含參變量無窮積分的一致收斂性

1、含參變量無窮積分的一致收斂性論文摘要：本文通過含參變量無窮積分與函數(shù)級數(shù)之間的關(guān)系，歸納總結(jié)了含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法(柯西一致收斂準(zhǔn)則、魏爾斯特拉斯 判別法、狄利克雷判別法等)及其性質(zhì).關(guān)鍵詞：含參變量無窮積分 一致收斂 判別法無窮積分與級數(shù)的斂散概念、斂散判別法及其性質(zhì)基本上是平行的，不難想到，含參變量無窮積分與函數(shù)級數(shù)之間亦應(yīng)如此，為了討論函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì),我們在收斂區(qū)域上提出了更高的要求,引進了一致收斂的概念,同樣,在討論含參變量無窮積分所確定的函數(shù)的分析性質(zhì)時,一致收斂同樣也起著重要的作用.因此,含參變量無窮積分的一致收斂性是數(shù)學(xué)分析中非常重要的知識點，也是學(xué)

2、生不容易掌握的難點，從而,我試著類比、總結(jié)得出含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法及其性質(zhì)，以便使學(xué)生對此有一個更為系統(tǒng)和深刻的了解.1.含參變量無窮積分一致收斂的判別法我們很自然的可以想到運用定義來證明.定義 設(shè)區(qū)間,無窮積分收斂,若,(通用),有|=|,則稱無窮積分在區(qū)間一致收斂.用定義證明一致收斂的關(guān)鍵在于尋找只與有關(guān)的共同的，方法常常是采取適當(dāng)放大的方法.例 1證明：無窮積分在區(qū)間，+（0）一致收斂，而在（0，+）上非一致收斂.證明 ，對解不等式，有,取，則，有，因此，在（0，+）是收斂的，但不能斷定是一致收斂的，因為我們所找到的不僅跟有關(guān)，而且與有關(guān).事實上，在是非一致收斂的，只需取

3、，取，則，但在一致收斂（其中），由不等式： ,有,解不等式,有,于是取，時，對一切,有，所以，在（其中）一致收斂.此題中，我們還可以計算出在上的收斂值.事實上，對任意，都有，所以,，即在（0，+）收斂于1.定理 1（柯西一致收斂準(zhǔn)則）無窮積分在區(qū)間一致收斂與 . 定理 2（魏爾斯特拉斯 m判別法）若，有 ,且無窮積分收斂，則無窮積分在區(qū)間一致收斂. 該定理是判別某些無窮積分一致收斂性的很簡便的判別法，但這種方法有一定 的局限性：凡能用定理2判別無窮積分是一致收斂，此無窮積分必然是絕對收斂；如果無窮積分時候一致收斂，同時又是條件收斂，那么就不能用定理2來判別。對于這種情況，我介紹如下定理： 定理

4、 3 若函數(shù)在 區(qū)間連續(xù)，且在有界，即有 ,則當(dāng)時，無窮積分.在區(qū)間一致收斂. 例 2 證明：無窮積分在區(qū)間一致收斂。 證明 只需注意：令,有.類似于魏爾斯特拉斯 m判別法有如下定理： 定理 4設(shè)在區(qū)間一致收斂，有存在,使當(dāng)與時，恒有成立，且當(dāng)時，對任意均關(guān)于在上可積，則關(guān)于時在一致收斂且絕對收斂. 例 3 設(shè)又存在，使當(dāng)時，恒有成立，且當(dāng)時，對任意均關(guān)于在上可積，試證在區(qū)間上一致收斂且絕對收斂. 證明 只需注意此時收斂即可. 關(guān)于含參量無窮積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致收斂之間的聯(lián)系有下述定理： 定理 5含參量無窮積分在區(qū)間上一致收斂的充要條件是：對任一趨于的遞增數(shù)列（其中），函數(shù)項級數(shù)在區(qū)

5、間上一致收斂.在知道無窮積分關(guān)于在區(qū)間上的收斂值時，可應(yīng)用下述定理：定理 6關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是.例 4 判斷關(guān)于在上和內(nèi)的一致收斂性.解 顯然關(guān)于在內(nèi)收斂于. =， 而 =.由定理6，得關(guān)于在上一致收斂于，在內(nèi)非一致收斂. 定理 7關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是：對任意，都有. 例 5 試證關(guān)于在內(nèi)非一致收斂. 證明 顯然關(guān)于在內(nèi)收斂于.取則但是 由定理7, 關(guān)于在內(nèi)非一致收斂.與函數(shù)項級數(shù)相應(yīng)的判別法相仿，有 定理 8 （狄利克雷判別法）設(shè)（）對一切實數(shù)，含參變量無窮積分 對參變量在上一致有界，即存在正數(shù)，對一切及一切，都有 ；（）對每一個，函數(shù)關(guān)于是單調(diào)遞減且當(dāng)時，對參

