大學(xué)解析幾何

1、空間解析幾何 基本知識(shí) 一、向量 1已知空間中任意兩點(diǎn) MXsyzJ和M2(X2,y2,Z2)，則向量 ujuuuir MM 2 (X2 “2 yi,Z2 乙) 2、 已知向量 a(a1,a2,a3)、b (b1,b2,b3)，貝V CCry ()向量a的模為| a | 1a2 a3 (2) a b (ai b，a2 b2,a3 d) (3) a ( a1, a2, a3) 3、向量的內(nèi)積a b (1) a b | a | | b | cos a, b (2) a b a1b1a2b2 a3b3 其中 a, b 為向量a , b的夾角，且0 a, b 注意：利用向量的內(nèi)積可求直線與直線的夾角、

2、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。 4、向量的外積a b (遵循右手原則，且 a b a、a b b) i j k a b a1 a2 a3 b1 b2 b3 5、(1) a/ b a b aa 2 b1b2 a3 b3 (2) a b a b 0 a ba 2 b? a3b30 二、平面 1平面的點(diǎn)法式方程 已知平面過點(diǎn)P（x0,y0,z0），且法向量為n （A, B,C）,則平面方程為 A(x X。)B(y yo) C(z z)0 注意：法向量為n （A, B,C）垂直于平面 2、平面的一般方程 Ax By Cz D 0，其中法向量為 n (A,B,C) 3、（ 1）平面過原點(diǎn) (0,0

3、,0)Ax By Cz 0 （2）平面與x軸平行（ 、與yoz面垂直） 法向量n垂直于x軸 By Cz D 0 （如果D 0， 則平面過x軸） 平面與y軸平行（ 與xoz面垂直） 法向量n垂直于y軸 Ax Cz D 0 （如果D 0， 則平面過y軸） 平面與z軸平行（與 xoy面垂直）法向量n垂直于z軸Ax By D 0 （如果D 0,則平面過z軸） （3）平面與 xoy面平行 法向量n垂直于xoy面 Cz D 0 平面與 xoz面平行 法向量n垂直于xoz面 By D 0 平面與 yoz面平行 法向量n垂直于yoz面 Ax D 0 注意：法向量的表示 三、直線 1直線的對(duì)稱式方程 過點(diǎn)P（x

4、0,y0,z0）且方向向量為v （V ,v2,v3）直線方程 x Xo y y z zo V2V3 注意：方向向量 V （V1，V2,V3）和直線平行 直線的一般方程 AiXBi yGz Di 0 A2XB2 y C2ZD20 注意該直線為平面 A1xB1 yC1zD10和A2xB2yC2zD20 的交線 x x0v1t 3、直線的參數(shù)方程y yoV2t zZoV3t 4、(1 )方向向量 v (0,v2,v3)，直線垂直于x軸 (2)方向向量v (v1,0,v3)，直線垂直于y軸 (3)方向向量v (v1,v2,0)，直線垂直于z軸 5、(1 )方向向量 v(0,0,v3)，直線垂直于 xo

5、y面 (2)方向向量v (0,v2,0)，直線垂直于xoz面 (3)方向向量v 應(yīng)用 一、柱面 (vi,0,0), 直線垂直于 yoz面 1、設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程為f1 (x, y, z) 0，母線的方向向量v(v1, v2, v3)，求柱面方程 f2 (x, y, z)0 方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M(X1, y乙)，則過點(diǎn)M (x,zj的母線為 yy1 v ZZ1 v3 x x1 v1 又因?yàn)椤?xyzj在準(zhǔn)線上，故 fi(xi,yi,zj 0 (1) f2(X1,y1,zJ 0( 2) x X1 yy1 v1v2 ZZ1 v3 (3) 由(1)、(2)、(3)消去治,力憶1求出t， 則該方程為所

