彈性力學(xué)習(xí)題(新)

1、1-3 五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？ 答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理 量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的 連續(xù)函數(shù)來(lái)表示他們的變化規(guī)律。 2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng) 力成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，符合胡克定律，從而使物理方程 成為線性的方程。 3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是 相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比卩等） 就不隨位置坐標(biāo)而變化。 4、各向同性假定：所謂 “各向同性 ”是指物體的物理性質(zhì)在

2、各個(gè)方向上都是 相同的。進(jìn)一步地說(shuō)，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。 5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問(wèn)題時(shí)，不用考慮物體尺寸的 改變而仍然按照原來(lái)的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位 移時(shí)，可以將他們的二次冪或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都 簡(jiǎn)化為線性微分方程。 在上述假定下， 彈性力學(xué)問(wèn)題都化為線性問(wèn)題， 從而可以應(yīng)用疊加原理 式中 2-1 已知薄板有下列形變關(guān)系： A,B,C,D 皆為常數(shù)，試檢查在形變過(guò)程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力 分量表達(dá)式。 解： 1、相容條件： 將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程） 其中 所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條

3、件。 2、在平面應(yīng)力問(wèn)題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為 3、平衡微分方程 其中 若滿足平衡微分方程，必須有 分析：用形變分量表示的應(yīng)力分量，滿足了相谷方程和平衡微分方程條件 若要求出常數(shù)A,B,C,D還需應(yīng)力邊界條件。 例2-2如圖所示為一矩形截面水壩， 其右側(cè)面受靜水壓力（水的密度為p）， 頂部受集中力P作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng) 力邊界條件。 1 .h . 解： 根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系 左側(cè)面: 右側(cè)面： 上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。 上端 面額 面力 向截 面形 心 O 簡(jiǎn)化， 得 到面力 的主矢量和 主矩分 別為 y=0 坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量符號(hào)與面

4、力主矢量符號(hào)相反；應(yīng)力主矩與面力 主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以 下端面的面力向截面形心 D 簡(jiǎn)化，得到主矢量和主矩為 y=l 坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量、主矩的符號(hào)與面力主矢量、主矩的符號(hào)相同 所以 分析： 1、與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個(gè)等式，而且與邊界平 行的應(yīng)力分量不會(huì)出現(xiàn)。如在左、右側(cè)面，不要加入 2、在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無(wú) 法精確滿足時(shí)，可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問(wèn)題的求 解大為簡(jiǎn)化。應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號(hào)的取法亦可用外力主矢（主矩） 的方向判斷，二者方向一致時(shí)去正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。 2-8試列出題2-8圖（a）,題2-8圖（b）所示

5、問(wèn)題的全部邊界條件。在其 端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。 解： 圖（ b） 1、對(duì)于圖（a）的問(wèn)題 上，應(yīng)精確滿足 在主要邊界 F列邊界條件： 上, 在小邊界（次要邊界） 能精確滿足下列邊界條件: 上，有位移 在小邊界（次要邊界） 邊界條件： 這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái) 代替， 當(dāng)板厚 時(shí)， 2、對(duì)于圖（b）所示問(wèn)題 上，應(yīng)精確滿足下 在主要邊界 列邊界條件： 在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理列 出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí), 在小邊界（次要邊界） 上，有位移 邊界條件: 這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理， 改用三個(gè)積分的

6、應(yīng)力邊界條件來(lái) 代替， 2-17設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載 F,如題2-17所示，體 力可以不計(jì)。根據(jù)材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎應(yīng)力 ox和切應(yīng)力Ty的表達(dá)式，并 取擠壓應(yīng)力0=0，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程， 再 說(shuō)明，這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。 解： 1、 矩 形 懸 臂 梁 發(fā) 生 彎 曲 變 形 ， 任 意 橫 截 面 上 的 玩 具 方 程 為 ，橫截面對(duì) z 軸（中性軸 ）的慣性矩 ，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力 該截面 上的剪力為 ；并取擠壓 應(yīng)力 o 2、 經(jīng)驗(yàn)證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方衡 也能滿足相容方程 再考察邊界條件：在 的主要邊 界上

