狀態(tài)空間分析法

1、 -261 第9章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 F 重點與難點 、基本概念 1 .線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 （1 ）狀態(tài)空間概念 狀態(tài)反映系統(tǒng)運動狀況，并可用以確定系統(tǒng)未來行為的信息集合。 狀態(tài)變量確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立（數(shù)目最少）變量，它對于確定系統(tǒng)的運動 狀態(tài)是必需的，也是充分的。 狀態(tài)向量以狀態(tài)變量為元素構(gòu)成的向量。 狀態(tài)空間以狀態(tài)變量為坐標所張成的空間。系統(tǒng)某時刻的狀態(tài)可用狀態(tài)空間上 的點來表示。 狀態(tài)方程狀態(tài)變量的一階導數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量之間的數(shù)學關(guān)系，一般是 關(guān)于系統(tǒng)的一階微分（或差分）方程組。 輸出方程輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量之間的數(shù)學關(guān)系。 狀態(tài)方程與輸出方程合稱為狀態(tài)

2、空間描述或狀態(tài)空間表達式。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空 間表達式一般用矩陣形式表示： (9.1) X = Ax + Bu y = Cx Du （2）狀態(tài)空間表達式的建立。系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式可以由系統(tǒng)微分方程、結(jié)構(gòu)圖、 傳遞函數(shù)等其他形式的數(shù)學模型導出。 （3）狀態(tài)空間表達式的線性變換及規(guī)范化。描述某一系統(tǒng)的狀態(tài)變量個數(shù)（維數(shù)） 是確定的，但狀態(tài)變量的選擇并不唯一。某一狀態(tài)向量經(jīng)任意滿秩線性變換后，仍可作 為狀態(tài)向量來描述系統(tǒng)。狀態(tài)變量選擇不同，狀態(tài)空間表達式形式也不一樣。利用線性 變換的目的在于使系統(tǒng)矩陣 A規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性，利于分析計算。滿秩線性 變換不改變系統(tǒng)的固有特性。 根據(jù)矩陣A的特征

3、根及相應(yīng)的獨立特征向量情況，可將矩陣A化為三種規(guī)范形式: 對角形、約當形和模式矩陣。 （t）（即矩陣指數(shù)eAt）及其性質(zhì): （4）線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 i. (0)=1 ii. (t) =A (t)二(t)A iii. (ti t2)= (ti) () = (12)(tj iv. t) *(-t) v. (t)/ 二(kt) vi. exp(At)exp(Bt)二 exp( A B)t (AB 二 BA) vii. exp(PAPt)二 Pdexp(At)P (P非奇異) 求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (t)的常用方法： 拉氏變換法 (t) =L(sI -A) (9.2) 級數(shù)展開法 eAt

4、 =I At丄 A2t2 川汕 1 Aktk (9.3) 2k! 齊次狀態(tài)方程求解 x(t)二(t)x(0) (9.4) 非齊次狀態(tài)方程式(9.1)求解 x(t) =(t)x(0) + 0%t E)BuG)di (9.5) (5) 傳遞函數(shù)矩陣及其實現(xiàn) 傳遞函數(shù)矩陣G(s):輸出向量拉氏變換式與輸入向量拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系 G(s) =C(sl - A)B D(9.6) 傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)：已知傳遞函數(shù)矩陣 G(s)，找一個系統(tǒng)代B,C,D使式(9.6) 成立，則將系統(tǒng)A, B,C, D稱為G(s)的一個實現(xiàn)。當系統(tǒng)階數(shù)等于傳遞函數(shù)矩陣階數(shù) 時，稱該系統(tǒng)為G(s)的最小實現(xiàn)。 傳遞函數(shù)矩陣

5、的實現(xiàn)并不唯一。實現(xiàn)的常用標準形式有可控標準形實現(xiàn)、可觀測標 準形實現(xiàn)、對角形實現(xiàn)和約當形實現(xiàn)等。 (6) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化及其求解 對式(9.1)表示的線性定常數(shù)連續(xù)系統(tǒng)進行離散化，導出的系統(tǒng)離散狀態(tài)空間描述 為 x(k 1) (T )x(k) G(T)u(k) b(k)=Cx(k)+D(k)(98) 其中 (T) (t) T G（T） （ ）Bd 離散狀態(tài)方程式（9.1）的解為 kJ. x（k）二飛仃）x（0） W仃）G（T）u（i）（9.9） i =S 2. 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （1）系統(tǒng)的（狀態(tài)）可控性。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x二Ax Bu，若在有限時間間隔 r to,tf內(nèi)