6、求柱面方程 x2 2x2 再把t代入求出關(guān)于x, y,z的方程F(x, y,z) 0， 例1 :柱面的準(zhǔn)線為 2 2 y z c22 2y z 1 ，而母線的方向?yàn)関 1,0,1，求這柱面方 2 程。 解：在柱面的準(zhǔn)線上任取一點(diǎn) M (X y乙)，則過點(diǎn)M (捲，y1,zj的母線為 x Xi y yi z Zi 1 O 1 即x1 X t , y1y, Z1z t (1) 又因?yàn)?M (X1, y1, Z1)在準(zhǔn)線上, 故 2 2 2 222 X1y1Z11 ( 2)，2X12y1Z12( 3) 由(1) (2)( 3)得 x2 y2 2 z 2xz 1 O 2、圓柱面是動(dòng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等

7、的點(diǎn)的軌跡，該距離為圓柱面的半徑 方法：在圓柱面上任取一點(diǎn) Mo(x0,y0,zo)，過Mo(X0,yo,Z0)點(diǎn)做一平面垂直于對(duì)稱軸， 該平面的法向量為對(duì)稱軸的方向向量，把該平面方程和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求得平面和對(duì)稱軸 的交點(diǎn)Mi(Xi，yi，zJ，則|MMi|為圓柱的半徑 例2:已知圓柱面的軸為 x，點(diǎn)Mi(i，-2，i)在此圓柱面上，求這個(gè)圓 1 2 2 柱面的方程。 解：設(shè)圓柱面上任取一點(diǎn) Mo(x0,y0,zo)，過點(diǎn)Mo(X0,yo,Z0)且垂直于軸的平面為 (x Xo) 2(y yo) 2(z z) 0 軸方程的參數(shù)式為x t , y 1 2t , z 1 2t代入平面方程得 t X

8、o 2yo 2zo 9 故該平面和軸的交點(diǎn)為(X。2yo 字匚2 4yo 4z。，9 鞏 4yo 4z) 999 j -1 15 過點(diǎn)Mr ( 1，-2, 1)和軸垂直的平面和軸的交點(diǎn)為(一，) 13 33 因?yàn)閳A柱截面的半徑相等，故利用距離公式得 2 2 2 8x 5y 5z 4xy 4xz 8yz 18y 18z 99 O 注意：也可找圓柱面的準(zhǔn)線圓處理 例3 :求以直線x=y=z為對(duì)稱軸，半徑 R=1的圓柱面方程 解：在圓柱面上任取一點(diǎn) Mo(xo,yo,zo)，過點(diǎn)Mo(xo,yo,zo)且垂直于軸的平面為 (X Xo) (y yo) (z zo) o 軸方程的參數(shù)式為X t,y t,

9、 z t代入平面方程得 Xo yo Zo 3 故該平面和軸的交點(diǎn)為 M1(Xo yoZo Xo yoZoXo yoz 3，3，3 則M0Mj的長等于半徑 R=1 故利用距離公式得 （X。 Xo (yo Xo yozo)2 3 (Zo Xo yozo)2 3 即所求方程為(2xo yo Zo)2 ( Xo 2yo z。)2 (Xo yo 2zo)29 、錐面 錐面是指過定點(diǎn)且與定曲線相交的所有直線產(chǎn)生的曲面。這些直線是母線，定點(diǎn)為頂 點(diǎn)，定曲線為準(zhǔn)線。 1、設(shè)錐面的準(zhǔn)線為fl（X，y，z） ，頂點(diǎn)為Mo（Xo，yo，z。），求錐面方程 f2 （x, y, z） o 方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M i

10、（% , yi, Zi），則過點(diǎn)M i （% , yi, Zi）的母線為 xXoy yo Xi Xoyiyo z Zo ziZo (i) 又因?yàn)椤埃▁yzj在準(zhǔn)線上，故 fi (Xi, yi, Zi) o ( 2) f2(Xi,yi,Zi) o ( 2) 由（i）、（2）、（3）消去xi.yi.zi求出關(guān)于 x,y,z 的方程 F (x, y, z) o,則該方程為所求 錐面方程 2 2 x y i 例i錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為a2 b? i，求這錐面方程。 z c 解：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn) M i(Xi, yi, Zi)，則過點(diǎn) M i(Xi, yi, Zi)的母線為 x Xi y yi z

