20高等代數(shù)下期末復(fù)習(xí)

1、第 六 章 線 性 空 間一 線性空間的判定線性空間中兩種運(yùn)算的條運(yùn)算規(guī)律缺一不可， 要證明一個(gè)集合是線性空間必須逐條驗(yàn)證若要證明某個(gè)集合對(duì)于所定義的兩種運(yùn)算不構(gòu) 成線性空間，只需說明在兩個(gè)封閉性和條運(yùn)算規(guī)律 中有一條不滿足即可。例：檢驗(yàn)以下集合對(duì)于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù) 域上的線性空間：1）次數(shù)等于 n（ n 1）的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，對(duì) 于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法；2）全體 n 階反對(duì)稱矩陣， 對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘 法；解： 1 ）否。因兩個(gè) n次多項(xiàng)式相加不一定是 n 次多 項(xiàng)式，例如（ xn 5）（ xn 2） 3。2） n 階矩陣的加法和和數(shù)量乘法滿足線性空間定 義的 18條性質(zhì)

2、，即全體 n 階矩陣對(duì)矩陣的加法和和 數(shù)量乘法是構(gòu)成線性空間的。 “全體 n 階反對(duì)稱矩陣” 是“n 階矩陣”的子集，故只需驗(yàn)證反對(duì)稱矩陣對(duì)加 法與數(shù)量乘法是否封閉即可。當(dāng) A， B為反對(duì)稱矩陣， k 為任意一實(shí)數(shù)時(shí)，有（ A+B ）=A +B =-A-B=-（A+B ），即 A+B仍是反對(duì)稱 矩陣。（kA） kA （k A） （kA），所以 kA 是反對(duì)稱矩陣。 故反對(duì)稱矩陣的全體構(gòu)成線性空間。 例： 齊次線性方程組 Ax=0 的全體解向量的集合，對(duì) 于向量的加法和數(shù)乘向量構(gòu)成一個(gè)線性空間，通常稱 為解空間。而非齊次線性方程組 A x=b 的全體解向量的集 合，在上述運(yùn)算下則不是線性空間，因

3、為它們的兩個(gè) 解向量的和已經(jīng)不是它的解向量。二、基 維數(shù) 坐標(biāo)定義: 在線性空間 V中，如果存在 n個(gè)線性無關(guān)的 向 量 1 , 2 , , n使 得 ： V 中 任 一 向 量 都 可 由1, 2, , n線性表示，那么， 1, 2, , n 就稱為 線性空間 V的一個(gè) 基， n稱為線性空間 V 的維數(shù)。記 作 dimV=n 。維數(shù)為 n 的線性空間稱為 n維線性空間。 定義（向量的坐標(biāo)）：設(shè) 1, 2 , , n 是線性空間 Vn 的 一個(gè)基。對(duì)于任一元素Vn ，總有且僅有一組有序數(shù) x1, x2, , xn,使1 1 2 2 n n則 x1, x2, , xn這組有序數(shù)就稱為元素 a在基

4、底1, 2, , n 下的坐標(biāo)，并記作 x x1,x2, , xn例： 在線性空間 R2 2 中，1000A1,A2,00 2 100100A3,A400401就是 R2 2 的一個(gè)基。 R2 2 的維數(shù)為 4. 任一 2 階矩陣A a c bdaA1 bA2 cA3 dA4因此 A在 A1, A2 , A3 , A4這個(gè)基下的坐標(biāo)為 a,b,c,d T 。若另取一個(gè)基1 0 1 0 1 1 1 1 B1 ,B2 ,B3 ,B41 0 0 2 1 0 3 1 0 4 1 1 則acA (a b)B1 (b c)B2 (c d)B3 dB4 bd因此 A在B1, B2 , B3 , B4這個(gè)基下

