例談提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)趣味性的教學(xué)策略

1、例談提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)趣味性的教學(xué)策略商丘市第一高級(jí)中學(xué)翟永恒例談提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)趣味性的教學(xué)策略翟永恒（商丘市一高 河南 商丘476000）摘要：競(jìng)賽數(shù)學(xué)是我國數(shù)學(xué)教育的一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)，但目前相關(guān)教師普遍采用“超前學(xué)習(xí)，機(jī)械訓(xùn)練”的方式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生無法到感受學(xué)習(xí)的樂趣這就不可避免的引發(fā)了諸多弊端, 因此非常有必要從教的角度對(duì)如何提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)數(shù)的趣味性進(jìn)行研究 關(guān)鍵詞：競(jìng)賽數(shù)學(xué)；興趣；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1 問題的提出國際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（簡稱IMO，俗稱奧數(shù)）的教育價(jià)值毋庸置疑1，但是，近年來受功利主義的驅(qū)動(dòng)，“奧數(shù)”出現(xiàn)了泛化的趨勢(shì)，許多小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽都被冠以“奧數(shù)”的頭銜，出現(xiàn)了“全民奧數(shù)”的不正常現(xiàn)象，引

2、起許多人對(duì)奧數(shù)的批判和反思國家的政策導(dǎo)向也因此采取了適當(dāng)調(diào)整，比如很多省區(qū)都取消了高考奧數(shù)加分政策，從而使中學(xué)奧數(shù)更加健康的發(fā)展 從世界范圍看，許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)家都有參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的經(jīng)歷但有人對(duì)我國獲得IMO獎(jiǎng)牌的選手進(jìn)行了追蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn)“這些公認(rèn)的數(shù)學(xué)尖子基本上沒有在數(shù)學(xué)研究上做出突出成就的，甚至鮮有喜歡數(shù)學(xué)的” 是什么原因?qū)е逻@種現(xiàn)象呢？丘成桐先生一針見血的指出：“國外奧數(shù)考得好的學(xué)生，往往能夠成才，而我們的學(xué)生不一定能成才，因?yàn)閲鴥?nèi)是機(jī)械性的學(xué)數(shù)學(xué)，不是出于興趣” 目前，我們的奧數(shù)教學(xué)存在很多問題，應(yīng)試教育和功利主義的色彩非常明顯教師大多采用“題海戰(zhàn)術(shù)”進(jìn)行教學(xué)，根本不注意教學(xué)的趣味性，使許多

3、本來對(duì)數(shù)學(xué)非常感興趣的同學(xué)對(duì)奧數(shù)乃至數(shù)學(xué)產(chǎn)生了厭惡和恐懼 因此，我們非常有必要從教的角度深入探討如何提高奧數(shù)的趣味性，使學(xué)生由純粹因?yàn)椤昂脛佟鞭D(zhuǎn)變?yōu)橛捎凇昂闷妗倍鴮W(xué)習(xí)奧數(shù) 此外，為了與已被泛化的“奧數(shù)”一詞相區(qū)別，下文將在相應(yīng)的地方使用“競(jìng)賽數(shù)學(xué)”，同時(shí)將其限定在中學(xué)，尤其是高中范圍內(nèi)進(jìn)行討論 2 競(jìng)賽數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽是關(guān)于解題活動(dòng)的比賽，相應(yīng)的，解題就成了競(jìng)賽數(shù)學(xué)的核心就內(nèi)容而言，競(jìng)賽數(shù)學(xué)涉及代數(shù)、幾何、初等數(shù)論、組合、圖論等多個(gè)領(lǐng)域，在廣度和深度上都對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行了大幅度加深 相對(duì)常規(guī)數(shù)學(xué)，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的問題大多離實(shí)際生活背景較遠(yuǎn)（與大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的研究有很多相似之處），數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)

4、謹(jǐn)?shù)然咎攸c(diǎn)表現(xiàn)的尤為突出此外，數(shù)學(xué)競(jìng)賽側(cè)重對(duì)選手?jǐn)?shù)學(xué)創(chuàng)新能力的考察，因此競(jìng)賽數(shù)學(xué)的靈活性極強(qiáng)，具有非模式化的特點(diǎn)，且大多具有一定的高等數(shù)學(xué)背景，依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”的方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中是不可能取得好成績的從教學(xué)的角度看，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是非強(qiáng)制性的，學(xué)生主要利用課余時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)，教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重，多數(shù)教師都是單純的采用講授法進(jìn)行教學(xué) 雖然這樣提高了教學(xué)效率，但不利于提高學(xué)生的學(xué)生學(xué)習(xí)興趣此外，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的教學(xué)對(duì)象一般具有基礎(chǔ)扎實(shí)、數(shù)學(xué)直覺敏銳、抽象思維和邏輯推理能力較強(qiáng)的特點(diǎn)3 提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)趣味性的教學(xué)策略理論與實(shí)踐都已表明：在常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引入數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，加強(qiáng)與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系可以提高學(xué)生的