11、Zi 又因?yàn)镸 （xi, yi，Zi）在準(zhǔn)線上，故 2 Xi 2 a 2 yi b2 錐面方程 方法：在母線上任取一點(diǎn)M (x,y, z)，則過該點(diǎn)的母線的方向向量為 n (xx,y yo,z z) 利用v和n的夾角不變建立關(guān)于 x,y,z的方程，該方程為所求 例2求以三根坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。(x y z)2 x2 y2 z2) 解：在坐標(biāo)軸上取三點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，則過三點(diǎn)的平面為 x y z 1 故對(duì)稱軸的方向向量為(1,1,1)，一條母線的方向向量為 (1,0,0)， 則母線和對(duì)稱軸的夾角為 11101031 “J 3 cos ，即 cos 3 在母

12、線上任取一點(diǎn) M (x, y, z)，則過該點(diǎn)的母線的方向向量為 x yzx2y2z23 cos 所以(x y z)2x2y2z2 n (x, y, z) 例3圓錐面的頂點(diǎn)為(1,2,3)，軸垂直于平面2x 2y z 1 0 ,母線和軸成300，求圓 錐面方程 解：在母線上任取一點(diǎn)M (x, y, z)，軸的方向向量為 (2,2, 1)，母線的方向向量為 n (x 1,y2,z 3) 則 2(x 1)2(y 2) (z 3),(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 - 9cos300 即4(2x 2y z 3)227(x 1)227(y2)2 27( z 3)2 三、旋轉(zhuǎn)曲面 設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母

13、線方程為f1(x,y,z)0，旋轉(zhuǎn)軸為 xX。 )匹 Z空，求旋轉(zhuǎn) f2(x,y,z)0 X YZ 曲面方程 方法：在母線上任取一點(diǎn) 皿1(為，如，乙)，所以過 皿1(為，丫1,乙)的緯圓方程 X(x xj Y(y yj Z(z zj 0 (xx。)2(yy。)2(zz0)2(%x。)2(%y。)2(乙z。)2 又因?yàn)槊?(為，力，乙)在母線上，有 f2(X1,y1,zJ 0 由上述四個(gè)方程消去 Xi,yZi的方程F（x, y,z） 0為旋轉(zhuǎn)曲面 例4求直線x 1.仝繞直線| : x y Z旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 2 1 0 解：在母線上任取一點(diǎn) Mi（Xi，yi，zJ，則過Mi（Xi

14、,yi,zJ的緯圓方程 (X Xi) (y yi) (z Zi) 0 2 2 2 2 2 2 X y zXi yi Zi 又因?yàn)镸i（Xi, yi, zi）在母線上， 有 Xi y zi i 2 i 0 由上述方程消去 Xi, yi, zi的方程得 9x2 9y2 9z25( x y z i)29 四、幾種特殊的曲面方程 i、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程 設(shè)柱面的準(zhǔn)線是 xoy平面上的曲線 f(x,y) z 0 0 則柱面方程為 f (x, y) 0 設(shè)柱面的準(zhǔn)線是 xoz平面上的曲線 g (X, z) y 0 0 則柱面方程為 g(x,z) 0 設(shè)柱面的準(zhǔn)線是 yoz平面上的曲線 h(y,z)

15、 x 0 0 則柱面方程為 h(y,z) 0 注意：（i）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程中只含兩個(gè)字母 （2）準(zhǔn)線為坐標(biāo)平面內(nèi)的橢圓、 雙曲線、拋物線等柱面稱為橢圓柱面、雙曲線柱面、 拋物線柱面 例求柱面方程 （i）準(zhǔn)線是 2 y 2z 母線平行于x軸 X 0 解：柱面方程為 y 2 2z 2 2 （2）準(zhǔn)線是 X 4 y_ 9 z2 i z1，母線平行于 y軸 y 3 解：柱面方程為 X 2 4z 2 2 X 2 2 -i 91，母線平行于 （3）準(zhǔn)線是 4 9 z軸 X 2 解：x 2 2、母線在坐標(biāo)面上，旋轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面 設(shè)母線是f (x, y) 0 ,旋轉(zhuǎn)軸是x軸的旋轉(zhuǎn)曲面為f (

