一種新型5自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析(20210518125935)

1、一種新型 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析耿明超 1，張燦果 1，2，路 懿 2，王 爍 1 （ 1.河北 建筑工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 河北 張家口 075000；2.燕山 大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004） 摘 要：提出了一種新型含平面分支的少自由度并 聯(lián)機(jī)構(gòu)。建立了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)模型，并分析了機(jī)構(gòu) 的自由度及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。通過對平面閉環(huán)分支及約束分支的速 度解析，推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)的 6X6的雅克比矩陣。綜合考慮了平 面分支中上、 下橫梁的彈性變形及 SPR 分支中約束力作用下 的彈性變形對并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的影響，建立了該機(jī)構(gòu)的整體剛 度矩陣。將理論解析解與軟件 Sol

2、idworks Simulation 的仿真 結(jié)果對比，驗(yàn)證了所建剛度模型的正確性，為含平面分支少 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的開發(fā)和應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：少自由度；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；運(yùn)動(dòng)學(xué)；剛度；平面分支1 引言 同6 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)相對簡 單、控制容易、成本低等優(yōu)點(diǎn) 1 。含平面分支少自由度并聯(lián) 機(jī)構(gòu)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，剛度等方面更加具有優(yōu)勢，在機(jī)械制造、 醫(yī)療器械、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。靜剛度是 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的重要性能指標(biāo)之一，也是目前國內(nèi)外學(xué)者研究的 熱點(diǎn)。文獻(xiàn) 2建立了 2PRS-2UPS 四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛 度矩陣模型，并分析了其最大和最小剛度所在的方向。文獻(xiàn)3

3、 對幾種三自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度性能作了對比分析。 文 獻(xiàn)4 在研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛模型的基礎(chǔ)上， 提出了一種建立少 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型的新方法。文獻(xiàn)5 對一類特殊的3-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度作了分析研究。 文獻(xiàn) 6基于螺旋理 論建立了一種過約束少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型。 文獻(xiàn) 7 考慮機(jī)構(gòu)中各支鏈的驅(qū)動(dòng)力和約束反力，建立了SPS+SP+SPR機(jī)構(gòu)的剛度模型。文獻(xiàn)8基于剛度守恒矩陣， 對機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣進(jìn)行了分析和求解。 由于平面分之中 存在著橫梁，傳統(tǒng)的剛度建模方案僅考慮了驅(qū)動(dòng)分支彈性變 形對并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的影響，而未考慮橫梁的變形，而橫梁的 變形對少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的影響達(dá)到了不可忽視

4、的程 度。首先提出了一種新型含平面分支的 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)， 建立了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣?；谔摴υ?，推導(dǎo)了并 聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)方程。綜合考慮平面分支中驅(qū)動(dòng)分支、上橫 梁和下橫梁的變形，及SPR分支中約束力作用下驅(qū)動(dòng)桿的彎 曲變形，建立了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度模型。 2 含平面分 支 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)描述 含平面分支的 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu) 三維模型，如圖 1 所示。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺、基座，連接 基座和動(dòng)平臺的 2 個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的平面六桿閉環(huán)支鏈和一 個(gè) SPR 支鏈組成。 平面六桿閉環(huán)支鏈由兩個(gè)油缸、 兩個(gè)活塞 桿、一個(gè)上橫梁和一個(gè)下橫梁組成；油缸、活塞桿組成的驅(qū) 動(dòng)桿和上、下橫梁用四

5、個(gè)軸線相互平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副聯(lián)接。平面 分支的下橫梁和基座通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線和基座 的上平面平行。上橫梁通過動(dòng)柱和動(dòng)平臺聯(lián)接，動(dòng)柱和動(dòng)平 臺通過轉(zhuǎn)動(dòng)副聯(lián)接，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線和動(dòng)平臺上平面垂直；動(dòng) 柱和平面分支也通過轉(zhuǎn)動(dòng)副進(jìn)行聯(lián)接，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線和動(dòng)平 臺的上平面平行。 SPR 分支以球副和基座聯(lián)結(jié)，以轉(zhuǎn)動(dòng)副和 動(dòng)平臺聯(lián)結(jié)，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線和動(dòng)平臺上平面平行。 圖 1 含 平面分支的 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型Fig.1 3D Model of 5-DOF Parallel Manipulator with PlaneBranch 此并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，構(gòu)件數(shù)目為 18 個(gè)，運(yùn)動(dòng)副數(shù)目為 21 個(gè)，包括 5個(gè)

