數(shù)值分析課后答案講解

1、數(shù)值計算方法配套答案第一章 緒論本章的學(xué)習(xí)要求（ 1）會求有效數(shù)字。（2）會求函數(shù)的誤差及誤差限。（3）能根據(jù)要求進行誤差分析。本章應(yīng)掌握的重點公式1）絕對誤差：設(shè) x為精確值， x 為 x的一個近似值，稱 e x x為 x 的絕對誤差。e2）相對誤差： er。x3）絕對誤差限：e x x4）相對誤差限：xxxx5）一元函數(shù)的絕對誤差限：設(shè)一元函數(shù)f x 0, 則 fdfdxx。6）元函數(shù)的相對誤差限：r ff1ddfxx。7）二元函數(shù)的絕對誤差限：設(shè)一元函數(shù) f x,y 0,則 f8）二元函數(shù)的相對誤差限：1r ff1y。數(shù)值計算方法配套答案三 本章習(xí)題解析1. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到

2、的近似值， （ 1）試指出它們有幾位有效數(shù)字， （2）分別X估計 A1 X1 X2 X3 及 A2 X2 的相對誤差限。X4x1 1.1021, x2 0.031, x3 385.6,x4 56.430解：（1） x1 有 5 位有效數(shù)字， x2 有 2 位有效數(shù)字， x3 有 4位有效數(shù)字， x4 有 5 位有效 數(shù)字。（2）A1 x1x2x3, A1 x2x3, A1 x1x3, A1 x1 x2 ,由題可知： A1 為 A1的近似值，x1x2x3x1 ,x2 ,x3 分別為 x1,x2,x3近似值。所以A1所以 r A1 A1A1A1XA11x1A1X2x2A1X3x3111x1 x2

3、x3x2 x310 4 x1 x310 3 x1 x210 1 0.215A2X2,則有A21 ,A2x22,同理有A2為 A2的近似值，x2 ，x4為 x2，2X 4x2x4x4x4 正方形的邊長大約為 100cm，怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm 2?x4 的近似值，代入相對誤差限公式：A2 r A2 AA2A21A2 XX2A2X4X41 1 10 3 X 2 2 1 10X2 X 4 2X4 2 2X43105解：設(shè)正方形的邊長為x ，則面積為 S x2 ，dx 2 x ，在這里設(shè) x 為邊長的近似值，S為面積的近似值：由題可知：數(shù)值計算方法配套答案3.解：slsld相對誤差限為：

4、rSS 0.07440.0055 。4.32 3.124.列公式如何計算才比較準(zhǔn)確：(1) 當(dāng) x 的絕對值充分小時，計算2xe 1 ；2解：2)當(dāng) N 的絕對值充分大時，計算3)當(dāng) x 的絕對值充分大時，計算1)當(dāng) x0時，111 x2 dx ；x1x1x。x2x 2x 2xe2x 1 e2x 1 e2x 14xe1x 3x xe e e2x x x x x x x2 e 12e e e2e e e1即：2x x 1 推出： x 2100 0.005cm 。測得某房間長約 L =4.32m，寬約為 d =3.12m ，且長與寬的誤差限均為 0.01m，試問房 間面積 S=Ld 的誤差限和相對

5、誤差限分別為多少？ss設(shè) s ld 則有： s d， s l。在這里 l，d，S 分別為 l，d， s的近似值： lddd l l d 3.12 0.01 4.32 0.01 0.0744cm23x x x 2x 2xe e e e ex exx2ex ex2)當(dāng) N時，N 1 1N 1 X2dx=argtgxN1= argtg N 1 argtgN N= argtg11NN1(3)當(dāng) x時，數(shù)值計算方法配套答案=2。x x 1x15. 列 yn 滿足遞推關(guān)系 yn =10 yn 1 -1，n=1,2, ，若 y0 = 2 1.41 ，計算到 y10 時誤差有多 大？這個計算數(shù)值穩(wěn)定嗎？解：已

6、知準(zhǔn)確值 y02 ，近似值 y0 1.41，設(shè)他們的誤差為0 y0 y 0 ，則有：1y1y110 y0110y01 =10 y0 y010 02y2y210y1110y11 =100 y0 y01000以此類推所以 10y10y1010y9110y91=1010 y0y01010010 10 1 2 1 8=1010 2 1.41 1010 2 10 2 2 1086. 計算 f2-1 6 ，取 2 1.4，直接計算和用 1 來計算，哪一個最好？3 2 25解：依題意構(gòu)造函數(shù) f x x 1 ，則 f I x 6 x 1 ，由絕對誤差公式f f x x =6 1.4 1 5 2 1.4 6

