高中物理競賽_話題10：運動模型——平拋和斜拋運動

1、話題10：運動模型平拋和斜拋運動將質(zhì)點以和水平方向成某一角度的初速度投射出去，在不考慮空氣阻力的情況下，質(zhì)點的運動就是拋體運動。當(dāng)時，質(zhì)點在豎直線上做直線運動，可利用勻變速直線運動規(guī)律來求解；當(dāng)時，質(zhì)點做平拋運動，當(dāng)時，質(zhì)點做斜拋運動。其中平拋運動與斜拋運動的軌跡均為拋物線。這里我們討論的拋體運動就是指平拋和斜拋運動。一、平拋運動 平拋運動可看成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體兩個分運動的合成，落地時間由豎直方向分運動決定。二、斜拋運動斜拋運動分斜上拋和斜下拋(由初速度方向確定)兩種，下面以斜上拋運動為例討論。1特點：加速度，方向豎直向下，初速度方向與水平方向成一夾角斜向上，為豎直上

2、拋或豎直下拋，為平拋運動。2常見的處理方法：(1)分解為水平方向的勻速運動和豎直方向的勻變速運動。以拋出點為坐標(biāo)原點，初速度的水平投影方向為軸正方向，豎直向上為軸正方向，則有位移方程： 速度方程： 分析斜拋運動時還常用到下列結(jié)論：斜向上運動時間與斜向下運動時間(從最高點回到與拋出點等高位置的時間)相等，均為，斜上拋運動回到與拋出點等高位置總時間為。斜上拋運動的水平射程為，故當(dāng)拋射角為時水平射程最遠(yuǎn)。c斜上拋運動的軌跡方程為，由此方程可知，其軌跡為拋物線，該拋物線頂點為。(2)將斜拋運動分解為沿初速度方向的勻速運動和豎直方向的自由落體兩個分運動，再用矢量合成的方法求解。(3)將斜拋運動分解為沿某

3、一斜面(傾斜直線，與運動軌跡在同一平面內(nèi))方向和垂直于該斜面方向的兩個勻變速運動，此時須將初速度和加速度都進(jìn)行正交分解，再分別用運動學(xué)公式求解。以上處理斜上拋運動的方法，也同樣適用于平拋和斜下拋運動，還可進(jìn)一步推廣到其它恒力作用下(加速度恒定)質(zhì)點做曲線運動的情形。不難看出，任何質(zhì)點在恒力作用下的運動可分為兩種情形：a.若加速度與初速度方向在同一直線上，則質(zhì)點做勻變速直線運動，b.若加速度與初速度方向不在同一直線上，則質(zhì)點做類似拋體運動，其軌跡一定是拋物線。這種運動的求解通常是分解為兩個直線運動，即與斜拋處理方法類似。三、拋體運動中的對稱性例1：從高處的一點先后平拋兩個小球和，球恰好直接過豎直

4、擋板落到水平地面上的點，球則與地面碰撞一次后也恰好越過豎直擋板，然后也落點.如圖所示.設(shè)球與地面的碰撞類似光的反射，且反彈前后的速度大小相同.求豎直擋板的高度.若球與地碰次后恰好越過檔板也落于點，則的高度又如何？解析：這是一個典型的拋體問題.在拋體中恰當(dāng)?shù)剡\用對稱性，可得巧解.球的落地時間，而球應(yīng)為，故球的初速度應(yīng)為球的倍.若球達(dá)點的時間為，則球達(dá)點的時間應(yīng)為.當(dāng)球達(dá)點時，球達(dá)與點等高的點，而點至與至點 由對稱性可知應(yīng)相等.設(shè)所需時間為，則，得.于是可以看出應(yīng)為球在第一次落地前的中點時刻，故豎直高度應(yīng)被分成兩部分，所以擋板高. 若球與地碰次后越過檔板，落于點，則球落的地時間仍為，球的落地時間應(yīng)

5、為.故若球達(dá)點的時間為，則球達(dá)點的時間應(yīng)為 .球達(dá)時，球到達(dá)與之等高的點.設(shè)由至地的時間為，則由對稱性可畫出圖. 對球在豎直方向的分運動列式，有例2如圖所示，一小球以初速從高的墻上端水平射出，在距墻為處，有一長的豎直板與墻面平行，板的下端地高，為使小球能擊中地面上的點，則為多大?已知：點與墻角點的距離，且小球在與墻和板的碰撞中能量均不損失. 解小球與墻和板的碰撞能量不損失，故可根據(jù)鏡像原理將小球在墻與板之間的運動軌跡拓展成圖所示的拋物線設(shè)小球落地前共發(fā)生次碰撞圖中虛線表示各次碰撞時墻與板的拓展位置。小球落地所需時間與水平位移分別為,若小球最后一次是與墻發(fā)生碰撞，則為偶數(shù)，取有，故。小球在第次能

6、與板相碰的條件：，即，自然滿足。為使小球以后不會與板再次發(fā)生碰撞，則必須，即由式、可得，即。故可取,，,，即可取值：,。若小球最后一次是與板發(fā)生碰撞，則為奇數(shù)，取,有，即。為使小球最后一次能與板發(fā)生碰撞，則必須，即。由式、可得，即，故可取，即只能取一個值。綜合情況、，可知共可取以下個值：，,。四、勻加速直線運動+斜拋運動例3：有條邊長為的正方形薄板做成一個小屋，如圖所示.已知水滴沿屋頂從點流到點所需的時間為從點流到點所需的時間的倍.假定水滴從點以初速為零開始流下，試求水滴從點流到點所需的時間.解析：水滴從做勻加速直線運動，做斜下拋運動，豎直方向的分運動是豎直下拋運動. 由圖中的陰影三角形可得設(shè)

