(完整版)勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題

1、 1勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題1. 勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、b 的平方和等于斜邊 c 的平方。（即：a +b =c ）222勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)： a、b、c 有關(guān)系 a +b =c ，那么這個(gè)222三角形是直角三角形。2. 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如： c ，但不要認(rèn)為最大邊一定是 c ）（2）驗(yàn)證 c 與 a +b 是否具有相等關(guān)系，若 c =a

2、+b ，則 abc 是以 c 為直角222222的三角形。（若 c a +b 則abc 是以 c 為鈍角的三角形，若 c a +b 則abc222222是以 c 為銳角三角形）二、例題分析例 1、若直角三角形兩直角邊的比是 3：4，斜邊長(zhǎng)是 20，求此直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x，4x，根據(jù)題意得：（3x） + （4x） =20222化簡(jiǎn)得 x =16 ；21直角三角形的面積 = 3x4x=6 x =9622注：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。例 2、等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2，求它的面積。a解：如圖，等邊 abc ，作 ad

3、bc 于 d1則：bd=bc （等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）2bcdab=ac=bc=2 （等邊三角形各邊都相等）bd=1在直角三角形 abd 中 ab =ad +bd ，即： ad =ab bd =4 1=3222222ad= 31s= bcad= 3abc2 23注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為 a，則其面積為a4例 、直角三角形周長(zhǎng)為 12 ，斜邊長(zhǎng)為 5 ，求直角三角形的面積。3cmcm解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 ， ，根據(jù)題意得：x yx + y +5 = 12 (1)x + y = 5(2)222由（1）得： + =7，x y（ + ） =49， +

4、2 + =49x y(3)2x2 xy y2(3)(2)，得：xy=12121直角三角形的面積是= 12=6（cm2）xy2例 、在銳角abc 中，已知其兩邊 =1， =3，求第三邊的變化范圍。4ab分析 ：顯然第三邊 + ，但這只是能保證三條邊能組成一個(gè)三角形，卻b a c b a不能保證它一定是一個(gè)銳角三角形，為此，先求aabc 為直角三角形時(shí)第三邊的值。ac解：設(shè)第三邊為 ，并設(shè)abc 是直角三角形c33當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)， c =b +a ，c= 10222當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊一定是 b，b1b2=a2+c2， =2 2 （即 8 ）cabc 為銳角三角形所以點(diǎn) a 應(yīng)當(dāng)繞著點(diǎn) b

5、 旋轉(zhuǎn)，使abc 成為銳角（如圖），但當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn) a 位置時(shí)acb2成為直角。故點(diǎn) a 應(yīng)當(dāng)在 a 和 a 間移動(dòng)，此時(shí) 2 2 ac 1012注：此題易忽視或中一種情況，因?yàn)榧僭O(shè)中并沒(méi)有明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要考慮。例 、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（5）a、8，15，17b、4，5，6 c、5，8，10d、8，39，40此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2 a2 b2= + 的變形： = =（ ）（ + ）來(lái)判斷。例如：對(duì)于選擇支 d，8 （40+39）（40b2 c2 a2c a c a239），以 8，39，40 為邊長(zhǎng)不能組成直角三

6、角形。答案：a例 、四邊形 abcd 中，b=90，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求四邊形 abcd6 3的面積。解：連結(jié) acb=90，ab=3，bc=4cac =ab +bc =25（勾股定理）222ac=5bac +cd =169，ad =169222ac +cd =ad222daacd=90（勾股定理逆定理）11sabcd=sabc+sacd= ab bc+ ac cd=3622四邊形本題是一個(gè)典型的勾股定理及其逆定理的應(yīng)用題。例 7、若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是 +1， +2， +3，求 。nnnn分析：首先要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng) +3，然后利用勾股定理列方程求解。n解

7、：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 +3，由勾股定理可得：n（ +1） +（ +2） =（ +3）2n2n2n化簡(jiǎn)得： =4n2 =2，但當(dāng) n=2 時(shí)，n+1=10，n=2n三、練習(xí)題1、等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為 4 和 2，則底邊上的高是 _，面積是_。2、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)偶數(shù)，則它的各邊長(zhǎng)為 _。3、一個(gè)直角三角形一條直角邊為 16cm，它所對(duì)的角為 60，則斜邊上的高為 _。11 1 14、四個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是 3，4，5 4，7，8 7,24,253 ,4 ,5 其中是直角22 2 2三角形的是（a、）b、c、d、5、如果線段 a、b、c 能組成直角三角形，則它們的比可以是（a、1：

8、2：4 b、?。?：5 c、3：4：7 d、5：12：13）6、已知：如圖，四邊形 abcd 中，ab=20，bc=15，cd=7，ad=24，b=90，求證：a+c=180。dcba 47、已知直角三角形中，兩邊的長(zhǎng)為 3、4，求第三邊長(zhǎng)。8、abc 中，c=90，a=5，cb=1，求 b，c 的長(zhǎng)。9、如圖：abc 中，ad 是角平分線， ad=bd，ab=2ac。求證：acb 是直角三角形。acdb三、練習(xí)題解答1、 15 ， 152、6，8，103、8cm4、ddc5、d6、本題類似于例 6，需連結(jié) ac 證出acd 也是直角三角形，從而1+2=90，3+4=90，dab+dcb=180ba 57、解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為 x,當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)： x =3 +4 =25，即 x=5222當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊長(zhǎng)為 4：x =4 3 ，即 x=72228、此題類似于例 3 = - = ( + )( - ) = 25 c + b = 25 c = 13c b c ba2c2b2解：根據(jù)題意得： c - b = 1- b = 1b = 12 c9、證明：作 deab 于 ead=bd,deab2ae=