5、學(xué)習(xí)興趣，明顯改善教學(xué)效果鑒于此，我們嘗試將上述三種方法引入到競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué)中，具體分類如下： 31 融入數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)競(jìng)賽，尤其是IMO的試題大多具有深厚的數(shù)學(xué)史背景，甚至直接來自某些著名的定理或歷史名題例如第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊(duì)就提供了這樣一道訓(xùn)練題：試題1 設(shè)為實(shí)多項(xiàng)式，且對(duì)任何，（即是正定的）求證：存在多項(xiàng)式，使2 說明：本題其實(shí)有著深厚的歷史背景在1900年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題，即著名的Hilbert問題，引導(dǎo)了整個(gè)20世紀(jì)世界數(shù)學(xué)研究的潮流此題就來源于其中的第17個(gè)問題：關(guān)于的實(shí)系數(shù)正定有理函數(shù)是否一定可表成有限個(gè)關(guān)于的實(shí)

6、系數(shù)有理函數(shù)的平方和3在教學(xué)中，將數(shù)學(xué)問題的這種背景展示給學(xué)生，可以很好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們以研究的角度看待競(jìng)賽數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而不是單純的為了應(yīng)試而學(xué) 32 加強(qiáng)與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系從表面上看，競(jìng)賽數(shù)學(xué)研究的對(duì)象大多遠(yuǎn)離實(shí)際應(yīng)用，以至于許多人把數(shù)學(xué)競(jìng)賽看作是純粹的智力挑戰(zhàn) 其實(shí)與實(shí)際應(yīng)用沒有任何關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)是不存在的，即使以往被認(rèn)為“最純潔”的數(shù)論，今天也已經(jīng)被廣泛運(yùn)用在信息安全等領(lǐng)域 再者，人畢竟不能“不食人間煙火”，學(xué)生還是希望能學(xué)到“有用”的數(shù)學(xué),因此將競(jìng)賽數(shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來能夠極大的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 雖然這類競(jìng)賽試題出現(xiàn)的相對(duì)較少，但是也有不少成功的嘗試 例如，1978年北京市數(shù)學(xué)

7、競(jìng)賽就以著名的Butchart-Moster定理的一個(gè)推論（定理1）為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了一個(gè)與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)的競(jìng)賽題 定理1 設(shè)，則函數(shù)存在唯一的極小值試題2：圖一是一個(gè)化工廠的地圖，一條公路（粗線）通過這個(gè)地區(qū)，七個(gè)工廠分布在公路兩側(cè)，由一些小路（細(xì)線）與公路相連 現(xiàn)在要在公路上設(shè)一個(gè)長途汽車站，車站到個(gè)工廠（沿公路、小路走）的距離總和越小越好，問：（1） 這個(gè)車站設(shè)在什么地方最好？（2） 證明你所做的結(jié)論；（3） 如果在P的地方又建立了一個(gè)工廠，并且沿著圖上的虛線修了一條小路，那么這時(shí)車站設(shè)在什么地方好？分析:與P到距離之和是定值，記為 可將公路拉直，則B、C、D、E、F的位置關(guān)系不變，且它們

8、的距離之和不變，即這個(gè)拉直變換既保序又保距，可以將該直線視為數(shù)軸設(shè)長途汽車站設(shè)在處，則問題變?yōu)榍螅渲蟹謩e表示B、C、D、E、F到原點(diǎn)的距離（第三問與之類似），這樣就轉(zhuǎn)化成了定理1的形式，進(jìn)而可以求的最小值點(diǎn)2 33 引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)由直觀到抽象，由簡單到復(fù)雜的認(rèn)知過程 借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以豐富學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)，為下一步的抽象、概括打下必要的基礎(chǔ) 由于競(jìng)賽數(shù)學(xué)的問題復(fù)雜且抽象，因此，與常規(guī)教學(xué)中一般采用活動(dòng)、操作的實(shí)驗(yàn)方法不同，競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的實(shí)驗(yàn)往往要借助編程和專業(yè)數(shù)學(xué)軟件才能完成，更類似于專業(yè)數(shù)學(xué)研究者的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法 一般來說，我們可以將競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為兩大類：基于算法思想的驗(yàn)

