伴隨矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用_第1頁(yè)
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伴隨矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用_第3頁(yè)
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1、一.伴隨矩陣的定義及符號(hào) 伴隨矩陣是在求非奇異矩陣的逆矩陣時(shí)提出來(lái)的, 1代數(shù)余子式的定義 為了定義伴隨矩陣，需要先定義一個(gè)矩陣某一元素的代數(shù)余子式: 在行列式 aij .ai n ai1. aij. ain M M M 中劃去元素aij所在的第i行與第j列，剩下的 ani anj a nn A22 . An2 M M An A2n . Ain (n 1)2個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)n-1級(jí)的行列式，稱為元素aij的 余子式，記為Mij，稱Aj( 1)i jMij為元素aij的代數(shù)余子式。 2伴隨矩陣的定義 設(shè)Aj是矩陣 ai1 . ai j . ain MMM ai1.a”.ain MMM

2、ani.anj.ann 中元素aij的代數(shù)余子式，矩陣 .*AI2 A M 稱為A的伴隨矩陣 .伴隨矩陣的性質(zhì) 1伴隨矩陣的基本公式：AA* A*A |AE 由行列式按一行（列）展開(kāi)的公式立即得出: * * AA A A MM M AE 其中d A 這是伴隨矩陣的一個(gè)基本公式，我們可以從該等式出發(fā)推導(dǎo)出一 些有關(guān)方陣的伴隨矩陣的性質(zhì)，使我們對(duì)伴隨矩陣有一個(gè)更加全面的 認(rèn)識(shí)和理解。 2.在公式AA* A*A AE基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的其他性質(zhì) * （1） A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A可逆。 證明：若A可逆，則|A 0.由AA* A*A |A E知 故A1 兩邊取行列式得|a 1 即A n * 故A*0，從而A可逆 （2）A*| |An 1，其中A是n n矩陣 證明：由 AA* A*A |AE,知 A A*| |A“ .當(dāng)說(shuō)_匸;時(shí)，有|二丨：及打一：；，故i二丨卜r jj .當(dāng)A3；時(shí)，知亠L(fēng)由引理得秩

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