5、的坐標(biāo)為a b,b c,c d,d T。例：考慮全體 n 階對(duì)稱矩陣構(gòu)成的線性空間的基底和維數(shù)3) 解： n 階矩陣的加法和和數(shù)量乘法滿足線性空 間定義的 18條性質(zhì)，即全體 n 階矩陣對(duì)矩陣的加法 和和數(shù)量乘法是構(gòu)成線性空間的。 “全體 n 階對(duì)稱矩 陣”是“ n 階矩陣”的子集，故只需驗(yàn)證對(duì)稱矩陣對(duì) 加法與數(shù)量乘法是否封閉即可。 從而全體 n 階對(duì)稱矩 陣構(gòu)成的線性空間。 Eij Eji (1 i j n)即為它的一組 基。共1 2 n n(n2 1)個(gè)，維數(shù)是 n(n2 1)例：設(shè)1 (1,1,1,1), 2 (1,1, 1, 1),3 (1, 1,1 1), 4 (1, 1, 1,1)

6、, (1,2,1,1)。在 P4 中，求向量 在基 1, 2, 3, 4下的坐標(biāo) 設(shè)有線性關(guān)系 a 1 b 2 c 3 d 4 ，abcd1a b c d 2則 a b c d 1，a b c d 1可得 在基 1, 2, 3, 4 下的坐標(biāo)為a 5,b 1 ,c1,d444例：在 P4中，由齊次方程組3x1 2 x2 5x3 4x4 03x1 x2 3x3 3x4 03x1 5x 2 13x3 11x4 0 確定的解空間的基與維數(shù)。 解：對(duì)系數(shù)矩陣作行初等變換，有3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 43 1 3 3 0 3 8 7 0 3 8 73 5 13 11 0 3 8 7 0

7、 0 0 0所以解空間的維數(shù)是2，它的一組基為a11 , 8 ,1,0 ，9 3 ，a22, 7,0,1 。9 3 。例：設(shè)V1與V2 分別是齊次方程組x1 x2 . xn 0,x1 x2 . xn 1 xn的解空間， 證明： P n V1 V2.證： 由于 x1 x2 . xn 0的解空間是 n1 維的， 其基為 1 ( 1,1,0,.,0), 2 ( 1,0,1,.,0),., n 1 ( 1,0,0,.,1) 而由 x1 x2 . xn 1 xn 知其解空間是 1 維的，令 xn 1,則其基為(1,1,.,1).且 1, 2,., n 1, 即為 Pn的一組基，從而 P n V1 V2.

8、又 dim( Pn ) dim(V1) dim( V 2 ) ，(也可由交為零向量知) 故 Pn V1 V2.三、基變換與坐標(biāo)變換基變換：設(shè) 1, 2, , n 及 1, 2, , n是線性空間Vn中的兩個(gè)基，若1a11a212n1 n212 1a222n2 nn1n 1a2n2ann n或簡(jiǎn)記為( 1, 2, , n)a11a12a1n=( 1, 2, , n )a21a22a2nan1an2ann=（ 1, 2, , n ）A（）則矩陣 A稱為由基 1, 2, , n 到基 1, 2, , n的 過渡矩陣 。 （） 式稱為基變換公式 .坐標(biāo)變換： 設(shè)Vn中的元素 ，在基 1, 2, , n

9、 下 的坐標(biāo)為 x1,x2, ,xn T ，在基 1, 2, , n下的坐 標(biāo)為 y1,y2, ,yn T 。若兩個(gè)基滿足關(guān)系式（ 6-2）， 則有坐標(biāo)變換公式x11y1y1x11x2y2y21x2A，或=A 1xnynynxn第七章 線性變換一、線性變換的定義線性空間 V 到自身的映射稱為 V 的一個(gè)變換 . 定義： 線性空間 V 的一個(gè)變換 A 稱為線性變換， 如 果對(duì)于 V 中任意的元素 , 和數(shù)域 P 中任意數(shù) k ， 都有A ()= A ( )+ A ( );A(k )= Ak( ).般用花體拉丁字母 A，B，表示V 的線性變換， A( ) 或 A 代表元素 在變換 A 下的像 .例

10、 判別下面所定義的變換那些是線性的，那些不 是：1) 在線性空間 V 中，A, 其中V 是一固定的向量；2) 在線性空間 V 中，A其中 V 是一固定的向量；223)在 P3 中，A(x1,x2,x3) (x1 ,x2 x3,x3 ) ；4) 在 P3 中，A(x1,x2,x3) (2x1 x2,x2 x3,x1)； 解： 1) 當(dāng)0時(shí),是; 當(dāng)0時(shí), 不是。2)當(dāng) 0時(shí), 是;當(dāng)0時(shí), 不是。3) 不是 .例如當(dāng) (1,0,0) , k 2 時(shí), k A( ) (2,0,0) , A(k ) (4,0,0) ,A(k ) kA( )。4)是.因取(x1,x2,x3), (y1,y2,y3),