6、移動(dòng)副， 15 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副， 1個(gè)球副。該機(jī)構(gòu)含有 2 個(gè)平面六桿閉環(huán)支鏈， 每個(gè)平面閉環(huán)支鏈含有 3 個(gè)過約束。 根據(jù)修正的自由度計(jì)算公式計(jì)算得到該機(jī)構(gòu)的自由度為5。提出的含平面閉環(huán)的機(jī)構(gòu)具有以下優(yōu)點(diǎn)： （ 1）平面分支中只 含有轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)福，結(jié)構(gòu)簡單、制造容易。 （ 2）平面分支 中驅(qū)動(dòng)桿兩端的四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線是相互平行的，可以避免驅(qū) 動(dòng)桿承受彎矩，增大了機(jī)構(gòu)的承載能力。 （ 3）平面分支中的 轉(zhuǎn)動(dòng)副和球副相比具有承載能力強(qiáng)、裝配間隙小、轉(zhuǎn)動(dòng)角度 范圍大等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，SPR分支與RPS分支相比，有效地增 大了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。相同條件下，該機(jī)構(gòu)具有更大的 承載力、更大的剛度，更大的工作空間

7、。 3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng) 學(xué)分析 3.1 平面閉環(huán)分支的速度解析 含平面分支 5 自由度 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分析框圖，如圖 2所示。設(shè)v、3分別為動(dòng)平臺坐標(biāo)系0的線速度、角速度；vbi、3 bi分別為動(dòng)平臺端點(diǎn) bi的速度和角速度；vbij為平面分支中bij點(diǎn)的線速度；3 rij 為驅(qū)動(dòng)桿 rij 的角速度， 3 ri 為虛擬分支 ri 的角速度， ei 和 eij 分別表示向量 bi0 和 bibij ； rij 為第 i 個(gè)平面分支中第 j 個(gè) 驅(qū)動(dòng)桿的向量，$ i1和Ri1分別為動(dòng)柱相對于動(dòng)平臺轉(zhuǎn)動(dòng)角 速度大小和方向；$ i2和Ri2分別為上橫梁相對于動(dòng)柱轉(zhuǎn)動(dòng) 角速度大小和方向， 3 i1 和 Ri

8、1 分別為下橫梁相對于基座轉(zhuǎn) 動(dòng)的角速度大小和方向； 3 i2 和 Ri2 分別為虛擬桿相對于下 橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小和方向； 3i3 和 Ri3 分別為上橫梁相 對于虛擬桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小和方向。根據(jù)各構(gòu)件之間的相 互運(yùn)動(dòng)關(guān)系得：式中： vrij 平面分支中驅(qū)動(dòng)桿 rij 的速度的 大??；8 ij 平面分支中驅(qū)動(dòng)桿rij的單位向量，推導(dǎo)可得：式中：V v； 3動(dòng)平臺速度的 6維列向量形式；Jij 動(dòng)平臺速 度V到平面分支中驅(qū)動(dòng)桿速度vrij的映射矩陣，為1X 6。由 于篇幅有限，映射矩陣 Jij具體的推導(dǎo)過程可參 考文獻(xiàn)9 ，這 里不再詳述。 圖 2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分析框圖 Fig.2 Anal

9、ysis Diagram 0f Parallel Manipulat0r 3.2 約束分支 SPR的速度解析 設(shè)vr3為SPR分支驅(qū)動(dòng)速度的大小，8 3為SPR分支的單位向量，貝在SPR分支中，存在過球 副中心且和R副軸線平行的約束力，此約束力對SPR分支的 運(yùn)動(dòng)作功為0。設(shè)Fy為SPR分支中約束力的大小，f3為約 束力的單位方向矢量，d3為動(dòng)平臺原點(diǎn)到約束力的矢距，根據(jù)虛功原理得 Fyf3 v+ （Fyf3 X d3） w =0，將其進(jìn)一步表 示成矩陣形式： 將公式、和式合并起來，得到此并聯(lián)機(jī)構(gòu) 的速度解析方程：J即為含平面分支5自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣。 4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析 4.1 平