7、水滴從到的時間為，水滴沿的加速度為，則水滴經(jīng)過距離的時間為,上式為點末速度， 經(jīng)整理，可求得水滴經(jīng)所需時間加在一起，水滴經(jīng)距離所需時間為.五、拋體運動中的極值問題例4：在擲鉛球時，鉛球出手時距地面的高度為，若出手時的速度為，求以何角度擲球時，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？解析：本題既可通過建立直角從標(biāo)系，列出軌跡方程后求得極值，也可用位移矢量關(guān)系或速度矢量關(guān)系求，這里選擇位移矢量圖解法，其它方法可自行處理。將鉛球的運動分解為沿初速方向的勻速直線運動和豎直向下的自由落體運動，其位移分別為和，由圖可得：當(dāng)時，有極值，即有極值：。再將的數(shù)值代入，。注：上式表示，最佳投擲角不僅與有關(guān)，還與有關(guān)，且總是

8、小于，一般。同學(xué)們還可想一想，在什么條件下，當(dāng)時，斜上拋運動的水平射程最大。而若時，則當(dāng)，物體的水平射程最大。例5：一倉庫高、寬，在倉庫前某處點拋一石塊過屋頂，試問距倉庫前多遠(yuǎn)時，所需初速度最??？為多少？()解析：此題是初速與射程問題，但要求過一平頂障礙物，如圖所示建立坐標(biāo)系.要使最小，則要求石塊擦，兩點而過；而過段，可用通常的有關(guān)射程問題的方法解決.如圖，以兩點之間作射程，有。所以 可見當(dāng)時，有最小值，為 設(shè)此斜下拋的時間為，由位移公式有，整理得求得有效根為由此得到值為再求：，即與水平線夾角.例6：一個噴水池的噴頭以相同的速率噴出大量水射流，這些水射流以與地面成的所有角噴出，如圖所示.豎直射

9、流可高達(dá)，取，計算射流在水池中落點所覆蓋的圓的半徑.解析：題中所求實際上是水射流在范圍內(nèi)噴出中，以多大角度噴出的水射流的射程最遠(yuǎn).先求射流的出口速率.考慮豎直射流，它在加速度為的情況下升高.則.若一射流的初速度為，則所經(jīng)過的豎直位移的大小為.射流飛行時間為.飛行的水平距離為.上式可知，與角對應(yīng)的射流落地處，噴流最遠(yuǎn)，其最大半徑為.即射流落點所覆蓋的圓的半徑是.例7：在仰角的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽(如圖).運動員從坡上方點開始下滑.到起跳點時借助設(shè)備和技巧，保持在該點的速率而以與水平成角的方向起跳，最后落在坡上點，坡上兩點距離l為此項運動的記錄.已知點高于點.忽略各種阻力和摩擦，求最遠(yuǎn)可跳多少米

10、？此時起跳角為多少？解析：運動員起跳后落到坡上前做拋體運動，據(jù)此找到坡上兩點虎離與起跳角的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出其極值來. 建立坐標(biāo)系如圖.運動員在時，從點以速度起跳，的大小可由機械能守恒定律求得. 起跳后做斜返回運動，設(shè)時刻落到坡面處，則此時坐標(biāo)為.它們須滿足坡面方程 .由以上三方程解得.不合題意故知落地時刻為.而著地點的坐標(biāo)為.坡面距離與起跳角的關(guān)系為.由上可知，當(dāng)，即時，有最大值，即最佳起跳角為，最高記錄可達(dá).六、多次碰撞的拋體運動例8：彈性小球從高處自由落下，落到與水平面成角的長斜面上，碰撞后以同樣大的速度反彈回來(1)求每個彈回點第一點和第二點，第二點和第三點，第點和第點間的距離，,.(

11、2)求當(dāng)斜面以勻速度沿豎直方向向上運動時的的數(shù)值.解 坐標(biāo)系選擇如圖所示，小球第一次碰斜面時速度大小，反彈后初速大小不變，其方向與軸為對稱的夾角方向，在、方向有令，得第一、第二次相碰時間間隔為代人后可求得 第二次碰撞瞬間碰后不變化 ,可見每相鄰兩次碰撞的時間間隔均為，則有第次碰后反彈時由此得(2) 當(dāng)斜面以勻速度沿豎直方向向上運動時,則球相對斜面速度大小為,用代替代入例9傾角為的一個光滑斜面，由斜面上一點通過斜面最大斜率的豎直平面內(nèi)斜上拋一個小球，初速為，拋出方向與斜面交角，。若小球與斜面的每次碰撞不消耗機械能，并且小球在第次與斜面相碰時正好回到拋射點。試求、滿足的關(guān)系式。若小球與斜面每次碰撞后，與斜面垂直的速度分量滿足：碰后的值是碰前值的倍，。并且小球在第次與斜面相碰時正好回到拋射點。試求、 和滿足的關(guān)系式。由，若其中第次與斜面相碰時，小球正好與斜面垂直相碰，試證明此時滿足關(guān)系式: 解畫出圖，并在圖中取定、軸。斜上拋小球，小球在斜面上多次碰撞，形成多條拋物線。小球在方向作多次來回運動，而在方向只有一次：由近到遠(yuǎn)，再回到原點。因此，方向可逐條拋物線討論，而方向可以統(tǒng)一討論。設(shè)為小球第次與斜面相碰的點，、是小球第次與斜面相碰后速度的、分量。加速度的、分量為,。所以由到所經(jīng)歷的時間滿足 取合理解，得到 由此式可以得到小球從點拋出開始，直到抵達(dá)