11、 有A() = A(x1 y1,x2 y2,x3 y3)=(2x1 2y1 x2 y2,x2 y2 x3 y3,x1 y1)=(2x1 x2,x2 x3,x1) (2y1 y2,y2 y3,y1) = A + A ，A(k ) A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 kx2 , kx2 kx3,kx1) (2kx1 kx2 , kx2 kx3,kx1)=k A( ) ，故 A是 P3 上的線性變換 、線性變換關(guān)于基的矩陣定義： 設(shè) 1, 2, , n是數(shù)域 P 上 n 維線性空 間V 的一組基， A 是V 中的一個(gè)線性變換 . 基向量的 像可以被基線性表出：1111212n1 nA2a121a

12、222an2 n ,n1n12n2nn n用矩陣表示就是A( 1, 2, , n)=(A( 1)，A( 2)， A( n )=12, n)A其中a11 a12a1na21 a22a2nA 21 22an1 an2ann矩陣 A稱為線性變換 A 在基 1, 2, , n 下的矩 陣.定理： 設(shè)線性變換 A 在基1, 2, , n 下的矩陣是 A ，向量 在基 1, 2, , n下的坐標(biāo)是 (x1,x2, ,xn),則 A 在基 1, 2, , n下的坐標(biāo) (y1,y2, ,yn) 可以按公式y(tǒng)1x1y2x2Aynxn計(jì)算.例： 在空間 Pxn 中，線性變換D f(x) f (x)2 n 1xx

13、在基 1,x, 2! , ,(n 1)! 下的矩陣是01000010D00010000三、同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系 . 線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起的 一般說來，隨著基的改變，同一個(gè)線性變換就有不同 的矩陣 . 為了利用矩陣來研究線性變換， 有必要弄清楚 線性變換的矩陣是如何隨著基的改變而改變的 . 定理： 設(shè)線性空間 V 中線性變換 A 在兩組1 2 n( 6)1 2 n （7）下的矩陣分別為 A 和 B ，從基（ 6）到（7）的過渡 矩陣是 X ，于是 B X 1AX .定理告訴我們，同一個(gè)線性變換 A 在不同基下的 矩陣之間的關(guān)系為 相似 .定義： 設(shè) A ， B

14、 為數(shù)域 P 上兩個(gè) n 級(jí)方陣， 如果可以找到數(shù)域 P 上的 n 級(jí)可逆方陣 X ，使得 B X 1AX ，就說 A 相似于 B ，記作 A B .相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面 三個(gè)性質(zhì)：1. 反身性： A A2. 對(duì)稱性：如果 A B ，那么 B A.3. 傳 遞 性 ： 如 果 A B , BC , 那 么 AC.線性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的；反 過來，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作同一個(gè) 線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣 .矩陣的相似對(duì)于運(yùn)算有下面的性質(zhì) .如果 B1 X 1A1X ,1B2 X A2 X ，那么B1 B2 X 1(A1 A2)X ,B1B2

15、X 1(A1A2 )X 由此可知，如果 B X 1AX ，且 f (x) 是數(shù)域 P 上 一多項(xiàng)式，那么f （B） X 1 f （A）X利用矩陣相似的這個(gè)性質(zhì)可以簡(jiǎn)化矩陣的計(jì)算例： R3上的線性變換 T 在基1 0 0 1 2 1012101110下的矩陣為 A0011 1 1則基在 1,22,下的矩陣為（A )141141（A）011（B）044121121121242（C）01211（D）024112221 =(-1,1,1),2 =(1,0,-1),3 =(0,1,1) 下的矩陣是1 0 11 1 0 ， 求 A在基1211=(1,0,0),解：因?yàn)椋?, 2, 3)=( 1, 2 ，

16、3)，所123)=( 1 ,=( 1, 2 ,)X，2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩陣。故 A在基 1, 2 ，110101111112=1011100112201111211013023下的矩陣為B X 1AX四、線性變換的特征值和特征向量 定義： 設(shè) A是數(shù)域 P 上線性空間 V的一個(gè)線性變換 , 如果對(duì)于數(shù)域 P 中一數(shù) , 存在一個(gè)非零向量 , 使 得A =（ 1）那么 稱為 A 的一個(gè)特征值 , 而 叫做 A 的屬于特征 值 的一個(gè)特征向量 .如果 是線性變換 A 的屬于特征值 的特征向 量，那么 的任何一個(gè)非零倍數(shù) k 也是 A 的屬于特 征值 的特征向量 .

