高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：從一道習(xí)題的錯解談某類數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

1、從一道習(xí)題的錯解談某類數(shù)學(xué)概念的教學(xué)摘要：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多重要概念將逐步發(fā)展與深化。本文從一道習(xí)題出發(fā)，以曲線的切線概念為例，探討這一類數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的注意點。關(guān)鍵詞：切線 數(shù)學(xué)概念 概念發(fā)展 概念教學(xué)1 問題發(fā)現(xiàn)本人在高三復(fù)習(xí)課中碰到這樣一道習(xí)題：例（04 重慶）：已知曲線，則過點的切線方程是 .學(xué)生錯解：求導(dǎo)得：，所以在點的切線斜率為，故所求的切線方程為：，即2 問題討論錯解分析：從學(xué)生的解答過程中看出學(xué)生錯誤的認(rèn)為點即為直線與曲線的切點，而由題意切線只是過p點，學(xué)生忽略了另一種情況：直線過點p而與曲線相切與另一點。錯因探究：從表面看學(xué)生的錯誤只是把“過點p”理解為“相切于點p”，但經(jīng)過

2、與做錯學(xué)生們的交流，發(fā)現(xiàn)其錯誤有更深層次的原因。在學(xué)生的意識中，對切線的概念有這樣一個錯誤的認(rèn)識：過曲線上的一點，只能做曲線的一條切線。該認(rèn)識的進一步表現(xiàn)即為曲線的切線與曲線只有唯一的一個交點。追本溯源：明確了學(xué)生的錯誤所在后，本人進一步從學(xué)生學(xué)習(xí)切線這一概念的過程中去思考產(chǎn)生錯誤的原因。學(xué)生最早接觸切線這一概念是在初中學(xué)習(xí)圓的切線：當(dāng)直線與圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切。其中的直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點。從該定義可以看出學(xué)生對切線最初的印象是：與曲線只有唯一的交點。這也是學(xué)生記憶最深的印象。然后高一、高二的時候?qū)W生進一步學(xué)習(xí)了直線和二次曲線相切的情況，從形的角度得出了這樣一個

3、結(jié)論：直線與二次曲線相切時，直線與曲線只有一個交點；但直線與曲線只有一個交點時，直線和曲線不一定相切。如雙曲線時，直線與漸近線平行，以及拋物線時，直線與對稱軸平行，這兩種情況直線與曲線都只有一個交點，但直線與曲線是相交，而不是相切。從數(shù)的角度，把直線的方程和二次曲線的方程聯(lián)立起來，在二次項系數(shù)不為零時，若二次方程的判別式等于零，則直線和曲線是相切的。高一高二的學(xué)習(xí)雖然使學(xué)生從“若直線與曲線只有唯一的交點則直線與曲線相切”這一認(rèn)識誤區(qū)走出來，但也加深了學(xué)生對“若直線與曲線相切則直線與曲線只有唯一的交點”這一錯誤的認(rèn)識。接著，在高三導(dǎo)數(shù)這章導(dǎo)數(shù)的概念這節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們接觸到了切線的嚴(yán)格定義：設(shè)p

4、是曲線上的定點，q是曲線上的動點，當(dāng)點q沿著曲線無限接近于點p時，如果割線pq有一個極限位置pt，那么直線pt叫做曲線在p點處的切線。在這里切線被定義為過曲線上定點的割線的極限位置。但在這節(jié)教學(xué)中，教學(xué)重點放在了導(dǎo)數(shù)的幾何意義（即函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線在該點處的切線的斜率）上了，沒有重點突出切線的概念，也沒有將這一概念和學(xué)生以前的認(rèn)知進行很好的分析比較，以至于學(xué)生還有錯誤的認(rèn)識：曲線的切線與曲線就只有一個交點。而這一錯誤認(rèn)識在解題中就表現(xiàn)為過點只能做已知曲線的一條切線.綜上所訴，曲線切線概念的發(fā)展過程對學(xué)生形成概念產(chǎn)生了負(fù)遷移，從而造成學(xué)生概念不清，引起解題錯誤。3 問題解決明確了學(xué)生錯誤

5、的源由，本人詳細(xì)講解了切線這一概念的由來與發(fā)展，并舉例對比分析了各個階段切線概念的不同點及切線概念發(fā)展的必要性，最后借助于幾何畫板作出過點與曲線相切的兩條直線和,給學(xué)生以具體直觀的印象。圖1.割線pq 圖2.切于點 圖3.切于點正解：設(shè)過點的直線與曲線相切于點.因為，所以所求的切線斜率為，故切線方程為：.與曲線方程聯(lián)立得：.因為點為直線與曲線的切點，故，即.解得：.當(dāng)時，切點為，切線方程為：，即；當(dāng)時，切點為，切線方程為：，即.綜上，所求的切線方程為：或.4 問題反思本例的錯解是由于概念不清而造成的。概念是數(shù)學(xué)的根本，數(shù)學(xué)的教學(xué)首先是概念的教學(xué)。在高中階段數(shù)學(xué)的概念可以簡單的分為兩類：一類是以

