高中數(shù)學(xué)橢圓,知識(shí)題型總結(jié)

1、 陳氏優(yōu)學(xué)教學(xué)課題 橢圓 知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)()，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無圖形.講練結(jié)合一.橢圓的定義1若的兩個(gè)頂點(diǎn)，的周長為，則頂點(diǎn)的軌跡方程是 知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)

2、，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，。講練結(jié)合二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)1橢圓的焦距為，則= 。2橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么 。知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時(shí)換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=a和y=b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b。（3）頂點(diǎn)橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓（ab0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為a1（a，0），a2（a，0

3、），b1（0，b），b2（0，b）。線段a1a2，b1b2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|a1a2|=2a，|b1b2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；知識(shí)點(diǎn)四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性

4、質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，軸長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。題型一 橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用定理 y f1 o f2 xpp在橢圓（0）中，焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)p是橢圓上任意一點(diǎn)，則.證明：記，由橢圓的第一定義得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.典題妙解例1 若p是橢圓上的一點(diǎn)，、是其焦點(diǎn)，且，求的面積.解法一：在橢圓中，而記點(diǎn)p在橢圓上，由橢圓的第一定義得：在中，由余弦定理得：配方，得：

5、從而解法二：在橢圓中，而解法一復(fù)雜繁冗，運(yùn)算量大，解法二簡(jiǎn)捷明了，兩個(gè)解法的優(yōu)劣立現(xiàn)！例2 已知p是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）a. b. c. d. 解：設(shè)，則，故選答案a.練習(xí)6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，p為橢圓上一點(diǎn)，且， 的面積是，準(zhǔn)線方程為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案6解：設(shè)，.，.又，即.或.當(dāng)時(shí)，這時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)時(shí)，這時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；但是，此時(shí)點(diǎn)p為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，為最大，不合題意.故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 題型二 中點(diǎn)弦問題 點(diǎn)差法中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線方

6、程？例3. 弦所在的直線方程。 分析：本例的實(shí)質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進(jìn)一步的研究。 解：法一 法二 點(diǎn)差法1.過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓c相交于a、b兩點(diǎn)，直線y=x過線段ab的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓c上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓c的方程.命題意圖：本題利用對(duì)稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng)，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對(duì)稱問題.錯(cuò)解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤.恰當(dāng)?shù)乩煤脤?duì)稱問題是解決好本題

7、的關(guān)鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線ab斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,a(x1,y1),b(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)ab中點(diǎn)為(x0,y0),則kab=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kab=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)

8、2=2b2,b2=.所求橢圓c的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓c的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入c的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過ab的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)f(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是f點(diǎn)本身，不能在橢圓c上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一. 題型三 弦長公式與焦半徑公式1、 一

9、般弦長公式 弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)a、b，且分別為a、b的橫坐標(biāo)，則，（若分別為a、b的縱坐標(biāo)，則），若弦ab所在直線方程設(shè)為，則。2、焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意： e的幾何意義：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個(gè)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做橢圓上這個(gè)點(diǎn)的焦半徑。 已知點(diǎn)p在橢圓上，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍 6. 解：設(shè)p，橢圓的準(zhǔn)線

10、方程為，不妨設(shè)f1、f2分別為下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn) 則 ， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng) 因此，的取值范圍是 例2. 時(shí)，點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍是_。（2000年全國高考題） 分析：可先求f1pf290時(shí)，p點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 解：法一 法二 題型四 參數(shù)方程3. 橢圓參數(shù)方程 問題：如圖以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（ab0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)b是大圓半徑oa與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)a作anox，垂足為n，過點(diǎn)b作bnan，垂足為m，求當(dāng)半徑oa繞o旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)m的軌跡的參數(shù)方程。 解：參數(shù)。 說明： 對(duì)上述方程（1）消參即 由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進(jìn)行三角變形即得參數(shù)方程。 直線與橢圓位置關(guān)系： 求橢圓上動(dòng)點(diǎn)p（x，y）到直

11、線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作ll且l與橢圓相切）例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 1橢圓的焦點(diǎn)為、，是橢圓過焦點(diǎn)的弦，則的周長是 。2設(shè)，為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上的任一點(diǎn)，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？3設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)若，求的面積五離心率的有關(guān)問題1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長軸兩端點(diǎn)的視角為，則此橢圓的離心率為 3橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1、

12、f2，過f2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)p，若f1pf2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。5.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 講練結(jié)合六.最值問題1.橢圓兩焦點(diǎn)為f1、f2，點(diǎn)p在橢圓上，則|pf1|pf2|的最大值為_，最小值為_2、橢圓兩焦點(diǎn)為f1、f2，a(3，1)點(diǎn)p在橢圓上，則|pf1|+|pa|的最大值為_，最小值為 _3、已知橢圓，a(1，0)，p為橢圓上任意一點(diǎn)，求|pa|的最大值 最小值 。4.設(shè)f是橢圓=1的右焦點(diǎn),定點(diǎn)a(2,3)在橢圓內(nèi),在橢圓上求一點(diǎn)p使|pa|+2|pf|最小,求p點(diǎn)坐標(biāo) 最小值 .知識(shí)點(diǎn)四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)

13、焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，軸長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱中心，兩條對(duì)稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a、b，一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)

14、量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2?？山柚聢D幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4方程ax2+by2=c（a、b、c均不為零）表示橢圓的條件方程ax2+by2=c可化為，即，所以只有a、b、c同號(hào)，且ab時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在

15、y軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓（ab0）共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為（kb2）。此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；若把曲線方程中的y換成y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；若把曲線方程中的x、y同時(shí)換成x、y，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。8

16、如何解決與焦點(diǎn)三角形pf1f2（p為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問題？ 與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)閏2=a2b2，ac0，用a、b表示為，當(dāng)越小時(shí)，橢圓越扁，e越大；當(dāng)越大，橢圓趨近圓，e越小，并且0e1。課后作業(yè)1已知f1(-8，0)，f2(8，0)，動(dòng)點(diǎn)p滿足|pf1|+|pf2|=16，則點(diǎn)p的軌跡為( )a 圓 b 橢圓 c線段 d 直線 2、橢圓左右焦點(diǎn)為f1、f2，cd為過f1的弦，則cdf1的周長為_ 3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) a -1k0 c k0