17、這說明特征向量不是被特征值所 唯一決定的 . 相反，特征值卻是被特征向量所唯一決定 的，因?yàn)椋粋€(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值 . 特征值與特征向量的求法： 確定一個(gè)線性變換 A 的一 個(gè)特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步：1. 在線性空間 V 中取一組基1, 2, , n，寫出 A 在這組基下的矩陣 A ；2. 求出 A 的特征多項(xiàng)式 E A 在數(shù)域 P 中全部的根，它們也就是線性變換 A 的全部特征值；3. 把所求得的特征值逐個(gè)地代入方程組x11x2），對(duì)于每一個(gè)特征( E A) 2 0xn值，解方程組（），求出一組基礎(chǔ)解系，它們就是屬 于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量在基1, 2,

18、 , n 下的坐標(biāo)，這樣，也就求出了屬于每個(gè) 特征征的全部線性無關(guān)的特征向量 .矩陣 A 的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為 A 的特征值，而相應(yīng)的線性方程組（）的解也就稱為 A 的屬 于這個(gè)特征值的特征向量 .例 設(shè)線性變換 A 在基 1, 2 , 3下的矩陣是122A 2 1 22 2 1 ,求 A 的特征值與特征向量 .例 設(shè)矩陣 A 為142A 0 3 4 ,043（1） 問 A 能否相似于對(duì)角陣？（ 2）若能，求一個(gè)可逆矩陣 P ，使得 P 1 AP為對(duì)角陣 .例 在空間 Pxn 中，線性變換D f(x) f (x)在基 1,x,2 x 2!n1x(n 1)!下的矩陣是0 1 0 00 0

19、1 0D0 0 0 10 0 0 0D的特征多項(xiàng)式是1 0 00 1 0ED0 0 0 1因此，D 的特征值只有 0.通過解相應(yīng)的齊次線性方程 組知道，屬于特征值 0 的線性無關(guān)的特征向量組只能 是任一非零常數(shù) . 這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零 或非零的常數(shù) .五、線性變換的值域與核定義：設(shè) A是線性空間 V 的一個(gè)線性變換， A的 全體像組成的集合稱為 A 的值域，用 AV 表示 .所有 被 A 變成零向量的向量組成的集合稱為 A 的核，用 A 1(0) 表示.若用集合的記號(hào)則AV = A | V ,A 1(0)= | A 0, V 線性變換的值域與核都是 V 的子空間 .AV 的維數(shù)稱為

20、 A 的秩，A 1(0) 的維數(shù)稱為 A 的 零度.第九章 歐氏空間一、歐氏空間舉例例 1 在線性空間 Rn中, 對(duì)于向量(a1,a2, ,an), (b1,b2, ,bn) , 定義內(nèi)積( , ) a1b1 a2b2anbn. (1)則內(nèi)積 (1) 適合定義中的條件，這樣 Rn 就成為一 個(gè)歐幾里得空間 . 仍用來表示這個(gè)歐幾里得空間 .例 2 在 R 里 , 對(duì)于向量(a1,a2, ,an),(b1,b2, ,bn)定義內(nèi)積( , ) a1b1 2a2b2nanbn.則內(nèi)積 (1) 適合定義中的條件， 這樣 Rn 就也成為一個(gè) 歐幾里得空間 .對(duì)同一個(gè)線性空間可以引入不同的內(nèi)積 , 使得它 作成不同的歐幾里得空間 .例 3 在閉區(qū)間 a,b 上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成的空 間C(a,b)中,對(duì)于函數(shù) f (x),g(x)定義內(nèi)積b( f ( x), g( x) a f (x)g(x)dx.C