(完整版)2013年高考理科數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷2試題與答案word解析版

1、 2013 年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國新課標(biāo)卷 ii)第卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1(2013 課標(biāo)全國，理 1)已知集合mx|(x1) 4，xr，n1,0,1,2,3，則mn()2a0,1,22(2013 課標(biāo)全國，理 2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則z(a1i b1i c1i d1i3(2013 課標(biāo)全國，理 3)等比數(shù)列a的前n項和為s.已知sa10a，a9，則a(b1,0,1,2c1,0,2,3d0,1,2,3)nn321511111-a3b3c9d94(2013 課標(biāo)全國，理 4

2、)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l ，l ，則( )a 且 lc 與 相交，且交線垂直于 lb 且 ld 與 相交，且交線平行于 l5(2013 課標(biāo)全國，理 5)已知(1a x)(1x) 的展開式中x 的系數(shù)為5，則a()52a46(2013 課標(biāo)全國，理 6)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的 n10，那么輸出的 s( )b3c2d11 11+ + +l +12 310abc1 11+ + +l +12! 3!10!1 11+ + +l +2 31111 11+ + +l +2! 3!111!d7(2013 課標(biāo)全國，理 7)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系oxy

3、z中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zox平面為投影面，則得到的正視圖可以為( )8(2013 課標(biāo)全國，理 8)設(shè)alog 6，blog 10，clog 14，則()3572013 全國新課標(biāo)卷2 理科數(shù)學(xué) 第1頁 acbabbcacacbdabc1, x+ y 3,9(2013 課標(biāo)全國，理 9)已知a0，x，y滿足約束條件x若z2xy的最小值為 1，則y a(x -3).a()11a4b2c1d210(2013 課標(biāo)全國，理 10)已知函數(shù)f(x)xaxbxc，下列結(jié)論中錯誤的是()32$a x0r，f(x0)0

4、b函數(shù) yf(x)的圖像是中心對稱圖形c若 x0 是 f(x)的極小值點，則 f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減d若 x0 是 f(x)的極值點，則 f(x0)011(2013 課標(biāo)全國，理 11)設(shè)拋物線c：y2p x(p0)的焦點為f，點m在c上，|mf|5，若以mf為2直徑的圓過點(0,2)，則c的方程為()ay24x 或 y28xcy24x 或 y216xby22x 或 y28xdy22x 或 y216x12(2013 課標(biāo)全國，理 12)已知點a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直線yaxb(a0)將abc分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是( )2 1,2 22 11- ,

5、1 1,3 21-2 3cda(0,1)b第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第 13 題第 21 題為必考題，每個試題考生都必須做答。第 22 題第24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分uuur uuur13(2013 課標(biāo)全國，理 13)已知正方形abcd的邊長為 2，e為cd的中點，則ae bd_.14(2013 課標(biāo)全國，理 14)從n個正整數(shù) 1,2，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之1和等于 5 的概率為 ，則n_.14 1tan +=15(2013課標(biāo)全國，理 15)設(shè)為第二象限角，若q2 ，則sincos_.416(2013 課標(biāo)

6、全國，理 16)等差數(shù)列a的前n項和為 s，已知s 0，s 25，則ns 的最小值nn1015n為_三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(2013 課標(biāo)全國，理 17)(本小題滿分 12 分)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；(2)若b2，求abc面積的最大值2013 全國新課標(biāo)卷2 理科數(shù)學(xué) 第2頁 18(2013 課標(biāo)全國，理 18)(本小題滿分 12 分)如圖，直三棱柱abcabc 中，d，e分別是ab，bb 的11112中點，aaaccbab.21(1)證明：bc平面a cd；11(2)求二面角dace的正弦值1

7、19(2013 課標(biāo)全國，理 19)(本小題滿分 12 分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出 1 t該產(chǎn)品獲利潤 500 元，未售出的產(chǎn)品，每 1 t 虧損 300 元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了 130 t 該農(nóng)產(chǎn)品以x(單位：t,100x150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，t(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將t表示為x的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤t不少于 57 000 元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量