6、存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù)u（t），能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài) x（to）轉(zhuǎn)移 到任意的終止狀態(tài) x（tf），則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱可控。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性常用判據(jù)： 1）rankB AB A2BAn，B工 n（9.10） 2） 當A為對角矩陣且特征根互異時，輸入矩陣B中無全零行（當矩陣 A有相同特 征根時不適用）。 當A為約當矩陣且相同特征根分布在一個約當塊內(nèi)時，輸入矩陣中與約當塊最后一 行對應(yīng)的行中不全為零，且輸入矩陣中與相異特征根對應(yīng)的行不全為零（當相同特征根 分布在兩個或兩個以上約當塊時不適用）。 3）（sl A） B的行向量線性無關(guān)。 4）單輸入系統(tǒng) A, B為可控標準形

7、。 5） 單輸入單輸出系統(tǒng)，當由狀態(tài)空間表達式導出的傳遞函數(shù)沒有零極點對消時，系 統(tǒng)可控、可觀測（對多輸入多輸出系統(tǒng)不適用）。 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化后的可控性：連續(xù)系統(tǒng)不可控，離散化的系統(tǒng)一定不可控； 連續(xù)系統(tǒng)可控，離散化后的系統(tǒng)不一定可控（與采樣周期的選擇有關(guān)）。 （2 ）系統(tǒng)輸出可控性。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為式（9.1）,若在有限時間間隔 r t0,tf內(nèi)，存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù)u（t），能使系統(tǒng)從任意初始輸出y（t。）轉(zhuǎn) 移到最終內(nèi)測量到的輸出y（tf），則稱系統(tǒng)是輸出完全可控的，簡稱輸出可控。 輸出可控性判據(jù)為 rankCB CABCAnB D =q（C陣的行數(shù)） 狀態(tài)可控性與

8、輸出可控性是兩個不同的概念，其間沒有必然聯(lián)系。 單輸入單輸出系統(tǒng)，若輸出不可控，則系統(tǒng)或不可控或不可觀測。 （3）系統(tǒng)狀態(tài)可觀測性。 已知輸出U（t）及有限時間間隔t t0,tf 內(nèi)測量到的輸出 y（t），若能唯一確定初始狀態(tài) x（t。），則稱系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱可觀測。 常用可觀測性判據(jù)： 1）ran kCT ATCT （AT）nJ1CT二 n（9.11） 2）當A為對角矩陣且有相異特征值時，輸出矩陣無全零列（A陣有相同特征值時 不適用）。 當A為約當陣且相同特征值分布在一個約當塊時，輸出矩陣中與約當塊最前一列對 應(yīng)的列不全為零，輸出矩陣中與相異特征值對應(yīng)的列不全為零（相同特征值分布在兩

9、個 或更多個約當塊時不適用）。 3）C（sl -A）的列向量線性無關(guān)。 4）單輸出系統(tǒng) A,C為可觀測標準形。 連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可觀測性：連續(xù)系統(tǒng)不可觀測，離散化后一定不可觀測；連續(xù) 系統(tǒng)可觀測，離散化后不一定可觀測（與采樣周期的選擇有關(guān)）。 對偶原理：線性系統(tǒng)S1A,B,C與S2 At,Ct,Bt互為對偶系統(tǒng)。若系統(tǒng)S可控， 則S2可觀測；若系統(tǒng) S,可觀測，則S2可控。 （4）線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解。從可控性、可觀測性出發(fā)，狀態(tài)變量可分解為可控 可觀測Xco、可控不可觀測 xco、不可控可觀測 xco和不可控不可觀測 xco四類。以此對應(yīng) 將狀態(tài)空間劃分為四個子空間，系統(tǒng)也對應(yīng)分解為四個

10、子系統(tǒng)，這稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。 研究規(guī)范分解能更明顯地提示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性和傳遞特性。 3. 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器 （1）狀態(tài)反饋與極點配置。用狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是被控系 統(tǒng)可控。 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點，只改變系統(tǒng)的極點。 在引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)可控性不變，但其可觀測性不一定與原系統(tǒng)一致。單輸入 無零點系統(tǒng)在引入狀態(tài)反饋后不會出現(xiàn)零極點對消，故其可觀測性與原系統(tǒng)保持一致。 （2） 輸出反饋（到狀態(tài)微分處）與極點配置。用輸出反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的 充要條件是被控系統(tǒng)可觀測。 輸出反饋不改變系統(tǒng)的零點。 在引入輸出反饋后不改變系統(tǒng)的可觀測性，但其可控性不一定與