16、x, . y2z2)0 ；旋轉(zhuǎn)軸是y軸 z 0飛 的旋轉(zhuǎn)曲面為f ( . x2 z2, y) 0 (同理可寫出其它形式的旋轉(zhuǎn)曲面方程) 注意：此類旋轉(zhuǎn)方程中一定含有兩個(gè)字母的平方和的形式，且它們的系數(shù)相等。 2 2 例方程上 z X 0是什么曲面，它是由 xoy面上的什么曲線繞什么軸旋轉(zhuǎn)而成的 2 2 2 解：xoy面上的 J x 0繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的 2 3、平行于坐標(biāo)面的平面和曲面f (x, y,z)0的交線方程 平行于xoy面的平面 平行于xoz面的平面 平行于yoz面的平面 h和曲面 f (x, y,z) 0的交線為 f (x,y,h) z h 0 h和曲面 f (x, y, z) 0的

17、交線為 f(x,h,z) y h 0 h和曲面 f (x, y, z) 0的交線為 f(h, y,z) 0 x h 例求曲面和三個(gè)坐標(biāo)面的交線 (1) 2 x 2 y 16z2 64 解： 2 x 2 y 64 、 x2 16z264 、 y216z264 z 0 y 0 x 0 (2) 2 x 4y2 16z2 64 解：注意在yoz面上無交線 (3) x2 9y2 10z 解：在xoy面上交于一點(diǎn)(0,0) 五、求投影 1、求點(diǎn)在平面上的投影、求點(diǎn)到平面的距離、求關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn) 方法：(1)過點(diǎn)作直線垂直于平面，該直線的方向向量為平面的法向量 (2)求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在平面上

18、的投影 例5( 1)求點(diǎn)A(3,1, 1)在平面3x y z 200上的投影 (2)求點(diǎn)A(1,2, 5)到平面x y z 100的距離，并求該點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo) (1)求過直線 3x 2y 20且與點(diǎn)M (1,2,1)的距離為1的平面方程 x 2y z 60 2、求點(diǎn)在直線上的投影、求點(diǎn)到直線的距離、求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 方法：（1）過點(diǎn)作平面垂直于直線，該平面的法向量為直線的方向向量 （2）求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的投影 例6（ 1）求點(diǎn)A（1, 1,0）到直線 2 -LJ的距離，該點(diǎn)在直線上的投影 2 0 1 2y 3z 3 0 （2）求點(diǎn)M （1, 1,0）到直線 y的

19、距離 x y 0 3、直線在平面上的投影 方法：（1）過直線作平面和已知平面垂直，該平面的法向量為直線的方向向量和已知平面 法向量的外積 （2）聯(lián)立兩個(gè)平面方程所得直線為該直線在平面上的投影 2x 4y z 0 例7（ 1）求直線在平面4x y z 10上的投影直線的方程 3x y 2z 90 4y 7z 54x 5z 3 0 （2）直線在yoz面上的投影為，在xoz面上的投影為，求 x 0y 0 直線在xoy面上的投影 4、曲線f （x, y, z） 0在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影 g（x,y,z） 0 方法：（1）消去z得h-i （x, y） 0，則 z h1 (x, y) 0 0為曲線在x

20、oy面上的投影 (2)消去 x 得 h2(y,z) h2(y,z) x 0 0為曲線在yoz面上的投影 (3)消去 y 得 h3 (x, z) h3(x,z) y 0 0為曲線在xoz面上的投影 例（1）求球面x2 (2)把曲線2y 2 y 2 y 2 z 3z2 4x 8x 解：消去x得母線平行于 投影柱面方程y2 4x 9與平面x z 1的交線在xoy面上的投影柱面及投影 4z的方程用母線平行于 12z x軸的投影柱面方程 y2 z2 x軸和z軸的兩個(gè)投影柱面方程表 0，因此曲線可表示為 2 y 2 y 4z ；消去z得母線平行于z軸的 z2 4z 4x 0 五、求平面方程 1、過直線Ax

