC / PBA=/ PCQ PB= P

5、C. PABA PQC PA = PQ【總結(jié)升華】 利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時，針對問題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可.舉一反三：【變式】如圖所示，把矩形紙片ABCD沿 EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處.(1) 求證：B E = BF ;(2) 設(shè)AE= a , AB= b , BF= c，試猜想a b c之間有何等量關(guān)系，并給予證明. 【答案】證明：(1)由折疊可得 BFE二/BFE . AD / BC, B EF BFE BFE ,BE二BF,BE=BF .(2)猜想a2 b2二c2 理由：由題意，得 AE=AE 二 a, A B =AB 二 b .由(1)

6、知 BE =BF在厶ABE中，=c.ZA=90 , AE =a , ABr = b , B = c,2、如圖所示，矩形 求/ BOE的度數(shù).ABCD中, AC BD相交于 O, AE平分/ BAD交 BC于 E, / CAE= 15,【思路點撥】/ BOE在厶BOE中，易知/ OBE= 30,直接求/ BOE有困難，轉(zhuǎn)為考慮證 BO =BE.由AE平分/ BAD可求/ BAE= 45得到 AB= BE,進一步可得等邊厶 AOB有AB= OB證 得 BO= BE【答案與解析】解： 四邊形ABCD是矩形，/ DAB=Z ABC= 90, AO= - AC BO= - BD AC= BD. 2 2A

7、O = BOAE 平分/ BAD 二/ AEB= 90- 45 BE = AB./ CAE= 15,. ABO是等邊三角形.BO = AB,BE = BQ/ BAE= 45.=45=/ BAE/ BAO= 60./ BOE=/ ABO= 60./ OB= 30.180- 3075 .2【總結(jié)升華】矩形被每條對角線分成兩個直角三角形，被兩條對角線分成四個等腰三角形, 因此矩形中的計算問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中去解決.類型二、矩形的判定3、如圖所示，在 ABC中,點O是AC邊上一動點，過點 O作直線MN/ BC,設(shè)MN交 / BCA的平分線于點E,交/ BCA的外角平分線于點 F.Aa

8、2b2 二 c2.試證明EO= FO；(2)當點O運動到何處時，四邊形 AECF是矩形？簡要說明理由.【思路點撥】(1)根據(jù)條件證明 OEA OCF都是等腰三角形，即 OE= OC OF= OC所以 EO= FO. (2)由(1)OE = OC= OF,只要OA= OC即點O為AC的中點，則四邊形 AECF是矩形.【答案與解析】 證明：因為MN BC, CE CF分別是/ BCA / BCA外角的平分線，所以/ CEO=Z ECO / CFO=Z FCO所以 OE= OC OF= OC所以EO= FO(2)當點O運動到AC的中點時，四邊形 AECF是矩形.由(1)知EO= FO,又因為AO=

9、CQ所以四邊形AECF為平行四邊形.因為OE= OC所以AC= EF,所以四邊形AECF是矩形.【總結(jié)升華】對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，是對平行四邊形、矩形判定的綜合應用.舉一反三：【變式】已知.ABCD勺對角線AC, BD相交于O, ABO是等邊三角形，AB= 4cm ,求這個 平行四邊形的面積【答案】解：四邊形ABCD是平行四邊形 ABOA DCO又 ABO是等邊三角形 DCO也是等邊三角形，即 AO= BO= CO= DO AC= BD ABCE為矩形./ AB= 4cm , AC= AO+ CO AC= 8 cm在Rt ABC中，由勾股定理得：BC=.y_五一匚 cm矩形ABC

10、D勺面積為：AB- BC= 16匚cm2類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì) 4、如圖所示,BD CE ABC兩邊上的高，G F分別是BG DE的中點.求證：FG丄DE【答案與解析】證明：連接EG DQ / CE是高， CE 丄 AB. 在Rt CEB中，G是BC的中點，11 EG =丄BC,同理 Dd 丄BC.22 EG = DG又 F是ED的中點， FG 丄 DE.【總結(jié)升華】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是依據(jù)矩形的對角線互相平分且相等推出來的. 據(jù)這個性質(zhì)又可以推出直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個等腰三角 形溫馨提示：若題目中給出直角三角形斜邊上的中點，常設(shè)法用此性質(zhì)解決問題. 舉一反三：【高清課堂特殊的平行四邊形（矩形）例11】0的最大距離為（點 D到點【變式】（2012?濟南）如圖，/ M0=90，矩形 ABCD勺頂點A B分別在邊0M 0N上, 當B在邊0N上運動時，A隨之在邊0M上運動，矩形 ABCD勺形狀保持不變，其中 AB= 2, B