7、0.0124 1 10 1 =0.00307227. 求二次方程 x -16x+1=0 的較小正根，要求有 3 位有效數(shù)字。解：由求根公式： x 16 16 4 。所以。 x1 8 63， x2 8 63 對比可知：2 1 2較小的根為 x2 8 63 ，由相近數(shù)相減原理則有：x28 638 63 8 638 6318 630.06278. 如果利用四位函數(shù)表計算 1 cos20，試用不同方法計算并比較結(jié)果的誤差。解： 1 cos20 1 0.994 0.0062 0 21 cos206.092 10 4sin2 200.0349 21 cos201.9949. 設(shè) x 的相對誤差限為 ，求

8、x100 的相對誤差限。解：由題意可知： 設(shè) f x x100 ， 則有 f I x 100X 99 在這里設(shè) x 為 X 的近似值， f 為 f數(shù)值計算方法配套答案的近似值，由已知 x 的相對誤差限為 。110. 已知三角形面積 S= 12 absinc,其中 c 為弧度，滿足 0c ，且 a,b,c,的誤差分別為a, b ，c 。證明面積誤差 s 滿足解：由誤差定義：ssas c，又因為：s 1bsinc， s 1asinca 2 b 2s1ab cosc ，代入上式可得：c21bsinca1asinc22sbab cosc2兩邊同除以 s 可得：bsinc s2 s 1 absin ca

9、bsin c 21asinc21 ab sin c2b約分可得：因為： 0cc0. ，2所以命題bbtgcc ，a af99f I x x 100 xxff x x 100所以： f100 x100x數(shù)值計算方法配套答案第二章 插值法本章的學(xué)習(xí)要求（1）會用拉格朗日插值和牛頓插值求低階插值多項式。（ 2）會應(yīng)用插值余項求節(jié)點數(shù)。（3）會應(yīng)用均差的性質(zhì)。本章應(yīng)掌握的重點公式1）線性插值： L1 x l0 x y0 l1 x y1 。2）拋物插值： L1 x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 。n3） n 次插值： Ln x lk x yk 。 k0f n 14）拉格朗日插值余項：

10、Rn x f x Ln x f n 1 x 。5）牛頓插值公式：f xjN X fx0fx0,x1xx0fx0,x1xnxx0xx1x xn1 。6）nx0,x1, xn。j 1 xx0xx1xxj 1xxj1 xxn7）f x0,x1, xnfnn!8）牛頓插值余項： Rn x f x Nn x f x0,x1 xn n 1 x 。數(shù)值計算方法配套答案三 本章習(xí)題解析1. 給定 x, f x 的一系列離散點（ 1，0），（ 2， 5），（3， 6），（ 4， 3），試求 Lagrange 插值多項試。解：設(shè)所求插值多項式為p xL3 Xl 0 xy l1x y l2 x y ，且已知：x1x

11、3x4112x0 1，y0 0， x12，y15，x23，y2 6，x34，y3 3 ，代入插值基函數(shù)公式：可得：l x xx1xx2 x x3 =x 試用 Newton 插值公式求一個三次插值多項式 N3 X ，并由此求 f 0.5 的近似值。 x 解：（1） n 3，取 0.5 附近的 4 個點為宜。故取，x0 0，y0 7，x1 1，y1 4，x2 2,y2 5， xx3 3，y3 26。則 L3 X l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 ，按照習(xí)題 1 求出插值基l 0 xx0x1x0x2 x0 x3 = 1 2 31 x x x0 x x2 x x3 = x1 x0 x1

12、x2 x1 x32xx1x2x4x x0 x x1 x x3x2 x0 x2 x1 x2 x3化簡代入 p x 得 : p x x3 4x2 32. 若 f x2x63x函數(shù)。代入 L3 X ?？傻茫?L 3 X x3 2x 7 ，所以： f 0.5 1 2 1 7 5.875x31，求 f30,3136， f30,3137。解: 由 f 6 x 2 6! ，所以 : f 6 2 6! ， f 7 x f 70.由均差的性質(zhì) （三）可知: f 30,31 36f 2 6! 2 ， f 30,31 37f 0 06! 6! 7! 7!3. 給定函數(shù)表xi012345f x i-7-4526651