7、，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件: 能滿足 在次要邊界 分的應(yīng)力邊界條件: 上，列出三個(gè)積 滿足應(yīng)力邊界條件 在次要邊界 上，列出三個(gè)積分 的應(yīng)力邊界條件: 滿足應(yīng)力條件。因此，它們是該問(wèn)題的正確解答。 例 3-1 如圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù) 求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)） 解：1、相容條件： 代入應(yīng)力函數(shù)，得: 由此得 于是應(yīng)力函數(shù)可改寫(xiě)為 2、應(yīng)力分量表達(dá)式 3、考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù) 聯(lián)立求解以上各式，得 再根據(jù)簡(jiǎn)支梁的端面條件確定常數(shù)D,F。由圣維南原理得 可得 再帶入式（f）得 4、應(yīng)力分量表達(dá)式 例3-2圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1

8、,右端固定、左端自由, 荷載分布在自右端上，其合力為 P （不計(jì)體力），求梁的應(yīng)力分量。 日 解：這是一個(gè)平面應(yīng)力問(wèn)題，采用半逆解法求解。 （1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程 M（ x） 與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo) y成正比， 因此可設(shè) (a) 式中.的為待定常數(shù)。將式（a）對(duì)y積分兩次，得 0=yJ + yf(x) + f2(x) (b) 式中的 容方程 fi（x）, f/x）為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相 d*。)d(x) y+ =0 上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見(jiàn)它的系數(shù)和自由 項(xiàng)都

9、必須為零，即 4 d f/x) d4f2(x) :-=0 積分上二式，得 32 fjx) = a2x + a3x + 氐 =0 5 32 f2(x) -+ 叫x + a9 式中 為 0 呵為待定的積分常數(shù)。將 f(x) f2(x) 5 代入式（b），得應(yīng)力函數(shù) a1 ?耳g =xy3 + (a2x3 + a3xZ + a4x + a jy + (a* (2) 應(yīng)力分量的表達(dá)式 + a7x2 + aKx + aj .(c) 5X = a1 xy,8y = 6(叫丫 + %)x + 2(a3y + a7) 1 2 2 -y -3a2x - 2ayx - a4 （3）考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，

10、自由端無(wú)水平力；上、下部無(wú)荷載; 自由端的剪力之和為 p,得邊界條件 -Th = 0 自然滿足； 1 2 -3a2x - 2ax -aA = 0 ,得 z 上式對(duì)x的任何值均應(yīng)滿足，因此得 即 O2=3 = 0 -a4 = a =Fli =0 ，得 6%x + 2a? = 0 X取任何值均應(yīng)滿足，因此得% = a7 =0. 卜 將式（e）代入上式積分，得 1 2 2aiY - ai Jdy =- P 最后得應(yīng)力分量為 r U 二 X p 廠只乳勺=0 % A誑 -y丿 計(jì)算得 3P P 殖7 12 1P 2 勻一刃h =h 其中 S粵2時(shí) ,橫截面對(duì)Z軸的慣性矩。 0 - xy（3h? - 4

11、y?） 3-3試考察應(yīng)力函數(shù)2h能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分 量（不計(jì)體力）,畫(huà)出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示 出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題。 解 （1）相容條件： 340d0040 -+ 2-_- + - = 0 將代入相容方程人丁 ,顯然滿足 （2）應(yīng)力分量表達(dá)式 (3) 邊界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件 (b) 在次要邊界x=o, x=l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件 f (c) 對(duì)于如圖所示矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，由應(yīng)力邊界條件式(a) (b) 、(c)可知上邊、下邊無(wú)面力；而左邊界上受有

12、鉛直力；右邊界上有按線性變 化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力 作用的問(wèn)題。 3-6如題3-6圖所示的墻，高度為h,寬度為b,hb,在兩側(cè)上受到均布剪力q 3 的作用，試用函數(shù)0 = Axy + Bx y求解應(yīng)力分量。 y 丄 (hb) 題3-6圖 解：(1)相容條件 4 n 將應(yīng)力函數(shù)匚代入相容方程丫 U 丨，其中 3 0 ox oy 5 很顯然滿足相容方程。 (2)應(yīng)力分量表達(dá)式 2 2 2 ()09 03 02 -=0口 = - = 6Bxy,T =一 =-A - 3Bx dy2y dx附 dxdy (3) 考察邊界條件，在主要邊界I 上 即 ，各有兩