8、取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量x100,110)，則取 x105，且 x105 的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求t的數(shù)學(xué)期望2013 全國新課標(biāo)卷2 理科數(shù)學(xué) 第3頁 x2y2+ =120(2013 課標(biāo)全國，理 20)(本小題滿分 12 分)平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，過橢圓 m：(aba2b21交 于 ， 兩點， 為 的中點，且 的斜率為 .+ y - 3 = 0 m a b0)右焦點的直線 xp abop2(1)求 m 的方程；(2)c，d 為 m 上兩點，若四邊形 acbd的對角線 cdab，求四邊形 acbd面積的最大值21(2013 課標(biāo)全國，理 21)(本小

9、題滿分 12 分)已知函數(shù) f(x)exln(xm)(1)設(shè) x0 是 f(x)的極值點，求 m，并討論 f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng) m2 時，證明 f(x)0.2013 全國新課標(biāo)卷 2 理科數(shù)學(xué) 第4頁 請考生在第 22、23、24 題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號22(2013 課標(biāo)全國，理 22)(本小題滿分 10 分)選修 41：幾何證明選講如圖，cd 為abc 外接圓的切線，ab 的延長線交直線 cd 于點 d，e，f 分別為弦 ab 與弦 ac 上的點，且 bcaedcaf，b，e，f，c 四點共圓(1)證明：ca 是abc 外接圓的直徑；(2

10、)若 dbbeea，求過 b，e，f，c 四點的圓的面積與abc 外接圓面積的比值23(2013 課標(biāo)全國，理 23)(本小題滿分 10 分)選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程2cos t, =x已知動點 p，q 都在曲線 c： (t 為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為 t 與 t2(02)，y = 2sin tm 為 pq 的中點(1)求 m 的軌跡的參數(shù)方程；(2)將 m 到坐標(biāo)原點的距離 d 表示為 的函數(shù)，并判斷 m 的軌跡是否過坐標(biāo)原點2013 全國新課標(biāo)卷 2 理科數(shù)學(xué) 第5頁 24(2013 課標(biāo)全國，理 24)(本小題滿分 10 分)選修 45：不等式選講設(shè) a，b，c 均為正數(shù)，且 abc

11、1，證明：1(1)abbcac ；3a b c2 2 2+ + 1b c a(2).2013 全國新課標(biāo)卷 2 理科數(shù)學(xué) 第6頁 2013 年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國新課標(biāo)卷 ii)第卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1答案：a解析：解不等式(x1) 4，得1x3，即 mx|1x3而 n1,0,1,2,3，所以 mn20,1,2，故選 a.2答案：a2i2i(1+ i)-2 + 2i解析： z=1i.1-i (1-i)(1+ i)23答案：c解析：設(shè)數(shù)列a 的公比為 q，若 q1，則由 a 9，得

12、a 9，此時 s 27，而 a 10a 99，不滿足題n51321意，因此 q1.a (1- q)3q1 時，s a q10a ，11- q3111- q3q10，整理得 q 9.21- q1a a q 9，即 81a 9，a .4951114答案：d解析：因為 m，lm，l ，所以 l.同理可得 l.又因為 m，n 為異面直線，所以 與 相交，且 l 平行于它們的交線故選 d.5答案：d5cr5xr2c xc x解析：因為(1x) 的二項展開式的通項為(0r5，rz)，則含 x 的項為ax(10252155a)x ，所以 105a5，a1.26答案：b解析：由程序框圖知，當(dāng) k1，s0，t1

13、 時，t1，s1；11當(dāng) k2 時，t = ， s=1+；22111=s =1+ +當(dāng) k3 時，t，；232 231111當(dāng) k4 時，t =， s =1+ +；2342 23 23411 11=s =1+ + +l +當(dāng) k10 時，t，k 增加 1 變?yōu)?11，滿足 kn，輸出 s，234l 102! 3!10!所以 b 正確7答案：a解析：如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系 oxyz 的圖像為下圖：2013 全國新課標(biāo)卷 2 理科數(shù)學(xué) 第7頁 則它在平面zox上的投影即正視圖為8答案：d，故選 a.lg6lg2=1+ lg3 ，b =lg10lg5lg2lg14lg7lg2解析：根據(jù)公

14、式變形，a =1+ lg5 ，c =1+lg7 ，因為 lg 7lg 5lg3lg2 lg2 lg2時 ，f(n)0,0nn =時 ，f(n)0，所以當(dāng)當(dāng) n時，f(n)取最小值，而 nn ，則 f(6)3348，f(7)49，所以當(dāng) n7 時，f(n)取最小值49.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17解：(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin b又 a(bc)，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c由，和 c(0，)得 sin bcos b，=又 b(0，)，所以 b.412= acsin b =ac(2)abc的