13、281） 試用 Lagrange 插值法求一個三次插值多項式 L3 X ，并由此求 f 0.5 的近似值。數(shù)值計算方法配套答案2）設(shè)牛頓插值多項式為N 3 x f x0 fx,0x1xx0fx, 0x, 1x2xx0 xx1f x0,x1,x2,x3 x x0 x x1 x x2 ，列差商表：xiyi一階插商二階插商三階插商0-71-4325933262161所以： N3 X7 3 x 0 3 x 0 x 1 x 0 x 1 x 2 x3 2x 7 =-5.875n kk4. 設(shè)xj為互異節(jié)點（ j=0,1,2, ,n）求證：xjl j x x ， k =0,1,2, , n其中l(wèi) j x 為

14、j0n 次插值基函數(shù)。kk證明：根據(jù)題意：設(shè) f xxk ，所以有 y f xjxkj ，n n n結(jié)合上式所以有：xjl j x f xj l j x l j x yj =Ln xj ，j 0 j 0 j0由余項定理可知： f xj Ln xj Rn x j ，且由定理二可知，當(dāng) 0 j n時， Rn xj 0所以就有 f xjLn xjxjk 。在這里令變量 xj x ，所以命題：j 0xkjlj x xk，成立。125. 設(shè) f x c2 a,b 且 f a f b 0 ，求證： max f x b a max證明：由題可知： x 0 a,y0 0，x1 b, y1 0，故可構(gòu)造線性插值

15、多項式即為下式：L1 X l0 x f x0 l1 x f x1 ，記為（ 1）式，因為 f x L1 X R1 x ，記為（ 2）式，其中 R1 x f x a x b ，記為（ 3） 式，將（ 1）（3）代入（ 2）整理：IIf x L1 X R1 x xa bb f a bx aa f b R1 f 2! x a x b數(shù)值計算方法配套答案所以：fx2!入，可推出：f fx6. 若 f xnanxn an 1xIIk xj InII fxaxb2baII2!max x a x b axb這里取 xab代212再放縮得 ma xaxb f x 8 b a ma xaxbf II x2! 4

16、1a1x a0有 n個不同實零點 x1,x2, xn,證明：0,0 k n 21xjan ,k n 1證明：由題可知：f x 有 n 個不同實零點，故 f x 還可以表示成根形式的多項式，即：j 1 ff x an x x1 x x2x xn ；=an x j x1 x jx2xj xj1 xj xj 1 xj xn在此設(shè)： xk x；nk xj I1n1xjj1f xjan j 1 x j x1xj xj 1xj xj 1 x jxnn1anx1, x2, xn，記為（ 1）式an n 1 !由導(dǎo)數(shù)的定義可知：f xIj lxim f xx xf xjx x j x xjfxlxim xlx

17、im an x x1 x x2x xj 1 x xj 1 x xnx xj x x j x xj當(dāng) k n 1 時，x n 1 ! ，則（ 1）變?yōu)?1 ；ax當(dāng) 0 k n 2 ，則（ 1）式變?yōu)?0， 綜上所述： n x j0,0 k n 2j 1 ,k n 1 j 1 f x an,k n 17. 給定函數(shù)表xi-2-10123f xj-5111725第 - 9 - 頁數(shù)值計算方法配套答案已知以上數(shù)據(jù)取自一個多項式，試確定這個多項式的次數(shù)；并求出這個多項式。解：用牛頓法：N X fx0fx0,x1xx0fx0,x1,x2,x x0 xx1+f x0,x1,x2,x3,x4,x5xx0xx

18、1xx2xx3xx4，列插商表：xif xi一階插商二階插商三階插商四階插商五階插商-2-5-116010-3110012763103251861003N X 5 6(x 2) 3(x 2)(x 1) (x 2)(x 1)(x 0) x3 x 1，為三次。8. 對函數(shù) f x ， g x 及任意常數(shù) a,b,證明：af x bg x x0,x1, xn af x0,x1, xn bg x0,x1, xn 。證明：由高等數(shù)學(xué)的知識，我們構(gòu)造函數(shù) F X af x bg x ，于是就有下式成立：af x bg x x0,x1, xnF x x0,x1, xnn F x jj 0 xj x0 xj