9、證歸納模式和基于圖形變化的模擬演示模式，下面進(jìn)行簡要介紹 231驗(yàn)證歸納模式競(jìng)賽數(shù)學(xué)的問題很多都涉及“無限”或大數(shù)字（如涉及數(shù)論的問題），通過手工計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證、歸納的難度較大使用計(jì)算機(jī)可以將學(xué)生從繁瑣的機(jī)械計(jì)算中解放出來，將精力集中在算法的設(shè)計(jì)和尋找證明的思路等更富創(chuàng)造性的活動(dòng)上 本類型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)與題設(shè)相應(yīng)的算法，并使用高級(jí)程序設(shè)計(jì)語言實(shí)現(xiàn)之試題3(2002年IMO)：設(shè)為大于1的整數(shù)，全部正因數(shù)為，且滿足，記（a） 求證：（b）確定所有，使得D能整除 3 分析：使用程序設(shè)計(jì)語言分別實(shí)現(xiàn)求的所有因數(shù)和D的函數(shù)，如將函數(shù)分別命名為myfactor()和D()，并搜索某一范圍內(nèi)滿足（b）

10、的所有由于相關(guān)算法比較簡單，故不再給出具體代碼，僅給出部分運(yùn)行結(jié)果：如令，調(diào)用myfactor(32)結(jié)果為1, 2, 4, 8 , 6, 32，調(diào)用D(32)結(jié)果為682 從特例不僅可以驗(yàn)證(a)成立，還容易發(fā)現(xiàn)：若是的正因數(shù)，則也是的正因數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，并最終解決問題（證明略） 若限定，搜索出使D能整除的所有為：2，3，5，7，11，13，7，19，23，29，31，37，41，43，47 則容易得出猜想：當(dāng)且僅當(dāng)是質(zhì)數(shù)時(shí)滿足題意 進(jìn)而用反證法進(jìn)行證明猜想即可，證明略 232 模擬演示模式本類型的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要是借助幾何畫板、Matlab等專業(yè)軟件，直觀演示相關(guān)量的運(yùn)動(dòng)變化過程， 揭示其規(guī)律，

11、進(jìn)而解決問題 試題4(2005年IMO)：給定凸四邊形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD設(shè)點(diǎn)F和E分別在邊BC和AD內(nèi)部，滿足BF=DE直線AC和BD相交于P，直線BD和EF相交于Q，直線EF和AC相交于R求證：當(dāng)E、F變動(dòng)時(shí)，的外接圓除經(jīng)過P外還過另一個(gè)定點(diǎn) 3 分析：在動(dòng)態(tài)軟件geogebra中根據(jù)題設(shè)構(gòu)建相應(yīng)模型，如圖二所示，為動(dòng)態(tài)參數(shù)，其值等于BF、DE長度，則點(diǎn)F、E會(huì)分別在 BC和AD上移動(dòng)在此過程中，觀察的外接圓，可以發(fā)現(xiàn)它除一定過P外，還總過內(nèi)一點(diǎn)，由此大膽猜想：該定點(diǎn)為完全四邊形（也稱為完全四線形）APBGDC的米格爾（Miqueil）點(diǎn)3在geogebra中構(gòu)造該點(diǎn)，即作，的外接圓交點(diǎn)H，調(diào)整的值，發(fā)現(xiàn)H總在外接圓上，所以猜想成立，證明略3結(jié)束語 筆者堅(jiān)信，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的一個(gè)分支，競(jìng)賽數(shù)學(xué)必須要遵循數(shù)學(xué)教學(xué)的一般規(guī)律在目前教學(xué)改革的背景下，競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)當(dāng)與時(shí)俱進(jìn)的進(jìn)行教學(xué)方法的改革，決不能再使用那種“超前學(xué)習(xí)，題海訓(xùn)練” 的填鴨式教學(xué)方法 當(dāng)然，凡事過猶不及首先，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生更強(qiáng)的（相對(duì)非奧數(shù)學(xué)習(xí)者）抽象思維能力和空間想象能力，過度強(qiáng)調(diào)增加數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等豐富學(xué)生直觀體驗(yàn)的內(nèi)容