15、面積 s.24由已知及余弦定理得 4a c .222accos44又 a c 2ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng) ac 時，等號成立222 - 2因此abc 面積的最大值為 2+1 .18解：(1)連結(jié) ac 交 a c 于點 f，則 f 為 ac 中點111又 d 是 ab 中點，連結(jié) df，則 bc df.1因為 df 平面 a cd，bc 平面 a cd，111所以 bc 平面 a cd.112(2)由 accbab 得，acbc.2uuur以 c 為坐標(biāo)原點，ca 的方向為 x 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系cxyz.uuruuuuruuur設(shè) ca2，則 d(1,1,0)，e(0,2,

16、1)，a (2,0,2)，cd (1,1,0)，ce (0,2,1)，ca (2,0,2)11設(shè) n(x ，y ，z )是平面 a cd 的法向量，uuur110,11x + y = 0,nncd =uuurca = 0, 則 即 112x + 2z = 0.111可取 n(1，1，1)同理，設(shè) m 是平面 a ce 的法向量，uuurce = 0,uuur1mm則 可取 m(2,1，2)ca = 0,1nm3=從而 cosn，m，| n | m | 36故 sinn，m.32013 全國新課標(biāo)卷 2 理科數(shù)學(xué) 第10頁 6即二面角dace的正弦值為.3119解：(1)當(dāng)x100,130)時，

17、t500x300(130x)800x39 000，當(dāng)x130,150時，t50013065 000.800x -39000,100 x 130,=所以t 65000,130 x 150.(2)由(1)知利潤t不少于 57 000 元當(dāng)且僅當(dāng) 120x150.由直方圖知需求量x120,150的頻率為 0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤t不少于 57 000 元的概率的估計值為 0.7.(3)依題意可得t的分布列為tp45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.4所以et45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.20解：(1)設(shè)

18、a(x，y)，b(x，y)，p(x，y)，11x2200xyyy - y21222+a2 b2=1，+a2 b2=1，= -1，1則1222x2- x1b (x + x )y - y2= -=1.1由此可得212a ( y + y )x - x2212112 ，y=因為xx2x，yy2y，0120120x0所以a2b.22又由題意知，m的右焦點為( 3 ，0)，故ab3.22因此a6，b3.22所以m的方程為x2y2+ =1.6 3x + y - 3 = 0,(2)由x2y2+ =1, 6 34 33x =,x =0,解得或 = 3.y3y = - ,34 6因此|ab|.3由題意可設(shè)直線cd

19、的方程為 n 3，5 33+ n -yx 設(shè)c(x，y)，d(x，y)3344y = x + n,由得3x4nx2n60.2 2x2y2+ =1 6 32013 全國新課標(biāo)卷2 理科數(shù)學(xué) 第11頁 -2n 2(9 - n )2于是 x 3,4.3因為直線 cd 的斜率為 1，432 | x - x |=9 - n2 .所以|cd|4318 69s = | cd | ab |=9 - n2 .由已知，四邊形 acbd的面積28 6當(dāng) n0 時，s 取得最大值，最大值為.38 6所以四邊形 acbd面積的最大值為.3211e -解：(1)f(x).xx + m由 x0 是 f(x)的極值點得 f(

20、0)0，所以 m1.1e -于是 f(x)exln(x1)，定義域為(1，)，f(x).xx +11e -函數(shù) f(x)在(1，)單調(diào)遞增，且 f(0)0.xx +1因此當(dāng) x(1,0)時，f(x)0；當(dāng) x(0，)時，f(x)0.所以 f(x)在(1,0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增(2)當(dāng) m2，x(m，)時，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當(dāng) m2 時，f(x)0.1e -當(dāng) m2 時，函數(shù) f(x)在(2，)單調(diào)遞增xx + 2又 f(1)0，f(0)0，故 f(x)0 在(2，)有唯一實根 x ，且 x (1,0)00當(dāng) x(2，x )時，f(x)0；0當(dāng) x(x ，)時，f(x)0，從而當(dāng) xx 時，f(x)取得最小值001由 f(x )0 得e x ，ln(x 2)x ，0x+ 200001( +1)x02故 f(x)f(x )x 0.x+ 20x0+ 200綜上，當(dāng) m2 時，f(x)0.請考生在第 22、23、24 題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號22解：(1)因為 cd 為abc 外接