19、x1xj xj 1 xj x j 1x j xnn af x j bg x jj 0 xj x0 xj x1xj xj 1 xj x j 1x j xn由分式法則：an f xjbn g xjj 0 xjx0xjx1xj xj1 xjxj1xjxnj0xjx0xjx1xjxj 1 xj xj1 xjxn=af x0,x1 xn bg x0,x1, xn ，所以命題成立。10. 給定函數(shù)表xi0.00.20.40.60.8f xi1.000001.221401.491821.822122.22554試分別用 Newton 前插值公式和 Newton 后插值公式計算 f 0.05 的近似值。分析：

20、 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣第 - 10 - 頁數(shù)值計算方法配套答案的同學(xué)可 自行解 答， 分別代 入 Newton 前插 值公 式和 Newton 后 插值公式可 得f 0.05 =1.05126.11. 若要給出f x cosx ，x 0, 的一張按等距步長h 分布的函數(shù)表，并按線性插值計算任何 x 0, 的 cosx 的值。問當(dāng) h 取多大才能保證其截斷誤差的絕對值不超過分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 的同學(xué)可自行解答，代入余項公式，即可求出 h 0.02 。12. 設(shè) f x c2n 在

21、邊界條件 f II 0 0.3， f II 3 3.3 下求三次樣條插值函數(shù) S X 。 a,b ，采用 Lagrange 插值余項的證明方法，證明：埃爾米特插值余項f 2n 2 2R x f x H 2n 1 x 2n 2 ! 2n 1 x 。分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 的同學(xué)可自行解答，將定理 2 代入余項公式即可求得，在此不做說明。13. 求不超過 3次的多項式 H x ，使其滿足 H 1 9，HI 1 15，H 1 1，H I 1 1。 分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 的同學(xué)可自

22、行解答， 設(shè)所求多項式為： H x a0 a1x a3x2 a3x分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 ，代入條件， 即可求得：H x x3 4x2 4x 。14. 求不超過 4 次的多項式 P X ，使其滿足 P 0 PI 0 0，P 1 PI 1 1，分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 的同學(xué)可自行解答，設(shè)所求多項式為分析 p x a0 a1x a2x2 a3x3 a4x第 - 11 - 頁 ， 代入條件，即可求得： p x 1x2 x 3 2 。15. 給定函數(shù)表xi0123f xi00.521

23、.51） 在邊界條件 f I 0 0.2， f I 3 1下求三次樣條插值函數(shù) S X ；數(shù)值計算方法配套答案的同學(xué)可自行解答，代入樣條插值函數(shù)公式，即可求得，在此不做說明。0.48x3 0.18x2 0.2 x, x 0,1 結(jié)果為：（1） s x1.04 x 13 1.25 x 1 2 1.28 x 1 0.5,x 1,2320.68 x 2 1.86 x 2 0.68 x 2 2.0,x 2,30.5x3 0.15x2 0.15x, x 0,132（2） s x1.2 x 1 1.35 x 1 1.35 x 1 0.5,x 1,2321.3 x 2 2.25 x 2 0.45 x 2 2

24、,x 2,3第 - 12 - 頁數(shù)值計算方法配套答案第三章 函數(shù)逼近及最小二乘法一 本章的學(xué)習(xí)要求（1）會用最小二乘法求擬合曲線。（2）會將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)。二 本章應(yīng)掌握的重點公式線性曲線擬合公式： nn0, 0 i 0 ti 0 t i ， 0, 11, 0 i 0 ti 1 ti ，i 0 i 0n1, 1 i 1 ti 1 t i ，i0 nn0,fi 0 ti yi， 1,fi 1 ti yi。i 0 i 0三 本章習(xí)題解析1. 設(shè) 0 x , 1 x n 1 x 是區(qū)間 0,1上帶權(quán) x x 的最高項系數(shù)為 1的正交多1項式序列，其中 x =1，求 x x dx 及 x 和

25、 x 。分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣1的同學(xué)可自行解答， 在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為：,k 020 x k x dx 2 ； 1 x x 判斷函數(shù) x =1， 1 x =x, ，3 ；0,k 035 101 ，在 1,1 上帶權(quán) x 1 正交，并求33 x 使其在-1， 1上帶權(quán)x 1與 x ， x ， x 正交。分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 的同學(xué)可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為：x3 3x。5第 - 13 - 頁數(shù)值計算方法配套答案3. 證明：若函數(shù)組 0 x , 1 xn 1 x