6、前不曾接觸過的，完全陌生的概念，如：集合，數(shù)列，向量，極限，導(dǎo)數(shù)的概念等等；另一類是已經(jīng)有所接觸或是似曾相識，是由原有的概念發(fā)展而來的，如：數(shù)的概念，角的概念，函數(shù)的概念，指數(shù)的概念，曲線的切線概念等等。第二類情況我們稱之為概念的發(fā)展。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多重要概念將逐步發(fā)展與深化。這是因為，一方面事物的本身是發(fā)展、變化的，因而反映事物的概念也要隨之發(fā)展、變化；另一方面，由于人們的認(rèn)識是不斷深化的，因而事物的概念也要隨之起變化。例如“函數(shù)”概念，初中學(xué)生只能作“對于給定區(qū)間上的每一個x值都有唯一的一個y值與之對應(yīng)，則y就是x的函數(shù)”之類的直觀理解，而高中學(xué)生就可以用集合的語言，從映射的觀點出發(fā)來理

7、解，大學(xué)生則可以用“關(guān)系語言”來理解它。概念的發(fā)展包括以下三方面的情況：第一，概念發(fā)展以后，與原概念有不同的含義。如初中時候?qū)W習(xí)銳角三角函數(shù)，到高一時發(fā)展為任意角的三角函數(shù)，意義上有了變化，銳角三角函數(shù)的定義不再適用了。第二，概念發(fā)展以后更抽象化、一般化，但后者仍包含了前者。如實數(shù)的絕對值概念發(fā)展到復(fù)數(shù)的模概念，顯然，比更抽象，更一般化，但當(dāng)時，這兩者又是一致的。第三，隨著學(xué)生知識的增加，概念的外延不斷擴大。如角的概念，開始限于的角，以后發(fā)展到的角，再發(fā)展到任意角，然后在立體幾何這一章節(jié)中，又從平面角擴展為空間中的角。對于這一類的概念，在教學(xué)中，本人認(rèn)為應(yīng)該注意以下幾點：1）、使學(xué)生認(rèn)識概念的

8、由來和發(fā)展應(yīng)該使學(xué)生認(rèn)識到，對于某類數(shù)學(xué)概念，是分幾個階段逐步學(xué)習(xí)的。在一定的階段里，有確定的含義，隨著知識的擴充和發(fā)展以及人們認(rèn)知的深化，這些概念也隨之不斷發(fā)展與深化。例如，切線的概念。初中階段只是指圓的切線，只需用直線與圓的交點個數(shù)來加以定義，在高中階段，擴展到任意曲線的切線，切線改用割線的極限來加以定義了。2）、使學(xué)生認(rèn)識到概念發(fā)展的必要性和合理性概念的發(fā)展往往是出于實際的需要。例如，數(shù)的概念的發(fā)展。最早，由于人類狩獵和計數(shù)的需要，形成了自然數(shù)的概念。以后，在測量和分配中，需要對作為一個整體的量進行分割，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。接著，由于認(rèn)識不可公度的線段，相應(yīng)地出現(xiàn)了無理數(shù)。由于要用數(shù)來表示具有相

9、反意義的量的需要，引進了負(fù)數(shù)。至于虛數(shù)，首先是由于數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要引進的，但只有在后來獲得了非?，F(xiàn)實的解釋和在數(shù)學(xué)之外的重要應(yīng)用的情況下才被確認(rèn)的。3）、比較分析原有概念和新概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，鞏固和深化新概念新概念是由原有概念發(fā)展而來的，因此教學(xué)中往往是以概念同化的方式讓學(xué)生獲得新概念。在新概念的學(xué)習(xí)中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念起重要作用，它與新概念相互作用，結(jié)果將新概念固定到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的適當(dāng)部位，并使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，獲得新的意義。但在學(xué)生獲得新的意義以后，新舊知識的相互作用并沒有停止，新意義的保持和遺忘是同一相互作用過程的繼續(xù)。在知識的組織過程中，原有較鞏固的觀念傾向于代替或擦去新

10、的不穩(wěn)定意義的痕跡，在奧蘇伯爾同化論中，將這一過程稱之為遺忘性同化。例如，在曲線的切線概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生原有的觀念是“曲線的切線是與曲線只有唯一交點的直線”，而新的概念是“曲線是割線在切點處的極限”。在切線的概念學(xué)習(xí)了一段時間后，學(xué)生的意識中就傾向于用原有的觀念來代替或擦去新的認(rèn)知，從而犯下本文一開始的解題錯誤。教師在概念的教學(xué)中應(yīng)該舉例分析清楚原有概念和新概念之間的區(qū)別，并應(yīng)選擇或編擬不同的習(xí)題，指導(dǎo)學(xué)生進行練習(xí)，以便鞏固新概念。例如，在切線的教學(xué)中，可以舉例：直線與正弦曲線相切于無數(shù)個點，以加深學(xué)生對切線概念的理解。4）、借助現(xiàn)代多媒體技術(shù)給學(xué)生以直觀、具體的印象 學(xué)生的認(rèn)知都有一個從具體到抽象的過程，特別是概念的形成，都是從具體的事物出發(fā)，概括抽象出它們的本質(zhì)屬性，從而形成概念。在曲線的切線教學(xué)中，利用幾何畫板的動態(tài)性，讓動點q沿著曲線不斷的逼近定點p，最終得到割線pq的極限位置，這一過程給學(xué)生以直觀、具體的印象，有助于學(xué)生更好的理解切線的定義。數(shù)學(xué)概念是進行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，