例談提高競賽數學趣味性的教學策略

1、例談提高競賽數學趣味性的教學策略商丘市第一高級中學翟永恒例談提高競賽數學趣味性的教學策略翟永恒（商丘市一高 河南 商丘476000）摘要：競賽數學是我國數學教育的一個強項，但目前相關教師普遍采用“超前學習，機械訓練”的方式進行教學，學生無法到感受學習的樂趣這就不可避免的引發(fā)了諸多弊端, 因此非常有必要從教的角度對如何提高競賽數學數的趣味性進行研究 關鍵詞：競賽數學；興趣；數學史；數學實驗1 問題的提出國際數學奧林匹克競賽（簡稱IMO，俗稱奧數）的教育價值毋庸置疑1，但是，近年來受功利主義的驅動，“奧數”出現了泛化的趨勢，許多小學數學競賽都被冠以“奧數”的頭銜，出現了“全民奧數”的不正?，F象，引

2、起許多人對奧數的批判和反思國家的政策導向也因此采取了適當調整，比如很多省區(qū)都取消了高考奧數加分政策，從而使中學奧數更加健康的發(fā)展 從世界范圍看，許多現代數學家都有參加數學競賽的經歷但有人對我國獲得IMO獎牌的選手進行了追蹤調查，發(fā)現“這些公認的數學尖子基本上沒有在數學研究上做出突出成就的，甚至鮮有喜歡數學的” 是什么原因導致這種現象呢？丘成桐先生一針見血的指出：“國外奧數考得好的學生，往往能夠成才，而我們的學生不一定能成才，因為國內是機械性的學數學，不是出于興趣” 目前，我們的奧數教學存在很多問題，應試教育和功利主義的色彩非常明顯教師大多采用“題海戰(zhàn)術”進行教學，根本不注意教學的趣味性，使許多

3、本來對數學非常感興趣的同學對奧數乃至數學產生了厭惡和恐懼 因此，我們非常有必要從教的角度深入探討如何提高奧數的趣味性，使學生由純粹因為“好勝”轉變?yōu)橛捎凇昂闷妗倍鴮W習奧數 此外，為了與已被泛化的“奧數”一詞相區(qū)別，下文將在相應的地方使用“競賽數學”，同時將其限定在中學，尤其是高中范圍內進行討論 2 競賽數學的基本特點數學競賽是關于解題活動的比賽，相應的，解題就成了競賽數學的核心就內容而言，競賽數學涉及代數、幾何、初等數論、組合、圖論等多個領域，在廣度和深度上都對中學數學進行了大幅度加深 相對常規(guī)數學，競賽數學的問題大多離實際生活背景較遠（與大學基礎數學專業(yè)的研究有很多相似之處），數學的抽象、嚴

4、謹等基本特點表現的尤為突出此外，數學競賽側重對選手數學創(chuàng)新能力的考察，因此競賽數學的靈活性極強，具有非模式化的特點，且大多具有一定的高等數學背景，依靠“題海戰(zhàn)術”的方法在數學競賽中是不可能取得好成績的從教學的角度看，競賽數學的學習是非強制性的，學生主要利用課余時間進行學習，教學時間緊、任務重，多數教師都是單純的采用講授法進行教學 雖然這樣提高了教學效率，但不利于提高學生的學生學習興趣此外，競賽數學的教學對象一般具有基礎扎實、數學直覺敏銳、抽象思維和邏輯推理能力較強的特點3 提高競賽數學趣味性的教學策略理論與實踐都已表明：在常規(guī)數學教學中，引入數學史和數學實驗，加強與實際應用的聯系可以提高學生的

5、學習興趣，明顯改善教學效果鑒于此，我們嘗試將上述三種方法引入到競賽數學教學中，具體分類如下： 31 融入數學史數學競賽，尤其是IMO的試題大多具有深厚的數學史背景，甚至直接來自某些著名的定理或歷史名題例如第一屆數學奧林匹克國家集訓隊就提供了這樣一道訓練題：試題1 設為實多項式，且對任何，（即是正定的）求證：存在多項式，使2 說明：本題其實有著深厚的歷史背景在1900年，德國數學家希爾伯特（Hilbert）在巴黎國際數學家大會上提出了23個數學問題，即著名的Hilbert問題，引導了整個20世紀世界數學研究的潮流此題就來源于其中的第17個問題：關于的實系數正定有理函數是否一定可表成有限個關于的實

6、系數有理函數的平方和3在教學中，將數學問題的這種背景展示給學生，可以很好的激發(fā)學生的學習熱情，使他們以研究的角度看待競賽數學學習，而不是單純的為了應試而學 32 加強與實際應用的聯系從表面上看，競賽數學研究的對象大多遠離實際應用，以至于許多人把數學競賽看作是純粹的智力挑戰(zhàn) 其實與實際應用沒有任何關聯的數學是不存在的，即使以往被認為“最純潔”的數論，今天也已經被廣泛運用在信息安全等領域 再者，人畢竟不能“不食人間煙火”，學生還是希望能學到“有用”的數學,因此將競賽數學與實際應用聯系起來能夠極大的激發(fā)學生的學習興趣 雖然這類競賽試題出現的相對較少，但是也有不少成功的嘗試 例如，1978年北京市數學