26、 是在 a,b上帶權(quán)x 正交的函數(shù)組，則0 x , 1 x n1 x 必然是線性無關(guān)的函數(shù)組。分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 的同學(xué)可自行證明。4. 已知點列 x0 2 ， x1 1， x2 0 ， x3 1 ， x4 2 及權(quán)函數(shù) x0 0.5，x1x2x3 1， x4 1.5 ，利用公式（ 47）和（48）構(gòu)造對應(yīng)的正交多項式 p0 x ,p1 x ,p2 x 。分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣 的同學(xué)可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為： p x 1， p x x 2 ， p2 xx 4

27、 x 2 46 。2 115 5 155. 已知數(shù)據(jù)表xi01234yi1.003.856.509.3512.05求擬合這些數(shù)據(jù)的直線方程。解：設(shè)所要擬合的直線方程為： y a0 a1x ，這里 m 4，n 1， 0 x 1， 1 x x ，440, 0 i 0 xi 0 xi 5 ， 0, 1 1, 0 i 0 xi 1 xi 10， i 0 i0441, 1 i 1xi1xi30 ，0,fi 0xiyi32.75，i0 i 0f i xiy93.1 ，所以可得到以下方程組： 510a032.751, i 0 i 1 xii 1030a193.1解得： a0 1.03， a1 2.76，所以

28、所求方程為 y 1.03 2.76 x。6. 已知數(shù)據(jù)表xi12345678yi33455667求擬合這些數(shù)據(jù)的直線方程。解：設(shè)所要擬合的直線方程為： y a0 a1x ，這里 m 7 ，n 1 ， 0 x 1， 1 x x ，第 - 14 - 頁數(shù)值計算方法配套答案770, 0 i 0 i 0 xi 0 xi 8 ， 0, 1 1, 0 i 0 i 0 xi 1 xi 36，778, 36 a04136, 285 a12161, 1 i0 i 1 xi 1 xi 285， 0,f i 0 i 0 xi yi 41，7f i xi y 216 ，所以可得到以下方程組： 1, i 0 1 iy

29、2.22 0.95x 。解得： a0 2.22 ， a1 0.95，所以所求方程為：7. 某發(fā)射源的發(fā)射強度公式為 I I0e t ，現(xiàn)測得 I 與t的一組數(shù)據(jù)如下表ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56試用最小二乘法根據(jù)以上數(shù)據(jù)確定參數(shù)I 0和 的值。解：先將 I I0e t 線性化，即兩邊取以 10為底的對數(shù)，變?yōu)?lgI lgI 0 algex，設(shè) y lg ， A0 lgI0， A1 alg ，所以上式變?yōu)?y A0 A1x 。這里 m 7 ，n 1，70 x 1 ， 1 x x，代入公式得：0, 0 i 0 xi 0

30、 xi 8，i0770, 1 1, 0 i 0 xi1 xi 3.5， 1, 1 i 1 xi 1 xi2.03 ，i 0 i 0770, f i 0 xi yi 0.8638 ， 1,fi 1 xi yi 0.08062，0, i 0 0 i i 0所以可得到以下方程組 8, 3.5 A00.8638 ，解得： A0 0.08777 ，3.5,2.03 A10.08062 0A10.04618，相應(yīng)的 I 0 5.64,a 2.89。8. 試用最小二乘法根據(jù)以下數(shù)據(jù)表xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46求 y aebx 的最小二乘擬合曲線。

31、解：先將 y aebx線性化，即兩邊取以 10為底的對數(shù)，變?yōu)閘g y lg blgex，設(shè) y lgy，A0 lg ，A1 blg e ，所以原式變?yōu)椋?y A0 A1 x 。這里 m 4 ，n 1， x 1，第 - 15 - 頁數(shù)值計算方法配套答案41 x x，代入公式得 0, 0 i 0 xi 0 xi5 ，i0440, 1 1, 0 i 0 i 0xi1xi7.5，1, 1 i 0 i 1xi1xi11.875 ，470,f i 0 xi yi 33.33 ，1,fi 1 xi yi 51.2275，i 0 i 0所以可以得到以下方程組：A1 1.972 ，代回求得，5, 7.5A03

32、3.33 ，解得： A0 3.708 ，7.5,11.875 A151.2275a 3.071 , b 0.5056 ,故方程為 y 3.071e0.5056x 。9. 用最小二乘法求形如 y a bx2的經(jīng)驗公式，使它擬合以下數(shù)據(jù)。xi1925313844yi19.032.349.073.397.8解：先將 y a bx2線性化，設(shè) X x2 ，則原式變?yōu)?y a bX ，這里 m 4， n 1，40 x1 ， 1 xx，代入公式得0, 0 i 0 xi0 xi5，i0 440, 1 1, 0 i 0 xi 1 xi5327， 1, 1 i 1 xi 1 xi 7277699 ，i 0 i