11、原系統(tǒng)保持一致。 （3） 輸出到輸入?yún)⒖键c的常值增益反饋可以配置的閉環(huán)極點數(shù)為minn, p 1， 式中p二rankB,q二rankC，故一般情況下不能像輸出到狀態(tài)微分處反饋那樣任意配置 系統(tǒng)閉環(huán)極點。 （4） 狀態(tài)觀測器及其設(shè)計。若被控系統(tǒng)A, B,C可觀測，則其狀態(tài)可用形如 X = （A HC）5? Bu Hy（9.12） 的全維狀態(tài)觀測器給出估值。矩陣H按任意配置極點的需要來選擇，以決定狀態(tài)誤差衰 減的速率。 261 分離定理：若被控系統(tǒng)可控可觀測，當用狀態(tài)觀測器估值形成狀態(tài)反饋時，其系統(tǒng) 的極點配置和觀測器設(shè)計可分別獨立進行。即矩陣K與H的設(shè)計可分別獨立進行。 4. 李雅普諾夫穩(wěn)定性分

12、析 (1 )李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性： 平衡狀態(tài)：在無外部激勵的條件下，系統(tǒng)能維持在某個狀態(tài)而不變化，即X X一 = 則稱xe為一個平衡狀態(tài)。 零狀態(tài)是線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，且當系統(tǒng)矩陣非奇異時，零狀態(tài)是唯一的平衡狀態(tài)。 李雅普諾夫穩(wěn)定性：若要求|x(t) -Xe|E ；，存在、(,t) . ,只要 l|x(t) -Xe |：、.(t,t)，上述條件更可滿足，則稱系統(tǒng)在Xe處穩(wěn)定。 (2) 李雅普諾夫第二法(直接法)： 標量函數(shù)V(x)(如二次型函數(shù))的定號性：正定、正半定、負定、負半定、不定。 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x=f(x,t)，其平衡狀態(tài)滿足 f(O,t) =0，并設(shè)在原

13、點鄰域存在 V(x,t)對x的連續(xù)一階偏導數(shù)，則有 定理1：若V(x,t)正定，V(x,t)負定，則原點是漸近穩(wěn)定的。 定理2：若V(x,t)正定，V(x,t)負半定，Vx(t； x ,t),t在非零狀態(tài)不恒為零， 則原點是漸近穩(wěn)定的。 定理3：若V(x,t)正定，V(x,t)負半定，Vx(t； x,t),t在非零狀態(tài)存在恒為零， 則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 定理4：若V(x,t)正定，V(x,t)正定，則原點是不穩(wěn)定的。 當平衡狀態(tài)不在原點時，可通過坐標變換將其置于原點上，坐標變換不改變系統(tǒng)的 固有性質(zhì)。 (3) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 x二Ax, A

14、為 非奇異矩陣，故原點是唯一平衡狀態(tài)。取二次型函數(shù)V(x)作為可能的李雅普諾夫函數(shù)， 即 V(x) = xTPx 則V(x)二 _xTQx 二 xt(AtP AP)x 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一正定實對稱矩陣 Q，有唯一的正定實對稱矩陣 P，At P A -Q成立。XT Px是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。 線性定常離散系統(tǒng)x(k - 1) = x(k)，零平衡狀態(tài)xe =0漸近穩(wěn)定的充要條件是： 任意給定一個正定實對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣P，滿足李雅普諾夫方程。 T P - P - -Q 純量函數(shù)Vx(k) = xT(k)Px(k)是該離散系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。如果沿系 統(tǒng)任

15、一狀態(tài)軌跡運動(x(k) =0除外)，其.)Vx(k)二_xT(k)Qx(k)工0，則Q可取正 半定矩陣。 二、基本要求 1.線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 (1 )正確理解狀態(tài)空間有關(guān)概念。 (2) 熟練掌握建立元件、系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的方法。 (3) 掌握狀態(tài)空間表達式向可控、可觀測標準形、對角形、約當形等規(guī)范形式變換 的基本方法。 (4) 熟練掌握系統(tǒng)實現(xiàn)的常用方法。 (5) 熟練掌握依狀態(tài)空間表達式 代B,C,D求系統(tǒng)傳遞矩陣G(S)的方法。 (6) 熟練掌握線性系統(tǒng)狀態(tài)方程求解方法。特別要掌握狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的性質(zhì)及 求取方法。 2 .線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性 (1 )正確理解可控性、可觀測性的基本概念。 (2 )熟練掌握判定系統(tǒng)可控、可觀測性的充要條件及有關(guān)方法。 (3)理解可控性、可觀測性與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的關(guān)系。 (4 )理解線性系統(tǒng)規(guī)范分解的作用和意義，了解規(guī)范分解的一般方法。 3 .線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器 (1) 正確理解利用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)極點的有關(guān)概念，熟練掌握按系統(tǒng)指標要 求確定狀態(tài)反饋矩陣 K的方法。 (2) 正確理解利用輸出反饋任意配置系統(tǒng)極點的有關(guān)概念，熟練掌握指標要求確定 輸出反饋矩陣H的方法。 (3) 正確理解分離定理，熟練掌握依狀態(tài)觀測器要求設(shè)計觀測器的方法，并會用之 構(gòu)成