13、個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件, M h = 6(% x=2 b =_ q =2 而的條件不可能精確滿足(否 在次要邊界y=0上， 則只有A=B=0，可用積分的應(yīng)力邊界條件代替 b/2 J Mv-Odx=0 j y_u (4) 把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得 q 2q a=-2-b = 7 應(yīng)力分量為 12qqf 5二呵二匚丹/”1-12 bk 3-7設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計(jì)，lh如 233 題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù)0 = Axy + By + Cy + Dxy求解應(yīng)力分量 M Fs FS (一 (lh, 解（1）相容條件 233 將0 = Axy+By + Cy

14、+ Dxy代入相容方程，顯然滿足 （2）應(yīng)力分量表達(dá)式 咚刊+ 6Cy +亦込 dy =-（A + 3D） （3）考察邊界條件，在主要邊界 一二7廠上 護(hù)0 2 - Axy dxdy ,各有兩個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件 =Ayx) =0 A + |oh2 = 0 4 （a） 在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩， 應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積 分的應(yīng)力邊界條件代替。注意 x=0是負(fù)x面，由此得 hFN h/Wdy亠賂礙B-亦; 昭2M l)x_(Jydy=-Mc=-_ -h/2 x uh Jh/2 (b) -訕仇幾邛汁-尺屮得Ah + DhFs 由式(a) (b)解出 3FS 2F (a)

15、q; (b) 2sinQD 2cOt 將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得 (c) 同式（a） 得 2Acos 2Bsin C2D 0; (e) 同式（b） 得 2Asi n 2Bcos C q; 同式（c） 得 2Acos 2Bsin C 2D 0; (g) 同式（d） 得 2Asi n 2Bcos C q; 式（e）、（f）、（g）、 （h）聯(lián)立求解，得 (d) 2 (h) A ,B C cos2 qn cot cos2 qcot sin sin 2 q sin 4-14設(shè)有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為 R而內(nèi)半徑 為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q,試求圓筒的應(yīng)力。 【解】本題

16、為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，故環(huán)向位移 u 0，另外還要考慮位移的單值條件。 (1)應(yīng)力分量 引用軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力解答，教材中式(4-11)，取圓筒解答中的系數(shù)為 A，B，C,剛體 解答中的系數(shù)為A，,C由多連體中的位移單值條件，有 B=0, Bz =0 (a) (b) 現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為 A2 2C 5 A2 2C 剛體的應(yīng)力表達(dá)式 (c) A 2 2C, A 2 2C (d) 考慮邊界條件和接觸條件來(lái)求解常數(shù)A,AZ ,C,C /和相應(yīng)的位移解答 首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件()r q，由此得 A 2C q(e) r 其次，在遠(yuǎn)離圓孔處，應(yīng)當(dāng)幾乎沒(méi)有應(yīng)力，于是有 () 0,( ) 0 由此得 2U

17、=0(f) 再次，圓筒和剛體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有 I RR 于是有式(c)及式(d)得 牛2C 耳 2C R R(g) (2)平面應(yīng)變問(wèn)題的位移分量 應(yīng)用教材中式(4-12)的第一式，稍加簡(jiǎn)化可以寫(xiě)出圓筒和剛體的徑向位移表達(dá) 式 u 2(1 2u)C I cos K sin (h) (i ) u 0 剛體的徑向位移為零，在接觸面上，圓筒與剛體的位移相同且都為零，即 u 將式（h）和式（i ）代入，得 u 2(1 2u)CR I cos K sin 0 方程在接觸面上的任意點(diǎn)都成立，取任何值都成立，方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等。 于是得 2(1 2u)CR 簡(jiǎn)化并利用式（f），得 2 (j) A 2（

18、1 2u）R C （3）圓筒的應(yīng)力 把式（j ）代入式（e），得 (1 2u)qr 2u R2r2 1 2u R2 r2 R2 2 qr 圓筒的應(yīng)力為 1 2u 2- 1 2u 1 1 2u 2 r R2 1 q, 1 2u 2 r R2 4-18設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上力偶矩為 M如題4-18 圖所示，試求應(yīng)力分量。 的l-B ifi 【解】應(yīng)用半逆解法求解 （1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶 矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與M,有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是 單位面積上的力，即L-1MT，應(yīng)力只能以M 2形勢(shì)組合。 (2) 應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱高二次幕，可假設(shè)。 (3) 將代入相容方程，得 1 d4 刪去因子，得一個(gè)關(guān)于 的常微分方程。令其解為e2， 代入上式，可得到一個(gè)關(guān)于 的特征方程, 2 240, (a) 其解為 2i, 2i,0,0，于是得到的四個(gè)解ae2i ,be 2i c