33、0440, f i 0 xi yi 271.4， 1, 1 i 1 xi1 xi 369321.5，i 0 i 0所以可以得到以下方程組：5, 5327a 271.45327,7277699 b369321.5解得： a 0.05004 ， b 0.97258 ，所求方程為：2y 0.97258 0.05004x2 。第 - 16 - 頁數(shù)值計算方法配套答案第四章 數(shù)值積分和數(shù)值微分本章的學(xué)習(xí)要求（1）會求各種插值型求積公式。（2）會應(yīng)用求積公式分析代數(shù)精度。（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其誤差余項。（4）掌握復(fù)化梯形公式，復(fù)化辛甫生公式及其誤差余項。二 本章應(yīng)掌握的重點公式1）梯形公式：f

34、 x dxba22）辛甫生公式：b b aa f x dx b6a f a 4fa2b3）復(fù)化梯形公式：Tn h2 f a 4k 1 f xk f b 。4）復(fù)化辛甫生公式：h n 1 nSn h2 f a 2 f xk 4 f xk 1 f b 。II5）梯形公式的誤差余項： RT x f b a 3 。 a,bT 126）復(fù)化梯形公式的誤差余項：RT x b ah2 f II 。 a,b12三 本章習(xí)題解析1. 用復(fù)化梯形公式和復(fù)化 Simpson 公式計算下列積分。1）1 x 2dx, 取 n 8 ； (2) 6 4 sin2 xdx ，取 n 6解：（1）代入復(fù)化梯形公式可得T 8 1

35、16 f 0 k 1 f xk f 1 =0.1114024，（2）代入梯復(fù)化形公式可得：5T6 72 f 0 k1 f x6 f=1.03562，6同理，分別代入復(fù)化 Simpson 公式可得： S8 0.1115724， S6 1.03577 。第 - 17 - 頁數(shù)值計算方法配套答案2. 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所構(gòu)造的求積公式所具 有的代數(shù)精度。h（1） h f x dx A0f h A1f 0 A2f h1（2） 0 f x dx A0f 0 A1f x1 A2f 12h（3） 2h f x dx A0f h A1f 0 A2f hh（4） h f x

36、 dx A0f h A1f x12h A0 A1 A2 解：（1）設(shè) f x 1，x，x2 ，求積公式準(zhǔn)確成立， 代入（1）式可得： 0 A0 h 1A h22 3 2 3h3 A0 A2 h214解得： A0 A2h， A1h ，33h141代入原式整理得： f x dx h f h h f 0 h f h ，h3334對于 f x x3 ，代入上式驗證，左邊 = 右邊，繼續(xù)令 f x x ，代入上式驗證， 左邊 右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有 3 次代數(shù)精度。2 1 A0 A1 A2（2）設(shè) f x 1， x， x 2 ，求積公式準(zhǔn)確成立，代入（ 2）式可得： 12 A0 x A2123 A

37、1x 2A21 21解得： A0 A2 1，A1 2，x1 1 ，6321121 1代入原式整理得： f x dx f 0 f f 1 ，0632 6對于 f x x3 ，代入上式驗證，左邊 =右邊，繼續(xù)令 f x x4 ，代入上式驗證，左 邊 右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有 3 次代數(shù)精度。4h A0 A1 A223）設(shè) f x 1，x，x2 ，求積公式準(zhǔn)確成立， 代入（3）式可得： 0A0 h A2 h16 h3 A0 A2 h23 0 2解得：A0 A2 83h，A1 34h，33第 - 18 - 頁數(shù)值計算方法配套答案代入原式整理得：2h8 482h f x dx 3h f h 3h f

38、 x1 3h f h ，對于 f x x3 ，代入上式驗證，左邊 =右邊，繼續(xù)令 f x x4 ，代入上式驗證， 左邊 右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有 3 次代數(shù)精度。2h A0 A14） 設(shè) f x 1， x ，求積公式準(zhǔn)確成立，代入（ 4）式可得 0 1 0 A0h A1x1解得： x1 h ， A0 h ， A1 2h，323代入原式整理得：f x dx h f h 3h f h ，h 2 2 323對于 f x x2 ，代入上式驗證，左邊 =右邊。繼續(xù)令 f x x3 ，代入上式驗證， 左邊 右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有 3 次代數(shù)精度。1 1 13. 證明： 0 f x dx 1 f