21、 Biy CiZ D! 0的平面方程可設(shè)為 A2x B2y C2z D20 (Ai x B1 y C1 z DJ(A2x B2y C2z D2) 0 如果直線方程是點(diǎn)向式或參數(shù)式可轉(zhuǎn)化為上述形式處理 x y z 40 例(i)在過直線的平面中找出一個(gè)平面，使原點(diǎn)到它的距離最長。 x 2y z 0 (2)平面過0Z軸，且與平面y z 0的夾角為600，求該平面方程 (兩平面夾角等于兩法向量的夾角或兩法向量的夾角的補(bǔ)角) (3)求過點(diǎn)M(1,0, 1)和直線 2 乂 三的平面方程 2 0 1 x 2z 40 (4)過直線作平面，使它平行于直線 3y z 8 0 (5)過平面2x y 2 0和4x

22、2y 3z 6的交線作切于球面 x 2 2 y z 4的平面 (6)求由平面 2x z 120, x 3y 17 0所構(gòu)成的兩面角的平分面方程 2、利用點(diǎn)法式求平面方程 注意：(1)任何垂直于平面的向量 n均可作為平面的法向量 (2)和平面 Ax By Cz D 0平行的平面可設(shè)為 Ax By Cz D1 (3)如存在兩個(gè)向量 a (a, a2, 83)、 b i j k 面的法向量為 n a b a1 a2 a3 b1 b2 bs 例(1)已知兩直線為 x 1 y 1 z 1 1 1 1 方程 (b1,b2,b3)和平面平行(或在平面內(nèi))，則平 x_3y1-_2，求過兩直線的平面 1 1 2

23、 (2)求過A(8, 3,1)和B(4,7,2)兩點(diǎn)，且垂直于平面 3x 5y z 210的平面 (3) 平面垂直于向量(2,1,2)且與坐標(biāo)面圍成的四面體體積為9,求平面方程 (4)已知球面x2y2 z2 2x 4y 6z 0與一通過球心且與直線 0 垂直的 z 0 平面相交，求它們的交線在 xoy面上的投影 1 3、軌跡法求方程 方法：(1)設(shè)平面上任一一點(diǎn) M(x,y,z)(2)列出含有x,y,z的方程化簡的平面方程 例求由平面x y 3z 10和x y 3z 0所構(gòu)成的二面角的平分面的方程 六、求直線方程 1、把直線的一般方程化為點(diǎn)向式方程 方法：已知直線方程為 Ax A2x B B?

24、y C1z C2z D1 D2 0 ，則該直線的方向向量為 0 A A2 j B1 B2 C1 C2 一，、x 在直線上任取一點(diǎn)(X0,y,z0)，則直線方程為 - x V1 y y。 V2 zz V3 2x y z 5 0 例化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程 2x y 3z 10 2、根據(jù)直線的方向向量求直線方程 例(1)過點(diǎn)M (0,1,2)，且平行于兩相交平面 x y 3z 10 和 x y 3z 20的直 線方程 x (2求過點(diǎn)M (2,4,0)，且與直線 y 2z 3z 0平行的直線方程 0 (3)求過點(diǎn)M (1,0, 2)，且與平面3x 4y 60平行，又與直線 垂直的直線方程 注意：一

25、直線和兩直線垂直；一直線和兩平面平行；一直線和一平面平行，和另一直線垂 注意：（1）兩直線平行，則 m1 m2 m3 ，其中（mm2,m3）和g, n?,門3）為直線的方 n3 向向量 （2）兩直線 x X0 y y。 zZ0 和x x1 y y1z z1相交，則 m1 m. 2 m3 n?門3 為 X。 y1 y。 乙 z m1 m2 m3 0且m1 m2 m3 n2n3 n2 直均可確定直線的方向向量 3、利用直線和直線的位置關(guān)系求直線方程 （3）兩直線 x Xo y y。 z zo 和 xXi yyi 乞一勺異面，其中公垂線的 m1 m2m3 n1 ijk 方向向量為 vm1m2m3 n