10、面分支的彈性變 形 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的平面分支中，當(dāng)動(dòng)平臺中心受到外部載荷時(shí)， 驅(qū)動(dòng)桿只承受沿驅(qū)動(dòng)桿方向的作用力，故在驅(qū)動(dòng)桿上只會產(chǎn) 生沿驅(qū)動(dòng)桿方向的變形 入ij （入ij沿著rij ）o設(shè)kij為平面分 支中驅(qū)動(dòng)桿的剛度系數(shù)，入ij為平面分支中驅(qū)動(dòng)桿的變形，則有： 式中：ki ）；E材料的彈性模量；Aij1 活塞桿件 的 橫截面積；Aij2 油缸的橫截面積；rijl 活塞桿的長度。平面分支中，下橫梁通過轉(zhuǎn)動(dòng)副和基座聯(lián)接。下橫梁的中心和 基座之間不發(fā)生位移，故可將下橫梁等效為兩個(gè)懸臂梁，如 圖3所示。假定分支驅(qū)動(dòng)力與下橫梁垂直方向的夾角為a ij,則驅(qū)動(dòng)力 Fij（ i=1 ， 2； j=1 ， 2）

11、在水平方向的分力為 Fls=Fijsin a，在豎直方向的分力為Flc=Fijcos a ij。下橫梁在兩個(gè)分力的作用下，分別產(chǎn)生拉壓變形8 ls=Fls/kl，彎曲變形8lc=FlcD3l/3EII 式中：kl 下橫梁抗拉壓剛度系數(shù)；Dl 下橫梁長度的1/2 ； Il 下橫梁的抗彎截面系數(shù)。下橫梁端部由 于驅(qū)動(dòng)力 Fij 作用而產(chǎn)生的總變形為 圖 3 下橫梁受力分析 圖Fig.3 Force Analysis Diagram of Lower Beam 同理，假定分支 驅(qū)動(dòng)力和上橫梁垂直方向的夾角為 e ij，則驅(qū)動(dòng)力在水平方向的分力為 Fus=Fijsin e ij，在豎直方向的分力為Fu

12、c=Fijcos0 ij。上橫梁端部的拉壓變形 8 us=Fus/ku ,彎曲變形8 us=Fus D3/3EI。式中：k上橫梁抗拉壓剛度系數(shù)；A 上橫梁的橫截uuuu面積；Du 上橫梁長度的1/2; Iu 上橫梁的抗彎截 面系數(shù)。上橫梁端部由于驅(qū)動(dòng)力 Fij 作用而產(chǎn)生的變形合成 為 uij= 驅(qū)動(dòng)桿的實(shí)際變形為驅(qū)動(dòng)桿的彈性變形和橫梁端部 變形的疊加。驅(qū)動(dòng)桿的當(dāng)量柔度表示為入j=入ij+wij+uij=c ijFij , c ij=ij 4.2 SPR 分支的彈性變形SPR分支中， Fr3 為驅(qū)動(dòng)桿的驅(qū)動(dòng)力， kr3 為驅(qū)動(dòng)桿的剛度系數(shù)， 設(shè)8 r3 為在驅(qū)動(dòng)力的作用下驅(qū)動(dòng)桿的彈性變形， 則

13、： 式中： Ar31 分支中活塞桿的橫截面積；Ar32 油缸的橫截面積；r r31 活塞桿的長度；rr3 分支桿件的長度。在約束力Fy的作用下，SPR分支的彎曲變形，如圖 4所示。設(shè)8 d為在 約束力的作用下驅(qū)動(dòng)桿產(chǎn)生的變形，貝式中：ky分支 的抗彎曲剛度；Ir3 分支的抗彎截面系數(shù)。圖4 SPR分支約束力變形示意圖Fig.4 Deformation Diagram of SPR Limb Caused byConstrained Force 4.3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型 將式、式和式合 并寫成矩陣形式：其中，F(xiàn)r =： F11F12F21F22Fr3Fy: 為關(guān)節(jié)力， 令并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺所受的力