6、變量，一致地收斂于0,則含參變量無窮積分 在上一致收斂. 定理 9 （阿貝爾判別法）設(shè)（）在上一致收斂;（）對每一個，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)，且對參變量，在上一致有界,則含參變量無窮積分 在上一致收斂. 例 6 證明含參變量無窮積分在上一致收斂. 證明 由于無窮積分收斂，（當(dāng)然，對于參變量，它在一致收斂），函數(shù)對每一個單調(diào)，且對任何，都有 ，故由阿貝爾判別法即得含參變量無窮積分在上一致收斂. 定理 10 設(shè)對任意， 均關(guān)于在點左（或右）連續(xù)，但發(fā)散，則對任意， 關(guān)于在（或）內(nèi)非一致收斂. 推論 設(shè)存在，使在或上連續(xù)，但發(fā)散，則對任意， 關(guān)于在或內(nèi)非一致收斂. 證明 對任意，由已知及含參變量無窮積分的

7、性質(zhì)， 都關(guān)于在或上連續(xù)，當(dāng)然在點左（或右）連續(xù)，再由已知及定理10，對任意， 關(guān)于在或內(nèi)非一致收斂. 例 7 試證：對任意， 關(guān)于在內(nèi)非一致收斂.證明 由于在上連續(xù)，但發(fā)散，由本推論，易得對任意， 關(guān)于在內(nèi)非一致收斂. 定理 11 設(shè)關(guān)于在上收斂于，在上連續(xù)，又在上連續(xù)，且恒有 成立，則關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于. 例 8 試證關(guān)于在上一致收斂于. 證明 顯然關(guān)于在上收斂于， 在內(nèi)連續(xù)，又在上連續(xù)且恒正，由定理11得 關(guān)于在上一致收斂于. 定理 12 設(shè)當(dāng)和時，恒有 成立，且與均關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于，則關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于. 證明 對任意和，都有 .因此,不難得出結(jié)論.本定理與數(shù)列收斂的判別

8、法中兩邊夾定理如出一轍，故我將其稱之為兩邊夾定理.2.含參變量無窮積分一致收斂的性質(zhì) 和函數(shù)項級數(shù)類似的，含參變量無窮積分也具有如下三條性質(zhì)定理，故證明過程從略. 定理 13 （連續(xù)性）若函數(shù)在區(qū)域連續(xù)，且無窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且.定理14 （可微性）若函數(shù)與在區(qū)域連續(xù)，且無窮積分在區(qū)間收斂且無窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且，即 .簡稱積分號下可微分.定理 15 （可積性）若函數(shù)與在區(qū)域連續(xù)，且無窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可積，且，即. 定理13、14分別表明：在一致收斂的條件下，極限運算、求導(dǎo)運算和積分運算可以交換；定理15表明在一致收斂的條件下，積分

9、順序可以交換。這三個定理在計算含參變量無窮積分上有極其廣泛的應(yīng)用.例 9 計算 解法一 設(shè)， ，因為，有,所以，函數(shù)在可連續(xù)開拓。使與在區(qū)域連續(xù)，與，使，無窮積分在一致收斂.事實上， ，有,已知收斂，則在一致收斂.根據(jù)定理14， ,有.從而.令，已知，有，因此，于是，有.解法二 由于，所以.記，則在或上連續(xù)，且對一切或上一致收斂，所以由定理15,得 .當(dāng)定理15中的取值范圍為無限區(qū)間時，則有如下定理：定理 16 設(shè)在上連續(xù)，若() 關(guān)于在任何閉區(qū)間上一致收斂，關(guān)于在任何閉區(qū)間上一致收斂,()積分與 （*）中只有一個收斂，則（*）式中另一個積分也收斂，且.同定理15一樣，滿足定理16中兩個條件的積分也可交換積分順序，其積分值不變.3.小結(jié)本文全面的總結(jié)了含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法和性質(zhì)，并對某些定理作出了應(yīng)用舉例，然而要熟練掌握以上定理，關(guān)鍵是理解它們各自應(yīng)用的范圍及其相互聯(lián)系，以趨達到靈活應(yīng)用.參考文獻1賀自樹.一致收斂教學(xué)的探討j.重慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.1998.152劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義