39、0 f 1 1 f I 1 f I 0 具有 3 次代數(shù)精度。 證明：當(dāng) f x 1 時，左邊 =1， 右邊 = 1 1 1 1 0 0 1 ，左邊 =右邊。2 12當(dāng) f x x 時，左邊 = ， 右邊 = 1 0 1 1 1 1 1 ，左邊 = 右邊。2 2 12 2當(dāng) f x x2 時，1 1 1 1左邊 = ， 右邊= 1 0 1 1 2 0 1，左邊 =右邊。3 2 12 3當(dāng) f x x3 時，11左邊 = ， 右邊 = ，左邊 =右邊。44當(dāng) f x x4 時，11左邊 = ， 右邊= ， 左邊 右邊 。56故所求積公式具有 3 次代數(shù)精度。4. 用復(fù)化 Simpson 公式 S

40、n 計算積分 2 sin xdx ，要使誤差不超過 1 10 5 ，問應(yīng)將區(qū)間02第 - 19 - 頁數(shù)值計算方法配套答案0, 分為多少等份？若改用復(fù)化梯形公式時，要達到同樣精度問應(yīng)將區(qū)間2為多少等份？解：復(fù)化 Simpson 公式的余項的絕對值為：Rs fb a h 4180 2 f由此可將原問題轉(zhuǎn)5.解：6.解：化為 Rs f21804n 0 x 2同理若應(yīng)用復(fù)化梯形公式，則有max sinx592160n4 21 10 5解得： n 6。Rt fb a 2122 II h f II02122n o x 2max sin x 12 10 5解得： n 255。1求積公式 0 f xdx A

41、0f 0 A1f 1 A2fI 0 ，已知其余項表達式為R f kf III。試確定求積公式中的待定參數(shù) A0 ， A1， A2，使其代數(shù)精度盡量高，并指出求積公式所具有的代數(shù)精度及余項表達式。設(shè) f x 1， x， x2 求積公式準(zhǔn)確成立，代入原式可得：1 A0 A1 A212 0 A1 A213 A1解得：211A0 3，A1 3， A2 6，所以原式變?yōu)椋篸x11 當(dāng) f x x3 時，代入原式，左邊 = ，右邊 = ，左邊 右邊，43III III 1 由題意知誤差為 1 1 k f 且 f x 3! 6 ，所以求得 k 1 ，1f III 為所求，上式求積公式具有 3 次代數(shù)精度。3

42、若用復(fù)化 Simpson 公式計算 ex sin xdx，要使誤差不超過 10 6 ，問需要計算多少個節(jié)點上的函數(shù)值？f I x4ex sinx ，在這里取復(fù)化Simpson 公式余項的絕對值Rs fb180a h2第 - 20 - 頁數(shù)值計算方法配套答案進行放縮得：4Rs f2 1 max 4ex sin x 10 6，解得： n 26 。s 180 n 1 x 3代入已知條件得：4e sinRsf 3 1 2180 2n7. 推導(dǎo)下列三種矩形求積公式，其中 a,bb 1 I 2（1） a f xdx b a f a 2fI b a 2b 1 I 2（ 2） a f x dx b a f b

43、 21 f I b a（3） a f x dx b a f a2b 214f II b a證明：（ 1）將 f x 在 f a 處展開成一階泰勒公式，即： f x f a f I x ab b b I上式兩邊在 a,b 積分，得： a f x dx a f a dx a f I x a dxbI=f a b a a fI x adx，bb 這里我們應(yīng)用廣義積分中值定理： f x g x dx g f x dx， a,b ， aab I I b 于是上式中第二項就化簡為如下形式： f I x a dx f I x a dx ， aaa,b ，b 1 2積分整理得到： f x dx b a f a

44、 1 f I b a 。a2（ 2）將 f x 在 f b 處展開成一階泰勒公式，即： f x f b f I x b上式兩邊在 a,b 積分，得： f x dx f b dx f I x b dx a a abI= f b b a f I x b dx ，a上式中第二項應(yīng)用廣義積分中值定理化簡代入即可得：b 1 I 2f x dx b a f b 1 f I b a 。a2（ 3）將 f x 在 f a b 處展開成二階泰勒公式，即：2a2b f I a2b x a2b fII2! x a2b 2第 - 21 - 頁數(shù)值計算方法配套答案上式兩邊在 a,b 積分得：b b a ba f x d