14、、 力矩載荷分別為Fs、Ts； 8 p、8書分別為載荷作用下動(dòng)平臺彈性變形的線位移和 角位移。有微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系及力雅可比矩陣的定義，式可以進(jìn) 一步表示為： 式中： K=JTKpJ 即為該含平面分支的 5 自由 度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣。 5 數(shù)值算例 給定含平面分支5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：基座等邊三角形邊長 L=240mm ，動(dòng)平臺等邊三角形邊長 l=120mm ；圓柱形上橫梁 長度 2Du=50mm ，直徑 du=16mm ；矩形截面下橫梁長度 2DI=80mm，高度h=20 mm，寬度b=20 mm ;活塞桿直徑 d=20mm，油缸直徑 d=30mm ;材料的彈性模量 E=210G

15、Pa。 給定 5 個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的驅(qū)動(dòng)加速度 a11=2.5mm/s2， a12=2.8mm/s2， a21=3.3mm/s2， a22=3.6mm/s2， ar3=0.8mm/s2 初始速度均為 0。動(dòng)平臺中心的載荷為： Fs=0 0 100TN， Ts= : 0 0 1000: TN mm。動(dòng)平臺的彈性變形隨位姿變換的 趨勢，如圖 5 所示。其中，彈性變形的線位移部分，如圖 5（a）所示。彈性變形的角位移部分，如圖5（b）所示。 圖5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺彈性變形隨位姿變化圖Fig.5 Corresponding Deformation of MobiIe PIatform with Differen

16、t Pose 從圖 5 中不難看出， 機(jī)構(gòu)的位姿不同， 表現(xiàn)的 剛度特性也不同。隨著位姿的變化，圖5a中三個(gè)平移方向上 的變形都逐漸增大， 但是三個(gè)方向中 z 方向變形明顯小于 x、 y兩個(gè)方向，表明該機(jī)構(gòu)沿 x、y方向剛度比較小，而在 z方 向剛度較大，因此應(yīng)避免此并聯(lián)機(jī)構(gòu)在 x， y 方向受到較大 的力作用。 采用 SoIidworks SimuIation 軟件對此 5 自由度并 聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，模型如圖 6 所示。使用“探測”命令獲得三種典型位姿下動(dòng)平臺中心的平移變形并記錄下來， 將其與理論值進(jìn)行對比，對比數(shù)據(jù)，如表 1所示。 圖 6 五 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)有限元軟件分析模型Fig.

17、6 Analysis Model of 5-DOF Parallel Manipulator in FemSoftware表中：do動(dòng)平臺中心變形的幅值。從表1中可以看出動(dòng)平臺中心變形理論值與模擬值基本相同，但是理論值 偏小。這是由于剛度理論計(jì)算忽略了鉸鏈的彈性變形、各構(gòu) 件的質(zhì)量及外部載荷等因素對機(jī)構(gòu)剛度的影響。表 1 動(dòng)平臺彈性變形的線位移仿真與理論值對比 單位 /mm Tab.1 Simulation Linear Displacement of Mobile Platform Compared with Theoretical Valuedo dXo dYo dZo 位置一仿真 值 0

18、.0537 0.0174 0.0508 -7.9E-5 理論值 0.0527 0.0162 0.0502 -7.8E-5 誤差 0.0013 0.0012 0.0006 1.3E-6 位置二仿真值 0.0956 0.0419 0.0834 -3.2E-4 理論值 0.0935 0.0388 0.0801 -3.2E-4 誤差 0.0021 0.0031 0.0033 1.5E-6 位置三仿真值 0.0157 0.0787 0121 -0.0060 理論值 0.141 0.0712 0.117 -0.0059 誤差 0.0132 0.0065 0.0042 0.00001 6 結(jié)論 （ 1 ）提

19、出 了一種新型含平面分支 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析了該機(jī)構(gòu)的 特點(diǎn)，建立了少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型?；诓⒙?lián)分支 中的約束力 /矩，推導(dǎo)了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的廣義雅克比矩陣。（2）綜合考慮了平面分支中橫梁變形和SPR分支中約束力作用下的變形對并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度的影響，建立了該機(jī)構(gòu)的整體靜剛度矩陣。典型位姿下限元分析軟件的仿真結(jié)果驗(yàn)證了所建立的剛度模型的正確性，可用來指導(dǎo)少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的物理樣機(jī)的開發(fā)及應(yīng)用。 參考文獻(xiàn) 1路懿，胡波少自 由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究進(jìn)展J.燕山大學(xué)學(xué)報(bào)，2011, 35 (5): 277-283. ( Lu Yi ， Hu Bo.Development evaluation of

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