26、i匕n3 （v1,v2,v3），則兩異面直線的距離為 1一1 ；公垂線方 |v| x x y y0 z z m1 m2 m3 程為 V1 V2 V3 x x1 y y1 z 乙 6 n3 V1 V2 V3 0 0 例（1）求通過點(diǎn) M （1,1,1）且與兩直線- 丄 -和匚2 12321 都相交的直線 4 方程 （a,b,c），已知兩直線的方向向量為（1,2,3）、（2,1,4），且分 1 1 1 0 1 2 則 1 2 3 0，即卩 a 2b c 0 ； 2 1 4 a b c a b c 解：設(shè)所求直線的方向向量為 別過點(diǎn)（0,0,0）、（1,2,3） 0，即 卩 a 故 a 0,c 2b

27、，故(a, b, c) (0,1,2) 2b c 所求直線為 x 1 0 (2) 已知兩異面直線 y 1 z 1 ，求它們的距離與公垂線方 0 (3) 空平行且與下列兩直線相交的直線 1 (4) 5x 4x 求過點(diǎn)P(1, 2,3)與z軸相交, z 2x 4 z 3y 5 且與已知直線 習(xí)題 1、已知柱面的準(zhǔn)線為 (X 1)2 (y 3)2(z y z 2 0 2)2 25且 (1)母線平行于X軸(2) 母線平行于直線X y,z c，求柱面方程 2、已知柱面的準(zhǔn)線為 2 y 2z z2 母線垂直于準(zhǔn)線所在的方程, 求柱面方程 3、求過三條平行線 X y 乙x 1 y z 1, x 1 y 1

28、z 2的圓柱面方程 r 2 2z 1 o,y 4、求頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為X z 10的錐面方程 5、頂點(diǎn)為(3, 1, 2)， 4 小、r22 2 1, 準(zhǔn)線為X y z x y z 0，求錐面萬程 6、頂點(diǎn)為(1,2,4)，軸垂直于平面 2x 2y z 0 ,且過點(diǎn)(3,2,1)，求該圓錐面的方程 7、求下列旋轉(zhuǎn)曲面方程 (1)直線x 1 y 1 z 1 繞直線 X y z 1 1旋轉(zhuǎn) 1 1 2 1 1 2 (2)直線X y z 1 繞直線 xy z 1 旋轉(zhuǎn) 1 1 1 1 2 (3) 直線口 丄 z繞直線z旋轉(zhuǎn) 133 2 z X (4) 曲線繞直線z旋轉(zhuǎn) x y 1 8例求曲面和三個(gè)坐

29、標(biāo)面的交線 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) x 4y 16z64(2) x 9y 10z (3) x 4y 16z0 x y 4z 12 0 9 (1)求點(diǎn)P(2,0, 1)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 2x y 2z 3 0 (2)求點(diǎn)A(2,3, 1)到直線2X 2y Z 3 40的距離， 3x 2y 2z 170 10求直線 z 1 在平面x y 2z 10上的投影直線的方程 1 11求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面的投影柱面和投影 2 2 x y z 0 z x 1 x 2y 6z 5 3x 2y 10z7 2 2 x z 3yz 2x 3z 3 0 y z 10 2 z 2 z 2 2 x y 2y 12( 1)過直線X 2y x 2y z 60作平面，使它垂直于平面 z 0 x 2y z 0 (2) 求過點(diǎn)M(3,1, 2)和直線 乞/ 乞衛(wèi) -的平面方程 0 2 1 (3) 求過兩平面3x y 2z 20、x y 4z 30交線且與平面x y 2z 10 垂直的平面 (4)求過點(diǎn)M(2,0, 1)和直線