45、x a f a2bxbIIf I a2b x a2b dx ab f 2 ！x a2b22dx ，bb由廣義積分中值定理 f x g x dx g f x dx ， a,b ，aa代入上式第三項化簡，然后對上式整體積分即可得：a f x dx b a f a2b 214 f IIb a 。38. 對積分 f x dx 構(gòu)造一個至少具有三次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式。解：將 0,3 三等分，即取節(jié)點 0，1， 2，3.構(gòu)造求積公式：3 2 30 f x dxA0f0A1f1A2f2A3f3 ，令 f x=1，x ，x2，x3求積公 式準(zhǔn)確成立，代入公式得：3 A0 A1 A2 A32 0 A1 2A

46、2 3A32 解得：273 0 A1 4A2 9A381841 0 A1 8A2 27A33A0 89A1 89A2 83A3 89.所以所構(gòu)造的求積公式至少具有三次代數(shù)精度，即：3 3 9 9 33 9 9 f 2 38 f 3 。1 2 x 用高斯 -勒讓德求積公式，取 n=2 計算定積分 0 x2exdx 。390 f x dx 83 f 0 89 f 1分析： 基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習(xí)題結(jié)果，有興趣的同學(xué)可自行解答， 代入高斯勒讓德求積公式：bna Q x dxAKQ xk 即可求出：a k 00 x2exdx 0.7119418 。10. 用龍貝格

47、求積公式計算定積分031dx 。 x解：代入復(fù)化梯形遞推化公式，求得：T1321 f 1 f 334 ，1 3 1 4T2 12T1 321 f 1.5 43，T4112T341 f 43 f 49194，第 - 22 - 頁數(shù)值計算方法配套答案1 3 1 3T8 12T 4 381 f 3898 f 185 f 2815319754 1 12 ，S1 3T 2 3T 1 9 ， S252 ， 4 1 1898 ，2 27 ，S4 3T8 3T 4 945 ，C116 1 796 ， 16 1 28548 ， 15S2 15S1 405 C2 15S4 15 S2 141752.0147386

48、7 。63 1 1799212R1 64C 2 64C1 89302511. 若 f II x 0幾何意義。II，證明用梯形公式計算積分bf x dx 所得的結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其證明：已知梯形公式為由已知 f II x 0 及余項公式3RT fb12a f 0 ，也就是In I 造成結(jié)果比準(zhǔn)確值大。幾何意義：由 f II x 0 可知曲線為向下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。第 - 23 - 頁數(shù)值計算方法配套答案第五章 常微分方程的數(shù)值解法一 本章的學(xué)習(xí)要求（1）能夠熟練的應(yīng)用歐拉公式求初值問題。（ 2）掌握龍格庫塔方法。二 本章應(yīng)掌握的重點公式（1）歐拉公式： yn 1 yn hf

49、xn,yn 。（2）后退的歐拉公式： yn1 yn hf xn1,yn1 。（3）梯形公式： yn 1 yn h2 f xn,yn f xn 1,yn1 。 三 本章習(xí)題解析改進的歐拉1. 對初值問題 y y 0 ，在 0,1 區(qū)間內(nèi)取步長 h 0.1 ，分別用歐拉公式、 y 0 1公式及經(jīng)典的四階 Runge-Kutta 公式作數(shù)值計算。解：（1）由歐拉公式可知： yn 1 yn hf xn, yn yn 0.1yn =0.9y2）由改進的歐拉公式可知：yp yn hf xn, ynyc yn hf xn 1,ypyn 1 21 yp yc將已知代入化簡可得：yp yn 0.1yn 0.9yn， yc yn 0.1 yp 0.91yn ，yn10.9y 0.91y = 0.905 y 。第 - 24 - 頁數(shù)值計算方法配套答案3）由經(jīng)典的四階 Runge-Kutta 公式可知：k1 f xn,yn hh k2 f xn 2,yn 2k1 hh k3 f xn 2,yn 2k2公式為：yn1ynh6k12k22k3k4記為( 1)，所以有：k1yn，k4 f xn h,yn hk3k2yn 0.05yn， k3yn 0.05yn 0.0025yn ，k4yn 0.1 yn 0.05yn 0.0025yn ，代入到（ 1）得：yn 1