7、競賽就以著名的Butchart-Moster定理的一個推論（定理1）為基礎，設計了一個與實際應用密切相關的競賽題 定理1 設，則函數存在唯一的極小值試題2：圖一是一個化工廠的地圖，一條公路（粗線）通過這個地區(qū)，七個工廠分布在公路兩側，由一些小路（細線）與公路相連 現在要在公路上設一個長途汽車站，車站到個工廠（沿公路、小路走）的距離總和越小越好，問：（1） 這個車站設在什么地方最好？（2） 證明你所做的結論；（3） 如果在P的地方又建立了一個工廠，并且沿著圖上的虛線修了一條小路，那么這時車站設在什么地方好？分析:與P到距離之和是定值，記為 可將公路拉直，則B、C、D、E、F的位置關系不變，且它們

8、的距離之和不變，即這個拉直變換既保序又保距，可以將該直線視為數軸設長途汽車站設在處，則問題變?yōu)榍螅渲蟹謩e表示B、C、D、E、F到原點的距離（第三問與之類似），這樣就轉化成了定理1的形式，進而可以求的最小值點2 33 引入數學實驗 數學學習是一個由直觀到抽象，由簡單到復雜的認知過程 借助數學實驗，可以豐富學生的直觀經驗，為下一步的抽象、概括打下必要的基礎 由于競賽數學的問題復雜且抽象，因此，與常規(guī)教學中一般采用活動、操作的實驗方法不同，競賽數學中的實驗往往要借助編程和專業(yè)數學軟件才能完成，更類似于專業(yè)數學研究者的數學實驗方法 一般來說，我們可以將競賽數學中的數學實驗分為兩大類：基于算法思想的驗

9、證歸納模式和基于圖形變化的模擬演示模式，下面進行簡要介紹 231驗證歸納模式競賽數學的問題很多都涉及“無限”或大數字（如涉及數論的問題），通過手工計算進行驗證、歸納的難度較大使用計算機可以將學生從繁瑣的機械計算中解放出來，將精力集中在算法的設計和尋找證明的思路等更富創(chuàng)造性的活動上 本類型數學實驗的關鍵是設計與題設相應的算法，并使用高級程序設計語言實現之試題3(2002年IMO)：設為大于1的整數，全部正因數為，且滿足，記（a） 求證：（b）確定所有，使得D能整除 3 分析：使用程序設計語言分別實現求的所有因數和D的函數，如將函數分別命名為myfactor()和D()，并搜索某一范圍內滿足（b）

10、的所有由于相關算法比較簡單，故不再給出具體代碼，僅給出部分運行結果：如令，調用myfactor(32)結果為1, 2, 4, 8 , 6, 32，調用D(32)結果為682 從特例不僅可以驗證(a)成立，還容易發(fā)現：若是的正因數，則也是的正因數，進而發(fā)現，并最終解決問題（證明略） 若限定，搜索出使D能整除的所有為：2，3，5，7，11，13，7，19，23，29，31，37，41，43，47 則容易得出猜想：當且僅當是質數時滿足題意 進而用反證法進行證明猜想即可，證明略 232 模擬演示模式本類型的數學實驗主要是借助幾何畫板、Matlab等專業(yè)軟件，直觀演示相關量的運動變化過程， 揭示其規(guī)律，

11、進而解決問題 試題4(2005年IMO)：給定凸四邊形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD設點F和E分別在邊BC和AD內部，滿足BF=DE直線AC和BD相交于P，直線BD和EF相交于Q，直線EF和AC相交于R求證：當E、F變動時，的外接圓除經過P外還過另一個定點 3 分析：在動態(tài)軟件geogebra中根據題設構建相應模型，如圖二所示，為動態(tài)參數，其值等于BF、DE長度，則點F、E會分別在 BC和AD上移動在此過程中，觀察的外接圓，可以發(fā)現它除一定過P外，還總過內一點，由此大膽猜想：該定點為完全四邊形（也稱為完全四線形）APBGDC的米格爾（Miqueil）點3在geogebra中構造該點，即作，的外接圓交點H，調整的值，發(fā)現H總在外接圓上，所以猜想成立，證明略3結束語 筆者堅信，作為數學基礎教育的一個分支，競賽數學必須要遵循數學教學的一般規(guī)律在目前教學改革的背景下，競賽數學教學也應當與時俱進的進行教學方法的改革，決不能再使用那種“超前學習，題海訓練” 的填鴨式教學方法 當然，凡事過猶不及首先，競賽數學的一個重要教學目標是培養(yǎng)學生更強的（相對非奧數學習者）抽象思維能力和空間想象能力，過度強調增加數學史、數學實驗等豐富學生直觀體驗的內容